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1、 第九章 第七节第七节一、方向导数一、方向导数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、梯度二、梯度 三、物理意义三、物理意义 方向导数与梯度方向导数与梯度1回顾：二元函数偏导数的几何意义回顾：二元函数偏导数的几何意义是曲线在点 M0 处的切线对 x 轴的斜率.在点M0 处的切线斜率.是曲线机动 目录 上页 下页 返回 结束 对 y 轴的2一、方向导数一、方向导数定义定义: 若函数在点 处沿方向 l (方向角为机动 目录 上页 下页 返回 结束 ) 存在下列极限: 记作记作 则称为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数方向导数.特别特别: : 当 l 与 x 轴同向 当 l 与 x 轴反向3定
2、理定理:则函数在该点沿任意方向沿任意方向 l 的方向导数存在 ,证明证明: 由函数且有在点 P 可微 ,得机动 目录 上页 下页 返回 结束 故4三元函数的方向导数三元函数的方向导数:定义定义: 若函数则称为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数方向导数.在点 处沿方向 l (方向角为 ) 存在下列极限: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 记作记作 5定理定理:则函数在该点沿任意方向沿任意方向 l 的方向导数存在 ,证明证明: 由函数且有在点 P 可微 ,得机动 目录 上页 下页 返回 结束 故6例例1. 求函数 在点 P(1, 1, 1) 沿向量3) 的方向导数 .机动 目录 上页 下页
3、返回 结束 解解: 向量 l 的方向余弦为7例例2. 求函数 在点P(2, 3)沿曲线朝 x 增大方向的方向导数.解解:将已知曲线用参数方程表示为它在点 P 的切向量为机动 目录 上页 下页 返回 结束 8例例3. 设是曲面在点 P(1, 1, 1 )处指向外侧的法向量,解解: 方向余弦为而同理得方向的方向导数.在点P 处沿求函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 9二、梯度二、梯度 方向导数公式令向量这说明方向：f 变化率最大的方向模 : f 的最大变化率之值方向导数取最大值：机动 目录 上页 下页 返回 结束 101. 定义定义即同样可定义二元函数称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度记
4、作(gradient),在点处的梯度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.向量2. 梯度的几何意义梯度的几何意义11函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线) ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 称为函数 f 的等值线等值线 . 则L*上点P 处的法向量为 同样, 对应函数有等值面(等量面)当各偏导数不同时为零时, 其上 点P处的法向量为指向函数增大的方向.12结论结论13等高线的画法等高线的画法播放播放14例如例如,24梯度与等高线的关系：梯度与等高线的关系：25 类似于二元函数，此梯度也是一个向量，类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其
5、方向与取得最大方向导数的方向一致，其模其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值为方向导数的最大值.梯度的概念可以推广到三元函数梯度的概念可以推广到三元函数26273. 梯度的基本运算公式梯度的基本运算公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 28例例4.证证:试证机动 目录 上页 下页 返回 结束 处矢径 r 的模 ,29三、物理意义三、物理意义函数(物理量的分布)数量场数量场 (数性函数)场向量场向量场(矢性函数)可微函数梯度场梯度场( 势 )如: 温度场, 电位场等如: 力场,速度场等(向量场) 注意注意: 任意一个向量场不一定是梯度场.机动 目录 上页 下页 返回 结束
6、30例例. 31例例5. 已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点试证证证: 利用例4的结果 这说明场强:处所产生的电位为垂直于等位面,且指向电位减少的方向.机动 目录 上页 下页 返回 结束 32内容小结内容小结1. 方向导数方向导数 三元函数 在点沿方向 l (方向角的方向导数为 二元函数 在点的方向导数为沿方向 l (方向角为机动 目录 上页 下页 返回 结束 332. 梯度梯度 三元函数 在点处的梯度为 二元函数 在点处的梯度为3. 关系关系方向导数存在偏导数存在 可微机动 目录 上页 下页 返回 结束 梯度在方向 l 上的投影.34思考与练习思考与练习1. 设函数(1) 求函数在点 M
7、 ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线在该点切线方向的方向导数;(2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度梯度与(1)中切线方向切线方向 的夹角 .2. P131 题 16机动 目录 上页 下页 返回 结束 35曲线1. (1)在点解答提示解答提示:机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数沿 l 的方向导数M (1,1,1) 处切线的方向向量36机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. P131 题 1637P108 2，3，7，9，10 作业作业第八节 目录 上页 下页 返回 结束 38备用题备用题 1. 函数在点处的梯度解解:则注意 x , y , z 具有轮换对称性(92考研考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 39指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向导数是 .在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A2. 函数提示提示:则(96考研考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 40个人观点供参考，欢迎讨论
