物体的受力分析和静力平衡方程

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1、第一篇第一篇 工程力学基础工程力学基础本篇主要讨论两个问题：本篇主要讨论两个问题：1)构件的受力分析（静力学）构件的受力分析（静力学） 静力平衡的基本规律；静力平衡的基本规律； 求解结构上的未知力。求解结构上的未知力。2)构件的承载能力分析（材料力学）构件的承载能力分析（材料力学） 强度、刚度、稳定性，即杆件强度、刚度、稳定性，即杆件受力后的基本变形（拉、压、弯、受力后的基本变形（拉、压、弯、扭）。扭）。第一章第一章 物体的受力分析和静力平衡方程物体的受力分析和静力平衡方程静力学主要研究：静力学主要研究：(1)(1)力系的简化；力系的简化；(2)(2)刚体的平衡条件。刚体的平衡条件。根据实际问

2、题抽象建立力学模型根据实际问题抽象建立力学模型应用数学方法描述客观规律应用数学方法描述客观规律应用数学工具得到解决问题的方法应用数学工具得到解决问题的方法研研究究方方法法第一节第一节 静力学基本概念静力学基本概念 一、力的概念及作用形式一、力的概念及作用形式 力的三要素：力的三要素：大小、方向、作用点大小、方向、作用点 力的单位：力的单位： N(牛顿牛顿)，kN(千牛千牛)1 1、力力: : 是是物物体体间间相相互互的的机机械械作作用用，这这种种作作用用使使物物体体的的机机械械运运动动状状态态发发生生变变化化（外外效效应应），或使物体发生变形或使物体发生变形（内效应）（内效应）。( (一一)

3、)概念概念 力的表示方法：力的表示方法： 常用黑体字母表示常用黑体字母表示(二二)力的表现形式力的表现形式(1)(1)集中力集中力: :集中作用在很小面积上的力（近似看集中作用在很小面积上的力（近似看成作用在某一点上）。成作用在某一点上）。(2)(2)分布分布( (载荷载荷) )：连续分布在一定面积或体积上的连续分布在一定面积或体积上的力；单位长度上的均布载荷，称力；单位长度上的均布载荷，称载荷集度（载荷集度（q q）。）。F Fq(x)q集中力集中力集中力集中力分布力分布力分布力分布力均布力均布力均布力均布力均布载荷均布载荷均布载荷均布载荷二、刚体的概念二、刚体的概念 在任何情况下都不发生变

4、形的物体。在任何情况下都不发生变形的物体。 （理想化的力学模型）理想化的力学模型）理想化理想化分子的集合分子的集合看成刚体看成刚体看成连续体看成连续体理想化理想化理想化理想化看成质点看成质点载人飞船的对接载人飞船的对接研究轨道问题时研究轨道问题时质点质点 研究对接问题时研究对接问题时刚体刚体F FF = F (1)二力平衡原理二力平衡原理 作用于刚体上的两个力平衡的必要充分作用于刚体上的两个力平衡的必要充分 条件是条件是- 等值、反向、共线。等值、反向、共线。A 三、平衡的概念三、平衡的概念推论：推论：二力杆上作用的两个外力，其力作用线必二力杆上作用的两个外力，其力作用线必与二力作用点的连线重

5、合，与二力杆的实际几何与二力作用点的连线重合，与二力杆的实际几何形状无关。形状无关。重要名词重要名词: :二力杆二力杆( (二力体，二力构件二力体，二力构件):): 仅在两点受力而处于平衡的物体或构件。仅在两点受力而处于平衡的物体或构件。用途：用途：已知两力的作用点，确定其作用线。已知两力的作用点，确定其作用线。二力杆实例：二力杆实例：(2)(2)力的平行四边公理力的平行四边公理 作用于同一点的两个力可以合成为一个合力，合作用于同一点的两个力可以合成为一个合力，合力的大小和方向是以这两个力为邻边的平行四边形的力的大小和方向是以这两个力为邻边的平行四边形的对角线矢量，其作用点不变。也即：对角线矢

6、量，其作用点不变。也即： 合力等于两分合力等于两分力的矢量和。力的矢量和。 合力的正交分解合力的正交分解推论：推论：三力平衡汇交定理：三力平衡汇交定理：如果一物体受三个力作用而处于如果一物体受三个力作用而处于平衡时，若其中两个力的作用线相交于一点，则第三平衡时，若其中两个力的作用线相交于一点，则第三个力的作用线必交于同一点。个力的作用线必交于同一点。 (3)(3)加减平衡力系原理加减平衡力系原理 在作用于刚体的任何一个力系上，加上或减去在作用于刚体的任何一个力系上，加上或减去任一平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用效果。任一平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用效果。推论推论: : 力的可传性原

7、理力的可传性原理: : 作用于刚体上的力，可以沿其作作用于刚体上的力，可以沿其作用线滑移，用线滑移， 而不改变对刚体的作用效果。而不改变对刚体的作用效果。F1=F2=FAFF1F2BBAF2四、作用与反作用力定律四、作用与反作用力定律 任何两物体间的相互作用力总是成对出现，并且任何两物体间的相互作用力总是成对出现，并且等值、反向、共线，等值、反向、共线， 分别分别同时作用在两个物体上同时作用在两个物体上。应用：研究由几个物体构成的系统的受力时常用。应用：研究由几个物体构成的系统的受力时常用。 注意：作用力和反作用力同平衡力的区别。注意：作用力和反作用力同平衡力的区别。( (一一) )基本概念基

