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1、第一章 直角三角形的边角关系1 从梯子的倾斜程度谈起第1课时 1.1.能够用正切表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的能够用正切表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单计算倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单计算( (重点重点) )2.2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系联系.(.(难点难点) )1.1.正切与梯子的倾斜程度正切与梯子的倾斜程度如图如图, ,梯子斜靠在墙上梯子斜靠在墙上. .【思考思考】(1)AB(1)AB1 1C C1 1与与ABAB2 2C C2 2相似吗相
2、似吗? ?为什么为什么? ?提示提示: :ABAB1 1C C1 1与与ABAB2 2C C2 2相似相似.A=A,AC.A=A,AC1 1B B1 1=AC=AC2 2B B2 2=90,=90,ABAB1 1C C1 1ABAB2 2C C2 2. .(2)(2)如果改变如果改变B B2 2在梯子上的位置在梯子上的位置, ,那么那么ABAB1 1C C1 1与与ABAB2 2C C2 2_( (填填“相似相似”或或“不相似不相似”).).相似相似(3)(3)根据以上探究可知，无论根据以上探究可知，无论B B2 2在梯子上的哪个位置，都有在梯子上的哪个位置，都有(4)(4)梯子的倾斜程度与上
3、面的比值有何关系？梯子的倾斜程度与上面的比值有何关系？提示：提示：上面的比值越大，梯子越陡上面的比值越大，梯子越陡. .【总结总结】(1)(1)正切的定义正切的定义: :在在RtABCRtABC中中, ,如果锐角如果锐角A A确定确定, ,那么那么A A的的_与与_的比便的比便随之确定随之确定, ,这个比叫做这个比叫做A A的正切的正切, ,记作记作_. .(2)(2)梯子的倾斜程度与正切的关系梯子的倾斜程度与正切的关系: :如果梯子与地面的夹角为如果梯子与地面的夹角为A,A,那么那么tanAtanA的值的值_, ,梯子越陡梯子越陡. .对边对边邻边邻边tanAtanA越大越大2.2.坡度坡度
4、坡面的坡面的_与与_的比称为坡度的比称为坡度( (或或_),_),山坡山坡的坡度常用的坡度常用_描述描述. .铅直高度铅直高度水平宽度水平宽度坡比坡比正切正切 ( (打打“”“”或或“”)”)(1)(1)一个角所在的直角三角形越大，这个角的正切值也越一个角所在的直角三角形越大，这个角的正切值也越大大.( ).( )(2)(2)一个角的正切值只与这个角的大小有关一个角的正切值只与这个角的大小有关.( ).( )(3)(3)只有直角三角形中的角才有正切值只有直角三角形中的角才有正切值.( ).( )(4)(4)一个斜坡的坡角越大，坡度也越大一个斜坡的坡角越大，坡度也越大.( ).( )(5)(5)
5、在在ABCABC中，中， ( ) ( )知识点知识点 1 1 求锐角的正切值求锐角的正切值【例例1 1】已知已知ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，BDBD是是ACAC边上的中线，边上的中线，AB=13AB=13，BC=10.BC=10.求求tan DBCtan DBC的值的值【思路点拨思路点拨】作高作高AHAH，DFBCDFBC求出求出AHAH的长的长求出求出DFDF的长的长在在RtDBFRtDBF中求出中求出tan DBCtan DBC的值的值. .【自主解答自主解答】过点过点A,DA,D分别作分别作AHBC,DFBCAHBC,DFBC，垂足分别为，垂足分别为点点H,F.H,F.AB
6、=ACAB=AC，AHBCAHBC，在在RtABHRtABH中，中，AHDFAHDF，且，且BDBD是是ACAC边上的中线，边上的中线，在在RtDBFRtDBF中，中，【总结提升总结提升】利用定义求锐角的正切值的利用定义求锐角的正切值的“三步法三步法”1.1.观察：观察所给的锐角是否在直角三角形中观察：观察所给的锐角是否在直角三角形中. .2.2.转化：如果所给的锐角不在直角三角形中，可通过作辅助线转化：如果所给的锐角不在直角三角形中，可通过作辅助线构造直角三角形或利用等量关系代换将锐角构造直角三角形或利用等量关系代换将锐角“转移转移”到直角三到直角三角形中角形中. .3.3.求解：在直角三角
