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1、矩阵的转置、乘法（初等变换）、逆内容提要矩阵的下列运算的性质与应用乘法转置初等变换逆定义定义由定义，一个由定义，一个行矩阵与一个行矩阵与一个 列矩阵的乘积是一个一阶方阵，也就是列矩阵的乘积是一个一阶方阵，也就是一个数一个数：乘法 定义中矩阵定义中矩阵(=AB)的元素的元素cij是矩阵是矩阵A 的的 第第i 行行元素与矩阵元素与矩阵B的的第第j 列列对应元素乘积之和对应元素乘积之和. 注意注意 只有当第一个矩阵只有当第一个矩阵(左左矩阵矩阵)的的列列数等数等 于第二个矩阵于第二个矩阵(右右矩阵矩阵)的的行行数时，数时，两个矩阵才两个矩阵才 能相乘能相乘.矩阵的乘法满足下述运算规律矩阵的乘法满足下
2、述运算规律矩阵的幂矩阵的幂 A 是一个是一个n 阶矩阵阶矩阵, k 是一个正整数是一个正整数,规定规定矩阵的幂满足规律矩阵的幂满足规律其中其中 k , l 为正整数为正整数.对于两个对于两个 n 阶矩阵阶矩阵 A与与 B，一般说，一般说例例 8矩阵的转置定义 把矩阵A的行列（按原顺序互换）互换所得到的矩阵称为原矩阵的转置矩阵，以AT表示。 即 A(aij)mn，AT(aji)nm 矩阵的转置满足下述运算规律矩阵的转置满足下述运算规律(ABC)TCTBTAT对于多个矩阵相乘，有证明：设记由矩阵的乘法定义，有而BT的第i行为AT的第j列为因此所以即D=CT，亦即BTAT=(AB)T.方阵的行列式运
3、算满足下述规律方阵的行列式运算满足下述规律 : 定义定义 由由 n 阶矩阵阶矩阵 A 的元素（按原来的位置）的元素（按原来的位置）称为方阵称为方阵 A 的行列式的行列式,构成的行列式，构成的行列式，方阵的行列式方阵的行列式那么那么于是于是2. 设设 A 为为 3 阶矩阵阶矩阵, 那么那么于是于是初等矩阵初等矩阵 & 初等变换初等变换 Recall 练习三种初等变换三种初等变换1 设A=计算并总结规律。()A()AAAAA(3)(5)(4)(6)AAAAAA 定义定义 由单位由单位 矩阵经过一次初等变换得到矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵的方阵称为初等矩阵. .三种初等变换对应着三种初
4、等方阵三种初等变换对应着三种初等方阵.初等矩阵的概念初等矩阵的概念第i列第j列i列列j列列第第i 列列Inverse Matrix按照矩阵的乘法，线性方程组按照矩阵的乘法，线性方程组可表示为矩阵的乘积可表示为矩阵的乘积 Ax = b 的形式，其中的形式，其中如果 m=n, 可考虑 x=b/A一、概念的引入在数的运算中，在数的运算中，当数当数 时，时，有有其中其中 为为 的倒数，的倒数， （或称（或称 的逆）；的逆）； 在矩阵的运算中，在矩阵的运算中， 单位阵单位阵 相当于数的乘法运算中相当于数的乘法运算中 的的1。 因此在矩阵的运算中可以相应的引入逆矩因此在矩阵的运算中可以相应的引入逆矩阵的概
5、念。阵的概念。二、逆矩阵的概念和性质 定义定义 对于对于 阶矩阵阶矩阵 ，如果存在，如果存在 阶矩阵阶矩阵 则说矩阵则说矩阵A是是可逆可逆的，并把矩阵的，并把矩阵B称为称为A的一个的一个逆矩阵逆矩阵.使得使得例例 设设说明说明 若若 是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则 的逆矩阵是的逆矩阵是唯一唯一的的.事实上若设事实上若设 和和 是是 的逆矩阵，的逆矩阵，则有则有可得可得所以所以 的逆矩阵是唯一的。的逆矩阵是唯一的。A的逆记为的逆记为 ，即，即 AA-1=A-1A=E。例例 设设解解设设 是是 的逆矩阵的逆矩阵,则则 利用待定系数法利用待定系数法又因为又因为所以所以矩阵可逆的充要条件与逆矩阵的求法矩