8、本概念约束：约束：对于某一物体的活动起限制作用的其它物体；对于某一物体的活动起限制作用的其它物体；约束反力：约束反力：约束对被约束物体的作用力（限制物体运约束对被约束物体的作用力（限制物体运 动的力）；其方向总是与约束所阻止的物动的力）；其方向总是与约束所阻止的物 体运动趋势方向相反。体运动趋势方向相反。主动力：主动力：引起物体运动和运动趋势的力引起物体运动和运动趋势的力（载荷）（载荷）；被动力被动力：由主动力的作用而引起的力。由主动力的作用而引起的力。第二节第二节 约束及约束反力约束及约束反力 （二）常见的约束类型及其反力（二）常见的约束类型及其反力1.1.柔性约束柔性约束特点：特点： 柔性

9、体约束只能承受拉力，不能受压。柔性体约束只能承受拉力，不能受压。约束反力约束反力的作用线沿着被拉直的柔性物体中心线且背离物体运动的作用线沿着被拉直的柔性物体中心线且背离物体运动方向。方向。约束反力是作用在约束反力是作用在接触点接触点，限制物体沿柔性体伸，限制物体沿柔性体伸长的方向运动，长的方向运动，是是离点而去的力离点而去的力。由柔软的绳索、链条或皮带构成的柔性体约束由柔软的绳索、链条或皮带构成的柔性体约束PPTS1S1S2S2 TW柔性约束实例：柔性约束实例： 约束反力作用在接触点处，方向约束反力作用在接触点处，方向沿公法线沿公法线，指向，指向受力物体，是受力物体，是向点而来的力向点而来的力

10、。2.光滑面约束光滑面约束 ( (光滑指摩擦不计光滑指摩擦不计) )PNNPNANB特特点点：只只受受压压，不不受受拉拉，沿沿接接触触点点处处的的公公法法线线而而指指向物体，一般用向物体，一般用N表示，又叫法向反力。表示，又叫法向反力。 光滑面约束实例：光滑面约束实例：光滑面约束实例：光滑面约束实例：3.圆柱铰链约束圆柱铰链约束A圆柱铰链圆柱铰链圆柱铰链圆柱铰链圆柱铰链约束圆柱铰链约束：约束反力通过销钉中心，沿接触点：约束反力通过销钉中心，沿接触点公法线方向。通常用两个正交分量公法线方向。通常用两个正交分量Fx和和Fy来表示。来表示。AF Fx xF Fy y铰支座：铰支座：用圆柱铰链将一个构

11、件与底座连接。用圆柱铰链将一个构件与底座连接。 分为分为固定铰支座固定铰支座和和可动铰支座可动铰支座(1)固定铰链约束固定铰链约束 (固定铰支座固定铰支座) 被连接件被连接件A A只能绕销轴转动，而不能沿销轴半径方只能绕销轴转动，而不能沿销轴半径方向移动。向移动。铰支座：铰支座：用圆柱铰链将一个构件与底座连接。用圆柱铰链将一个构件与底座连接。 分为分为固定铰支座固定铰支座和和可动铰支座可动铰支座特点：特点：约束反力的指向随杆件，受力情况不同而相应约束反力的指向随杆件，受力情况不同而相应地变化。约束反力的作用线通过铰链中心，但其方向地变化。约束反力的作用线通过铰链中心，但其方向待定，通常用待定，

12、通常用水平和铅垂两个方向的分力表示水平和铅垂两个方向的分力表示。固定铰支座的几种表示固定铰支座的几种表示:固定铰链约束实例：固定铰链约束实例：(2)活动铰链约束活动铰链约束 （可动铰支座、辊轴支座）（可动铰支座、辊轴支座）特点：特点：约束反力的指向必定垂直于支承面，并通过约束反力的指向必定垂直于支承面，并通过 铰链中心指向物体。铰链中心指向物体。活动铰支座的几种表示活动铰支座的几种表示:3.固定端约束固定端约束 P9特点：特点：限制物体三个方向限制物体三个方向运动，产生三个约束反力。运动，产生三个约束反力。既不允许构件作纵向或横既不允许构件作纵向或横向移动，也不允许构件转向移动，也不允许构件转

13、动。动。 物体的一部分固嵌于另一物体所构成的约束。物体的一部分固嵌于另一物体所构成的约束。如：建筑物中的阳台、电线杆、塔设备、跳台（跳如：建筑物中的阳台、电线杆、塔设备、跳台（跳板）等。板）等。NAX固定端约束的托架固定端约束的托架固定端约束实例：固定端约束实例：1.1.概念概念分离体：分离体：将所要研究的物体从周围物体中单独分离将所要研究的物体从周围物体中单独分离 出来，使之成为自由体。出来，使之成为自由体。受力图：受力图：表示分离体及其受力的图形。表示分离体及其受力的图形。 2.画受力图的基本步骤画受力图的基本步骤 （1）取分离体：）取分离体：根据问题的要求根据问题的要求确定确定研究对象研

