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1、第 二 章 随机变量及其分布章 末 高 效 整 合知能整合提升1离散型随机变量的分布列(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，xi，xn，X取每一个值xi(i1,2，n)的概率P(Xxi)pi，即上表称为X的分布列有时为了简单起见，也用等式P(Xxi)pi，i1,2，n表示X的分布列Xx1x2xixnPp1p2pipn(2)求随机变量的分布列的步骤可以归纳为：明确随机变量X的取值；准确求出X取每一个值时的概率；列成表格的形式 说明已知随机变量的分布列，则它在某范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值时的概率之和 说明分布列的两个性质是求解有关参数问题的依据 说明识别条件概率
2、的关键是看已知事件的发生与否会不会影响所求事件的概率(2)条件概率的性质：0P(B|A)1；必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0；如果B和C是两个互斥事件，则P(BC|A)P(B|A)P(C|A)注意解决超几何分布的有关问题时，注意识别模型，即将试验中涉及的事物或人转化为相应的产品、次品，得到超几何分布的参数n，M，N.说明若随机变量XB(n，p)，则需明确在n次独立重复试验中，每次试验的两种结果中哪一个结果出现k次(4)二项分布的均值与方差：两点分布：若随机变量X服从参数为p的两点分布，则E(X)p，D(X)p(1p)二项分布：若随机变量XB(n，p)，则E(X)np，D(X)n
3、p(1p)(2)正态分布的3原则：若随机变量XN(，2)，则P(X)0.682 6，P(2X2)0.954 4，P(3X3)0.997 4.在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(，2)的随机变量X只取(3，3)之间的值，并简称之为3原则热点考点例析求离散型随机变量的分布列点拨：求离散型随机变量的分布列时，要解决以下两个问题：(1)求出X的所有取值，并明确其含义；(2)求出X取每一个值时的概率求概率是难点，也是关键，一般要联系排列、组合知识，古典概型、互斥事件、相互独立事件的概率等知识进行解决同时还应注意两点分布、超几何分布、二项分布等特殊分布模型口袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3
4、,4,5,6，现从中随机取出3个球，用X表示取出的最大号码，求X的分布列 思维点击解析：由分布列的性质知m(0,1)，2n(0,1)，且0.1m2n0.11，即m2n0.8.mn(0.82n)n0.8n2n22(n0.2)20.08，当n0.2时，mn的最大值为0.08.答案：C条件概率2解决概率问题要注意“三个步骤，一个结合”(1)求概率的步骤是：第一步，确定事件性质；第二步，判断事件的运算；第三步，运用公式(2)概率问题常常与排列组合问题相结合特别提醒：求事件概率的关键是将事件分解为若干个小事件，然后利用概率的加法(互斥事件的求和)、乘法(独立事件同时发生)或除法公式(条件概率)来求解一个
5、盒子装有4个产品，其中有3个一等品、1个二等品，从中取产品两次，每次任取一个，作不放回抽样，设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”，试求条件概率P(B|A)思维点击解答本题可先写出事件A发生的条件下所有的基本事件，再在此条件下求事件AB发生的概率2在5道题中有3道理科题和2道文科题如果不放回地依次抽取2道题，求：(1)第1次抽到理科题的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率相互独立事件同时发生的概率(1)分别求出甲、乙、丙三台机床各自独立加工的零件是一等品的概率；(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个
6、检验，求至少有一个一等品的概率思维点击(1)将甲、乙、丙三台机床各自独立加工同一种零件设为三个事件，由于相互之间各自独立，利用相互独立事件的概率列出方程组求解(2)是“至少”问题，采用其对立事件求概率3实力相当的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制(即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛)(1)试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率；(2)按比赛规则甲获胜的概率是多少离散型随机变量的分布列、期望与方差点拨：求离散型随机变量的期望、方差，首先要明确概率分布，最好确定随机变量概率分布的模型，这样就可以直接运用公式进行计算不难发现，正确求出离散型随机变量的分布列是解题的关键在求离散型随机
7、变量的分布列之前，要弄清楚随机变量可能取的每一个值，以及取每一个值时所表示的意义离散型随机变量的期望与方差试题，主要考查观察问题、分析问题和解决问题的实际综合应用能力以及考生收集、处理信息的能力主要题型：(1)离散型随机变量分布列的判断；(2)求离散型随机变量的分布列、期望与方差；(3)根据离散型随机变量的分布列、期望与方差的性质求参数(1)写出的概率分布列(不要求计算过程)，并求出E()，E()；(2)求D()，D()请你根据得到的数据，建议该单位派哪个选手参加竞赛？思维点击(1)由相互独立事件的概率与二项分布写出E()，E()(2)比较D()，D()，得到结论有关正态分布问题的解答点拨：1
8、.有关正态分布概率的计算应转化为三个特殊区间内取值的概率，因此要熟记三个特殊区间及相应概率值2从正态曲线可以看出，对于固定的和而言，随机变量取值在(，)内取值的概率随的减小而增大这说明越小，X取值落在区间(，)的概率越大，即X集中在周围的概率越大规律方法正态分布是实际生活应用十分广泛的一种概率分布，因此，我们要熟练掌握这种概率模型，并能灵活地运用它分析解决实际问题，其中正态曲线的特点以及3原则、几个特殊概率P(X)0.682 6，P(2X2)0.954 4，P(3X3)0.997 4，P(Xc)0(c为常数)应熟练掌握，他们是新课程标准中要求掌握的范畴110件产品中有3件次品，从中任取2件，可
9、作为随机变量的是()A取到产品的件数B取到正品的概率C取到次品的件数D取到次品的概率解析：A中取到产品的件数是一个常量不是变量，B，D也是一个定值，而C中取到次品的件数可能是0,1,2，是随机变量答案：C解析：根据分布列的性质0P1以及各概率之和等于1，易知D正确答案：D4已知随机变量X服从正态分布N(，2)，且P(2X2)0.954 4，P(X)0.682 6，若4，1，则P(5X6)等于()A0.135 8B0.135 9C0.271 6D0.271 8解析：由题知XN(4,1)，作出相应的正态曲线，如右图，依题意P(2X6)0.954 4，P(3X5)0.682 6，即曲边梯形ABCD的
10、面积为0.954 4，曲边梯形EFGH的面积为0.682 6，其中A，E，F，B的横坐标分别是2,3,5,6，由曲线关于直线 5 已 知 X服 从 二 项 分 布 B(100,0.2)， E( 3X 2)_.解析：由于XB(100,0.2)，则E(X)np1000.220，E(3X2)3E(X)262.答案：626位于西部地区的A，B两地，据多年的资料记载：A，B两地一年中下雨天仅占6%和8%，而同时下雨的比例为2%，则A地为雨天时，B地也为雨天的概率为_7某校高三年级某班的数学课外活动小组有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中的男生人数，求X的分布列(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望