6、阵可逆的充要条件与逆矩阵的求法 先就先就 3 阶矩阵给出证明阶矩阵给出证明.证证 设设于是有于是有因此因此同理可证，同理可证，= 0= 0= 0 证证 设设 A = ( a i j )nn , 也就是也就是于是有于是有因此因此同理可证同理可证，定理定理1 1 矩阵矩阵 可逆的充要条件是可逆的充要条件是 ，且，且 证明证明若若 可逆，可逆，按逆矩阵的定义得按逆矩阵的定义得证毕证毕奇异矩阵与非奇异矩阵的定义奇异矩阵与非奇异矩阵的定义推论推论证明证明逆矩阵的运算性质逆矩阵的运算性质证明证明证明证明例例1 1 求方阵求方阵 的逆矩阵的逆矩阵. .解解三、逆矩阵的求法同理可得同理可得故故解解 例例2 2
7、另一种常用的求矩阵逆的方法伴随矩阵的方法理论上完善，但计算量大下面用矩阵的初等（行）变换来求先讲方法，后介绍其中的道理（也可课后思考）逆矩阵的求法 若矩阵A可逆，则矩阵A总可以经过一系列初等行变换化为单位矩阵。 如果把同样的变换施加在单位矩阵上，得到的就是A的逆矩阵。 因此，我们通常把矩阵A与单位矩阵I并列，构成一个n2n矩阵，记作A E，再经过初等行变换化为E A-1，这样就得到了A-1。 解解例例利用矩阵求解方程按照矩阵的乘法，线性方程组按照矩阵的乘法，线性方程组可表示为矩阵的乘积可表示为矩阵的乘积 Ax = b 的形式，其中的形式，其中如果 m=n, 可考虑 x=b/A 例: 求解线性方
8、程组 反 思 理论分析 定理定理1 1 设设 是一个是一个 矩阵，对矩阵，对 施行一施行一次初等行变换，相当于在次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于施行一次初等列变换，相当于在在 的右边乘以相应的的右边乘以相应的 阶初等矩阵阶初等矩阵. .初等变换初等变换初等矩阵初等矩阵初等逆变换初等逆变换初等逆矩阵初等逆矩阵二、初等矩阵的应用 定理定理2 2 设设A A为可逆方阵，则存在有限个初等为可逆方阵，则存在有限个初等方阵方阵证证即即利用初等变换求逆阵的方法：利用初等变换求逆阵的方法：即即初等行变换初等行变换例例解解列变换列
9、变换列变换列变换解解例例3 3 例1. 3 -1 设A ，求A-1 2 -1 解： 3 -1 1 0 +(-1) 1 0 1 -1 +(-2) 2 -1 0 1 2 -1 0 1 1 0 1 -1 (-1) 1 0 1 -1 0 -1 -2 3 0 1 2 -3 1 -1 则A-1 2 -3 这表明A不是满秩矩阵，则A不可逆，A-1不存在，因为AI的左边不能化为单位矩阵。 所以，如果在阶梯化的过程中出现了0行，则表示矩阵不可逆。二、解矩阵方程 解矩阵方程AXB，即求矩阵X满足此等式。 如果矩阵A可逆,把等式两边左乘A-1，即得A-1AXA-1B，于是XA-1B 因此，先求出A-1，再做矩阵的乘
10、法即可。例4. 解矩阵方程AXB，其中 -2 1 0 5 -1 A 1 -2 1 ，B -2 3 0 1 -2 1 4 解： -2 1 0 1 0 0 1 -2 1 0 1 0 0 1 -2 0 0 1 1 -2 1 0 1 0 0 1 -2 0 0 1 0 0 -4 1 2 3 1 0 0 -3/4 -1/2 -1/4 0 1 0 -1/2 -1 -1/2 0 0 1 -1/4 -1/2 -3/4 3 2 1 A-1-1/4 2 4 2 1 2 3 3 2 1 5 -1 XA-1B-1/4 2 4 2 -2 3 1 2 3 1 4 12 71/4 4 18 4 17练习 2 个Page 174. 5 请用三种方法1.先求系数矩阵的逆矩阵, 用伴随矩阵的方法求逆矩阵2.也先求系数矩阵的逆矩阵, 但用矩阵的初等变换的方法求逆矩阵3.用Gauss消元法，请用矩阵的方式表示肖元过程2 求下列初等矩阵的逆矩阵()()(3)(4)