14、究对象，将它从周，将它从周围物体的约束中围物体的约束中分离分离出来，单独画出研究对象的轮廓图形；出来，单独画出研究对象的轮廓图形； （2）画已知力：）画已知力：载荷，特意指明的重力等，不特意指明载荷，特意指明的重力等，不特意指明重力的构件都是不考虑重力的；重力的构件都是不考虑重力的； （3）画约束反力：）画约束反力：确定约束类型，确定约束类型，根据约束性质画出约根据约束性质画出约束反力。束反力。第三节第三节 分离体和受力图分离体和受力图例例1：分别画出圆及杆：分别画出圆及杆AB的受力图。的受力图。ACB600P解：PN1N2ABYAXASBCN2充分利用充分利用BCBC杆是二力杆的性质杆是二力

15、杆的性质 注意：画约束反力时，一定要按照约束的固有注意：画约束反力时，一定要按照约束的固有性质画图，切不可主观臆断！性质画图，切不可主观臆断！例例2： 曲柄冲压机的受力分析曲柄冲压机的受力分析 例例3：悬臂吊车的受力分析：悬臂吊车的受力分析S Sc cS SB BS SB B X XA AY YA AQQ思考题思考题 如如下下各各图图所所示示，各各物物体体处处于于平平衡衡，试试判判断断各各图图中中所画受力图是否正确？原因何在？所画受力图是否正确？原因何在？确定反力的方向时，可借助于以下各点：确定反力的方向时，可借助于以下各点： * 是否与二力构件相连，是否与二力构件相连，是是,则由二力构件的分

16、离则由二力构件的分离体图确定二力构件的连接点受力方向，而它的相体图确定二力构件的连接点受力方向，而它的相反方向（反作用力的方向）就是所求方向反方向（反作用力的方向）就是所求方向; * 研研究究对对象象是是否否是是三三力力构构件件，是是，则则已已知知两两个个受受力方力方 向，可利用三力平衡汇交定理确定方向向，可利用三力平衡汇交定理确定方向; * 根据主动力系和约束的性质确定反力方向。根据主动力系和约束的性质确定反力方向。 即要充分利用二力杆定理、三力汇交定理、作即要充分利用二力杆定理、三力汇交定理、作用与反作用定理来确定约束反力。用与反作用定理来确定约束反力。第四节第四节 力的投影力的投影 合力

17、投影定理合力投影定理由力在轴上的投影还可看出：由力在轴上的投影还可看出： 1 1）一力在互相平行且同向的轴上投影相等；）一力在互相平行且同向的轴上投影相等；2 2）将力平移，此力在同一轴上的投影不变。）将力平移，此力在同一轴上的投影不变。 一、力的投影概念一、力的投影概念xx ABab二、力在坐标轴上的投影二、力在坐标轴上的投影设力设力F作用于物体的作用于物体的A点，如图所示。点，如图所示。 定义：从力定义：从力F的两端分别向选定的坐标轴的两端分别向选定的坐标轴x，y作垂线作垂线, 其垂足间的距离就是力其垂足间的距离就是力F在该轴上的投影在该轴上的投影。 若已知力若已知力F的大小及其与的大小及

18、其与x轴所夹的锐角轴所夹的锐角，则力，则力F在坐标轴上的投影在坐标轴上的投影Fx和和Fy可按下式计算：可按下式计算：Fx=FcosFy=Fsin力在坐标轴上的投影有两种特殊情况：力在坐标轴上的投影有两种特殊情况：(1) 当力与坐标轴垂直时，力在该轴上的投影等于零。当力与坐标轴垂直时，力在该轴上的投影等于零。(2) 当力与坐标轴平行时，力在该轴上的投影的绝对当力与坐标轴平行时，力在该轴上的投影的绝对值等于力的大小。值等于力的大小。如果已知力如果已知力F在直角坐标轴上的投影在直角坐标轴上的投影Fx和和Fy，则力则力F的大小和方向可由下式确定的大小和方向可由下式确定力力F的指向和投影的指向和投影Fx

19、和和Fy的正负号判定的正负号判定: 如果把力如果把力F沿沿x、y轴分解为两个分力轴分解为两个分力F1、F2，投影的绝对值等于分力的大小，投影的绝对值等于分力的大小，投影的正负号指明投影的正负号指明了分力是沿该轴的正向还是负向。了分力是沿该轴的正向还是负向。（力的投影是代数量）。（力的投影是代数量）。 力的投影与分力关系力的投影与分力关系: : 将力将力F F沿直角坐标轴方向分解，所得分力沿直角坐标轴方向分解，所得分力F Fx x、F Fy y的值与力的值与力F F在同轴上的投影的绝对值相等。但是，在同轴上的投影的绝对值相等。但是，力的分力是矢量，具有确切的大小、方向和作用点；力的分力是矢量，具

20、有确切的大小、方向和作用点；而力的投影是代数量，不存在唯一作用线问题。而力的投影是代数量，不存在唯一作用线问题。合合力投影定理：力投影定理：力系的合力在某轴上的投影等于力系的合力在某轴上的投影等于力系中各力在同轴上投影的代数和。即力系中各力在同轴上投影的代数和。即 其中合力其中合力 F 的大小及方向的大小及方向: 三、合力投影定理三、合力投影定理一、力矩一、力矩1.1.力矩的概念力矩的概念 物理量物理量Fd及其转向来度量力使物体绕转动中心及其转向来度量力使物体绕转动中心O的效应，这个量称为力的效应，这个量称为力F对对O点之矩。简称力矩，点之矩。简称力矩，记为记为 其中：其中：O 称为矩心称为矩

21、心 ; d 称为力臂称为力臂单位：单位：N.mN.m 第五节第五节 力矩力矩 力偶力偶力矩的正负规定：力矩的正负规定： 力矩在平面上逆时针转动为正，力矩在平面上逆时针转动为正， 顺时针转动为负。顺时针转动为负。2.力矩的性质：力矩的性质： (1)当力的作用线通过矩心时，此时力臂的值为零，当力的作用线通过矩心时，此时力臂的值为零， 力矩值为零；力矩值为零； (2)力沿其作用线滑移时，不会改变力矩的值，因为力沿其作用线滑移时，不会改变力矩的值，因为 此时力、力臂的大小及力矩转向未发生改变；此时力、力臂的大小及力矩转向未发生改变； (3)等值、反向、共线的两个力对任一点之矩总是大等值、反向、共线的两

22、个力对任一点之矩总是大 小相等、方向相反，因此两者的代数和为零；小相等、方向相反，因此两者的代数和为零； (4)矩心的位置可以任意选定，矩心不同，所求的力矩心的位置可以任意选定，矩心不同，所求的力矩大小和转向就可能不同。矩大小和转向就可能不同。二、力偶与力偶矩二、力偶与力偶矩(1)(1)力偶概念力偶概念 作用在同一物体上等值、反向、不共线的一对作用在同一物体上等值、反向、不共线的一对平行力称为力偶，记作平行力称为力偶，记作（F，F）。在力学中用力的大小在力学中用力的大小F与力偶臂与力偶臂d的乘积的乘积Fd加上正号或负号作为度加上正号或负号作为度量力偶对物体量力偶对物体转动效应转动效应的物理量，

23、的物理量，该物理量称为该物理量称为力偶矩力偶矩，并用符号，并用符号M(F，F)或或M表示，表示， 即即M(F,F)= M =Fd 工程实例工程实例1）力偶矩的大小；）力偶矩的大小；2 2）力偶的转向；）力偶的转向；3 3）力偶作用面。）力偶作用面。力偶的三要素：力偶的三要素： 力偶作用面在空间的位置及旋转轴的方向；用力偶作用面在空间的位置及旋转轴的方向；用垂直于作用面的垂线指向来表征。凡是空间相互平垂直于作用面的垂线指向来表征。凡是空间相互平行的平面，它们的方位均相同。行的平面，它们的方位均相同。 力偶矩正负规定：力偶矩正负规定： 若若力力偶偶有有使使物物体体逆逆时时针针旋旋转转的的趋趋势势，

24、力力偶偶矩矩取取正号；反之，取负号。正号；反之，取负号。(2)(2)力偶的性质力偶的性质 力偶无合力，即力偶在任一轴上的投影等于零。力偶无合力，即力偶在任一轴上的投影等于零。 力偶对转动效应与矩心的位置无关。力偶对转动效应与矩心的位置无关。 力偶对其作用面内任一点之矩，恒等于力偶矩，力偶对其作用面内任一点之矩，恒等于力偶矩，是一常数；而力对某点之矩，矩心的位置不同，力矩是一常数；而力对某点之矩，矩心的位置不同，力矩就不同就不同（力矩与力偶的本质区别之一）。（力矩与力偶的本质区别之一）。力偶的等效性：在同一平面内的两个力偶，如果力偶的等效性：在同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩大小相等，力偶

25、的转向相同，则这两个它们的力偶矩大小相等，力偶的转向相同，则这两个力偶是等效的。即力偶是等效的。即三要素相同的力偶彼此等效三要素相同的力偶彼此等效。因此，以后可用力偶的转向箭头来代替力偶。因此，以后可用力偶的转向箭头来代替力偶。力偶的等效性推论：力偶的等效性推论： 唯一决定平面内力偶效应的特征量是力偶矩的代唯一决定平面内力偶效应的特征量是力偶矩的代数值，即保持力偶矩不变，可以改变其力或力臂的大数值，即保持力偶矩不变，可以改变其力或力臂的大小。小。M = F d=F d FdF d=一、力的平移定理：一、力的平移定理：作用于刚体上某一点作用于刚体上某一点A的力可以的力可以平移到刚体上的任一点，平

26、移到刚体上的任一点，但必须同时附加一个力偶，但必须同时附加一个力偶，其力偶矩等于原力其力偶矩等于原力F对新作用点对新作用点B的矩的矩.第六节第六节 力的平移力的平移(F )F=F”=F ,(F,F”,F)(F,M)(F,F”,F)(F,M)思考：思考：1.1.附加力偶作用面在哪儿？附加力偶作用面在哪儿？2.2.同一平面内的一个力和一个力偶能否等效成同一平面内的一个力和一个力偶能否等效成 一个力？一个力？ 结论：结论：一个力平移的结果可得到同平面的一个力一个力平移的结果可得到同平面的一个力和一个力偶；反之同平面的一个力和一个力偶；反之同平面的一个力F1和一个力偶矩和一个力偶矩为为m的力偶也一定能

27、合成为一个大小和方向与力的力偶也一定能合成为一个大小和方向与力F1相相同的力同的力F，其作用点到力作用线的距离为其作用点到力作用线的距离为:力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力 力力+力偶力偶 二、讨论二、讨论力线平移定理是力系简化的理论基础。力线平移定理是力系简化的理论基础。力线平移定理可考察力对物体的作用效应。力线平移定理可考察力对物体的作用效应。平面力系的分类平面力系的分类平面汇交力系：各力作用线汇交于一点的力系。平面汇交力系：各力作用线汇交于一点的力系。平面力偶系：平面力偶系：若干个力偶（若干个力偶（一对大小相等、指向相反、作用线一对大小相等、指向相

28、反、作用线 平行的两个力称为一个力偶平行的两个力称为一个力偶）组成的力系。）组成的力系。力系的分类：力系的分类：平面力系和空间力系：平面力系和空间力系：各力的作用线都在同一平面内的力系，各力的作用线都在同一平面内的力系， 否则为空间力系。否则为空间力系。平面平行力系：平面平行力系：各力作用线平行的力系。各力作用线平行的力系。平面一般力系：平面一般力系：除了平面汇交力系、平面力偶系、平面平行力系除了平面汇交力系、平面力偶系、平面平行力系 之外的平面力系。之外的平面力系。第七节第七节 平面力系的简化平面力系的简化 合力矩定理合力矩定理对所有的力系均讨论两个问题：对所有的力系均讨论两个问题：(1)(

29、1)力系的简化（即力系的合成）问题；力系的简化（即力系的合成）问题；(2)(2)力系的平衡问题。力系的平衡问题。FR=F1+F2+F3+Fn F F1 1= =F F1 1M M1 1= =M Mo o(F(F1 1) )(F1,F2,F3,Fn)(F1,F2,F3,Fn)(M1,M2,M3,Mn)(FR,Mo)F F2 2= =F F2 2 M M2 2= =M Mo o(F(F2 2) )F F3 3=F=F3 3 M M3 3= =M Mo o(F(F3 3) )F Fn n=F=Fn n M Mn n= =M Mo o(F(Fn n) )力系的力系的主矢主矢M Mo o= =M M1

30、1+ +M M2 2+ +M M3 3+M Mn n =M =Mo o(F(F1 1) )+ +M Mo o(F(F2 2) )+M Mo o(F(Fn n) ) = =M Mo o(F(Fi i) )向向O O点简化的点简化的主矩主矩= =F F1 1+ +F F2 2+ +F F3 3+F Fn n=F Fi i一、平面力系的简化一、平面力系的简化结论：结论：平面任意力系向其作用平面内一点简化，得到平面任意力系向其作用平面内一点简化，得到一个力和一个力偶一个力和一个力偶。这个力等于该力系的。这个力等于该力系的主矢，作用主矢，作用于简化中心于简化中心；这个力偶的力偶矩等于该这个力偶的力偶矩等

31、于该力系对简化中力系对简化中心的主矩。心的主矩。即即平面任意力系的简化结果平面任意力系的简化结果 ：合力偶合力偶M M O O ； 合力合力(1)简化方法简化方法汇交力系合力汇交力系合力一般力系（任意力系）一般力系（任意力系）汇交力系汇交力系+力偶系力偶系向一点简化向一点简化（未知力系）（未知力系）（已知力系）（已知力系）附加力偶的合力偶矩附加力偶的合力偶矩(2)主矢与主矩主矢与主矩主矢：主矢：指原平面一般力系各力的矢量和指原平面一般力系各力的矢量和 。 主矢主矢 的的解析求法解析求法方向方向：大小大小：注意注意：因主矢等于原力系各力的矢量和因主矢等于原力系各力的矢量和,所所以它以它与简化中心

32、的位置无关。与简化中心的位置无关。转向转向 + 主矩：主矩：指原平面一般力系对简化中心之矩的代数和指原平面一般力系对简化中心之矩的代数和 。 主矩主矩 MO正、负规定正、负规定 ：因主矩等于各力对简化中心之矩的代数和，因主矩等于各力对简化中心之矩的代数和，所以它的大小和转向一般与所以它的大小和转向一般与简化中心有关。简化中心有关。注意注意：平面力系简化结论的应用：固定端约束平面力系简化结论的应用：固定端约束= =(1)FR =0，而，而MO0，原力系合成为力偶。这时力系主，原力系合成为力偶。这时力系主矩矩MO 不随简化中心位置而变。不随简化中心位置而变。(2)MO=0，而，而FR 0，原力系合

33、成为一个力。作用于点，原力系合成为一个力。作用于点O 的力的力FR 就是原力系的合力。就是原力系的合力。(3) FR 0， MO0， 原力系简化成一个力偶和一个作原力系简化成一个力偶和一个作用于点用于点O 的力。这时力系也可合成为一个力。的力。这时力系也可合成为一个力。说明如下：说明如下：M MO OO OFRO Od dM Mo o A AFR”O Od dM Mo o A AFRFR”FR= = FmFRMd=00FR二、平面力系简化结果的讨论二、平面力系简化结果的讨论综上所述，可见：综上所述，可见：(4) FR =0，而，而MO=0，原力系平衡。，原力系平衡。平面任意力系若不平衡，则当主

34、矢主矩均不为零平面任意力系若不平衡，则当主矢主矩均不为零 时，则该力系可以合成为一个力。时，则该力系可以合成为一个力。 平面任意力系若不平衡，则当主矢为零而主矩不平面任意力系若不平衡，则当主矢为零而主矩不 为零时，则该力系可以合成为一个力偶。为零时，则该力系可以合成为一个力偶。 平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩，平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩，等于各分力对同一点之矩的代数和。等于各分力对同一点之矩的代数和。三、合力矩定理三、合力矩定理 =FmFRmoo yoxooFmFmFm+= xxoyFFm-= yyoxFFm=yxOxyABF F1 1F F2 2F F3 3F F4 4O

35、 OA AB BC C x xy y2m2m3m3m30306060例题例题 :在长方形平板的在长方形平板的O、A、B、C 点上分别作用着有四个点上分别作用着有四个力：力：F1=1kN，F2=2kN，F3=F4=3kN（如图），试求以上四（如图），试求以上四个力构成的力系对点个力构成的力系对点O 的简化结果，以及该力系的最后的的简化结果，以及该力系的最后的合成结果。合成结果。解：解：取坐标系取坐标系Oxy。1、求向、求向O点简化结果：点简化结果： 求主矢求主矢FR ：598. 030cos60cos432=+-=ooFFFFFRxx x xF FR R O OA AB BC Cy yo768.

36、 030sin60sin421=+-=oFFFFFyRy7940 22.FRyFRxFRx=+=614. 0 cos=FRFRxx、FRx652 , =FR789. 0 cos=FRFRyy、FRy5437 , =FRF F1 1F F2 2F F3 3F F4 4O OA AB BC C x xy y2m2m3m3m30306060 求主矩求主矩：（2 2）求合成结果：合成为一）求合成结果：合成为一个合力个合力F FR R， F FR R 的大小、方向的大小、方向与与F FRR 相同。其作用线与相同。其作用线与O O点点的垂直距离为：的垂直距离为：F FR R O OA AB BC C x

37、xy yL Lo oF FR Rd dF F1 1F F2 2F F3 3F F4 4O OA AB BC C x xy y2m2m3m3m30306060 =FomMo5 . 030sin3260cos2432=+-=FFFm51. 0=FRMod第八节第八节 平面力系的平衡方程平面力系的平衡方程所以平面任意力系平衡的必要和充分条件是：所以平面任意力系平衡的必要和充分条件是： 主失和主矩均为零。主失和主矩均为零。注意：上式中只有三个独立的平衡方程，只能解出注意：上式中只有三个独立的平衡方程，只能解出 三个未知量。三个未知量。2.2.平衡方程平衡方程1.1.平衡条件平衡条件一般式方程一般式方程

38、 以上每式中只有三个独立的平衡方程，只能解出以上每式中只有三个独立的平衡方程，只能解出三个未知量。三个未知量。平衡方程的其他形式：平衡方程的其他形式：二矩式方程二矩式方程两矩心的连线与投影轴两矩心的连线与投影轴不垂直不垂直三矩式方程三矩式方程三矩心三矩心不共线不共线(1)(1)平面汇交力系的平衡平面汇交力系的平衡从而得平面汇交力系的（解析）平衡条件为：从而得平面汇交力系的（解析）平衡条件为： 当物体处于平衡状态时，平面汇交力系的合力当物体处于平衡状态时，平面汇交力系的合力FR必须必须为零，即：为零，即：上式的含义为：上式的含义为： 力力系系中中所所有有各各力力在在任任意意坐坐标标轴轴上上投投影

39、影的的代代数数和和分别等于零。两个独立方程可解二个末知量。分别等于零。两个独立方程可解二个末知量。3.3.平面特殊力系的平衡方程平面特殊力系的平衡方程 平面力偶系可合成为一力偶，其合力偶矩等于各平面力偶系可合成为一力偶，其合力偶矩等于各分力偶的代数和。分力偶的代数和。（2 2）平面力偶系的合成与平衡）平面力偶系的合成与平衡M=m1+m2+=m 结论：作用在刚体上的平面力偶系的平衡条件是力结论：作用在刚体上的平面力偶系的平衡条件是力偶系中各力偶的矩之代数和等于零。偶系中各力偶的矩之代数和等于零。M = M1 + M3 + +Mn平面力偶系的平衡条件：平面力偶系的平衡条件：（3 3）平面平行力系的

40、平衡方程）平面平行力系的平衡方程b) 多矩式多矩式附加条件：附加条件： A、B两点的连线不平行两点的连线不平行F Fi i轴轴a) 基本形式基本形式 X 0 Y = 0 mo(F) = 0xoyABFi 例例1： 利用铰车绕过定滑轮利用铰车绕过定滑轮B的绳子吊起一重的绳子吊起一重W=20 kN的货的货物，滑轮由两端铰链的水平钢杆物，滑轮由两端铰链的水平钢杆AB和斜钢杆和斜钢杆BC支持于点支持于点B (图图a )。不计铰车的自重，试求杆不计铰车的自重，试求杆AB和和BC所受的力所受的力。30BWAC30aFBCFDFABWxy3030bB解解：1. 取滑轮取滑轮B(带轴销带轴销）作为研究对象作为

41、研究对象。2. 画出受力图画出受力图（b)。注意：注意：FD=W3.列平衡方程。列平衡方程。联立求解联立求解, ,得得反力反力FAB为负值，说明该力实际指向与图上假定指向相反。为负值，说明该力实际指向与图上假定指向相反。即杆即杆AB实际上受拉力实际上受拉力。FAB= 54.5kN , FBC= 74.5kNFBCFDFABWxy3030bB 例例2 2：如图所示，重物如图所示，重物W=20kN,W=20kN,用钢丝绳挂在支架用钢丝绳挂在支架的滑轮的滑轮B B上，钢丝绳的另一端缠绕在绞车上，钢丝绳的另一端缠绕在绞车D D上。杆上。杆ABAB与与BCBC铰接，并用固定铰支座铰接，并用固定铰支座A

42、A、C C与墙连接。如果两杆和与墙连接。如果两杆和滑轮的自重不计，并忽略摩擦和滑轮的大小，试求平滑轮的自重不计，并忽略摩擦和滑轮的大小，试求平衡时杆衡时杆ABAB和杆和杆BCBC所受的力。所受的力。解：解：杆杆ABAB和和BCBC都是二力杆，假设杆都是二力杆，假设杆ABAB受拉力、杆受拉力、杆BCBC受受压力，画受力图如下：压力，画受力图如下： 为了避免解联立方程，选直角坐标系如图所示，为了避免解联立方程，选直角坐标系如图所示，使使x x、y y轴分别与反力轴分别与反力N NBCBC、N NABAB垂直。垂直。列平衡方程求解：列平衡方程求解： Fx=0, -NAB+Tcos60-TBDcos3

43、0= 0得得 NAB=Tcos60-TBDcos30=-7.32kNNAB为负值，表示该力的实际指向与受力图中为负值，表示该力的实际指向与受力图中所假设的指向相反，即杆所假设的指向相反，即杆AB受压力作用。受压力作用。Fy=0, NBC-Tcos30-TBDcos60= 0得得NBC=Tcos30+TBDcos60= 27.32kNNBC为正值，表示该力的实际指向与受力图上所假为正值，表示该力的实际指向与受力图上所假设的指向相同，即杆设的指向相同，即杆BC也受压力作用。也受压力作用。 运用平衡条件求解未知力的步骤为：运用平衡条件求解未知力的步骤为： (1)合理确定研究对象并画该研究对象的受力图

44、；合理确定研究对象并画该研究对象的受力图； (2)选取适当的坐标系建立平衡方程；选取适当的坐标系建立平衡方程； (3)由平衡方程求解未知力。由平衡方程求解未知力。 列方程时注意各力投影的正负号。实际计算时，列方程时注意各力投影的正负号。实际计算时，通常规定与坐标轴正向一致的力为正。即水平力向右通常规定与坐标轴正向一致的力为正。即水平力向右为正，垂直力向上为正。为正，垂直力向上为正。 当求出未知力是正值时，表示该力的实际指向与当求出未知力是正值时，表示该力的实际指向与受力图上所假设的指向相同；如果是负值，则表示该受力图上所假设的指向相同；如果是负值，则表示该力的实际指向与受力图上所假设的指向相反

45、。力的实际指向与受力图上所假设的指向相反。例例3：简支梁简支梁AB上作用有两个力偶，如图所示。已知上作用有两个力偶，如图所示。已知 P=P=2kN，m=20kNm，a=1m，l=5m， 试求支座试求支座 A、B的反力。的反力。 解：解：取梁取梁AB为研究对象。画梁为研究对象。画梁AB的受力图的受力图列出平面力偶系的平衡方程列出平面力偶系的平衡方程mB=0,-Pasin30-m+RAl=0即即-210.5 20 + RA5=0解得解得RA=4.2kN故故RB=RA= 4.2kN例例4：梁梁AB上上作作用用一一集集中中力力和和一一均均布布荷荷载载（均均匀匀连连续续分分布布的的力力），如如图图。已已

46、知知P=6kN，荷荷载载集集度度（受受均均布布荷荷载载作作用用的的范范围围内内，每每单单位位长长度度上上所所受受的的力力的的大大小小）q=2kN/m，梁的自重不计，试求支座，梁的自重不计，试求支座A、B的反力。的反力。 解：解：取梁取梁ABAB为研究对象，画其受力图，为研究对象，画其受力图，由由 F Fx x=0,R=0,RAxAx-Pcos60=0-Pcos60=0得得R RAxAx=Pcos60=3kN=Pcos60=3kN由由mmA A(F)=0,R(F)=0,RB B4-Psin603-21=04-Psin603-21=0得得R RB B= 4.9kN= 4.9kN由由FFy y=0,

47、R=0,RAyAy-q2-Psin60+R-q2-Psin60+RB B=0=0得得R RAyAy= 4.3kN= 4.3kN例例5：如图示为一悬臂式起重机，如图示为一悬臂式起重机，A、C处都是固定铰处都是固定铰支座，支座，B处是铰链连接。梁处是铰链连接。梁AB自重自重W1=1kN，提升，提升重力重力W2=8kN，杆，杆BC的自重不计，试求支座的自重不计，试求支座A的反的反力和杆力和杆BC所受的力。所受的力。 解：解：取梁取梁AB为研究对象，画其受力图。为研究对象，画其受力图。由由mA(F)=0,-W12-W23+Nsin304=0得得N=W12+W23/sin304=13kN由由mB(F)=

48、0,-RAy4+W12+W21=0得得RAy=W12+W2/4=2.5kN由由mC(F)=0,RAx4tan30-W12-W23=0得得RAx=11.27kN例例6 6：求图示结构的支座反力。求图示结构的支座反力。解：解：取取AB AB 杆为研究对象画受力图。杆为研究对象画受力图。由由 FFX X = 0 = 0 ：由由 FFy y = 0 = 0 ：由由 MMA A = 0 = 0 ：由由 FFy y = 0 = 0 ：由由 MMA A = 0 = 0 ： 由由 FFX X = 0 = 0 ：例例7 7：求图示结构的支座反力。求图示结构的支座反力。解：解：取整个结构为研究对象画受力图。取整个

49、结构为研究对象画受力图。例题例题8 8：解：解：以以ABAB及重物作为研究对象；及重物作为研究对象；受力分析，画出受力如图；受力分析，画出受力如图；列平衡方程列平衡方程如如图图所所示示简简易易吊吊车车，A A、C C处处为为固固定定铰铰支支座座 ，B B处处为为铰铰链链。已已知知A AB B梁梁 重重P P= =4 4k kN N，重重物物重重Q Q = =1 10 0k kN N。求求 拉拉 杆杆B BC C和和 支支 座座A A的的 约约 束束 反反 力力 。解得解得：例例9: 已知：已知：P=20kN, m=16kNm, q=20kN/m, a=0.8m 求：求：A、B的支反力。的支反力

50、。解解 研究研究AB梁；梁； 受力如图；受力如图； 取取Axy直角坐标；直角坐标； 列平衡方程求解：列平衡方程求解： 解得：解得：例例10: 已知：已知：q=2 kN m ，P=2 kN ，l=1.5 m ，a=45 求：固定端求：固定端A处的反力。处的反力。 解解: 研究研究 AB 梁；梁； 受力分析：受力分析：P ,Q ,Q=q l ,XA ,YA ,MA ； 3. 列平衡方程求解：列平衡方程求解： 将将 Q = q l= 3 kN 及及 P , a 之值代入相应方程，之值代入相应方程，解得：解得： 例例11: 已知：旋转式起重机已知：旋转式起重机,自重自重W=10 kN,被起吊重物重被起

51、吊重物重Q=40 kN 。求：止推轴承。求：止推轴承A 和径向轴承和径向轴承B 的约束反力。的约束反力。 解：解： 研究起重机；研究起重机； 受力分析：受力分析：W , Q ,XA ,YA ,NB ； 取取 Axy直角坐标直角坐标轴；轴； 列平衡方程求解：列平衡方程求解：解得：解得：第九第九节节 空空间间力系力系空间力系：空间力系：各力作用线不在同一平面内的力系各力作用线不在同一平面内的力系一、力在直角坐标轴上的投影一、力在直角坐标轴上的投影(1)一次投影法一次投影法一次投影法一次投影法(2)二次投影法二次投影法 有些时候，需要求某力在坐标轴上的投影，但有些时候，需要求某力在坐标轴上的投影，但

52、没有直接给出这个力与坐标轴的夹角，而必须改没有直接给出这个力与坐标轴的夹角，而必须改用二次投影法。用二次投影法。oFFxFzFxy y注：合力投影定理注：合力投影定理同样适用空间力系。同样适用空间力系。二、力对轴的矩二、力对轴的矩 工程中常遇到刚体绕定轴转动的情况，为度量工程中常遇到刚体绕定轴转动的情况，为度量其转动效应，引入力对轴的矩的概念。其转动效应，引入力对轴的矩的概念。 门上作用一力门上作用一力F，使其，使其绕固定轴绕固定轴z转动。转动。Fxy对对z轴轴之矩就是力之矩就是力F对对z轴之矩轴之矩,用用Mz（F）表示。则：）表示。则：OFxyd dAxyFxFyab正负判定正负判定：右手螺

53、旋法则：右手螺旋法则即以右手四个手指的弯曲即以右手四个手指的弯曲方向表示力方向表示力FxyFxy绕绕Z Z轴的转轴的转向，则拇指方向与向，则拇指方向与Z Z轴正向轴正向一致时力对轴的矩为正，一致时力对轴的矩为正，反之为负。反之为负。合力矩定理合力矩定理 ：如一空间力系由如一空间力系由F1、F2、Fn组成，其合力为组成，其合力为FR，则合力，则合力FR对某轴之矩等于对某轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和。各分力对同一轴之矩的代数和。 三、空间力系的平衡方程三、空间力系的平衡方程空间一般力系的平衡条件：空间一般力系的平衡条件：各力在三个坐标轴上投影各力在三个坐标轴上投影的代数和分别等于零；各力对

54、三轴力矩的代数和也分的代数和分别等于零；各力对三轴力矩的代数和也分别等于零。别等于零。例例1：图示力：图示力F=1000N，求，求F对对z轴的矩轴的矩z。 xzFZFxyxyFxyFxyFyFx10155FxFy例题1-10yz面:zyFT2FFT1xy面:yxBy以以y轴为研究对象，则轴为研究对象，则Dxz面:zxBzD空间力系平衡问题的平面解法空间力系平衡问题的平面解法 ： 在工程中，常将空间力系投影到三个坐标平在工程中，常将空间力系投影到三个坐标平面上，画出构件受力图的主视、俯视、侧视等三视面上，画出构件受力图的主视、俯视、侧视等三视图，分别列出它们的平衡方程，同样可解出所求的图，分别列出它们的平衡方程，同样可解出所求的未知量。这种将空间问题转化为平面问题的研究方未知量。这种将空间问题转化为平面问题的研究方法，称为法，称为空间问题的平面解法。空间问题的平面解法。