7、形中求出这个角的对边与邻边的比值，就求解：在直角三角形中求出这个角的对边与邻边的比值，就是这个角的正切值是这个角的正切值. .知识点知识点 2 2 正切的应用正切的应用【例例2 2】如图，一段河坝的横断面为梯形如图，一段河坝的横断面为梯形ABCDABCD，试根据图中的，试根据图中的数据，求出坝底宽数据，求出坝底宽ADAD(i=CEED(i=CEED，单位：，单位：m)m)【解题探究解题探究】1.ED1.ED与与CECE有什么关系有什么关系?ED?ED的长是多少的长是多少? ?提示提示: :i=CEED=12,i=CEED=12,ED=2CE=24=8(m).ED=2CE=24=8(m).2.2
8、.如图如图, ,过点过点B B作作BFADBFAD于于F,F,则四边形则四边形BFECBFEC是什么形状的特殊是什么形状的特殊四边形四边形?EF,BF?EF,BF的长是多少的长是多少? ?提示提示: :四边形四边形BFECBFEC是正方形是正方形, ,则则EF=BF=BC=4 m.EF=BF=BC=4 m.3.3.可求出可求出AFAF的长是多少？那么即可求出坝底宽的长是多少？那么即可求出坝底宽AD.AD.提示：提示：在在RtABFRtABF中，由勾股定理可得：中，由勾股定理可得：根据以上探究，可得坝底根据以上探究，可得坝底ADADAF+FE+EDAF+FE+ED3+4+83+4+815(m)1
9、5(m)【互动探究互动探究】在上题中，斜坡在上题中，斜坡ABAB的坡度是多少？的坡度是多少？提示：提示：在在RtAFBRtAFB中，因中，因BF=4BF=4，AF=3AF=3，所以斜坡，所以斜坡ABAB的坡度的坡度为为【总结提升总结提升】坡度的常见用法和两点注意坡度的常见用法和两点注意坡度的常见用法：坡度的常见用法：(1)(1)坡度常和实际生活中的问题相结合，如拦水坝、开渠、修坡度常和实际生活中的问题相结合，如拦水坝、开渠、修路等路等. .(2)(2)坡度常和梯形的知识相结合，解题时常把梯形转化为三角坡度常和梯形的知识相结合，解题时常把梯形转化为三角形和矩形求解形和矩形求解. .两点注意：两点
10、注意：(1)(1)坡度是两条线段的比值，不是度数坡度是两条线段的比值，不是度数. .(2)(2)坡度是铅直高度与水平宽度的比，而不是斜面距离与水平坡度是铅直高度与水平宽度的比，而不是斜面距离与水平宽度宽度( (或铅直高度或铅直高度) )的比的比. .题组一：求锐角的正切值题组一：求锐角的正切值1.1.如图，在如图，在8484的矩形网格中，每个小正方形的边长都是的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1 1，若若ABCABC的三个顶点在图中相应的格点上，则的三个顶点在图中相应的格点上，则tan ACBtan ACB的值的值为为( )( )【解析解析】选选A A如图，在网格中构造含有如图，在网格中构造
11、含有ACBACB的的RtACDRtACD，在该三角形中在该三角形中2.2.某时刻海上点某时刻海上点P P处有一客轮，测得灯塔处有一客轮，测得灯塔A A位于客轮位于客轮P P的北偏东的北偏东3030方向，且相距方向，且相距2020海里客轮以海里客轮以6060海里海里/ /小时的速度沿北偏小时的速度沿北偏西西6060方向航行方向航行 小时到达小时到达B B处，那么处，那么tan ABPtan ABP( )( )【解析解析】选选A A如图，在如图，在PABPAB中，中，APBAPB606030309090，PAPA2020海里，海里， ( (海里海里) )，故故3.(20133.(2013济南中考济
12、南中考) )已知直线已知直线l1 1l2 2l3 3l4 4，相邻的两条，相邻的两条平行直线间的距离均为平行直线间的距离均为h h，矩形，矩形ABCDABCD的四个顶点分别在这四的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示，条直线上，放置方式如图所示，AB=4AB=4，BC=6BC=6，则，则tan tan 的值的值等于等于( )( )【解析解析】选选C.C.如图，作如图，作AMAMl4 4于点于点M M，作，作CNCNl4 4于点于点N N，则则AM=hAM=h，CN=2hCN=2h，ABM+BAM=90ABM+BAM=90，四边形四边形ABCDABCD是矩形，是矩形，ABC=90ABC=
13、90，ABM+=90ABM+=90，BAM=BAM=，ABMBCNABMBCN，BM=AMBM=AMtan =htan tan =htan ，4.4.在在ABCABC中，中，C=90C=90，AB=5AB=5，BC=4BC=4，则，则tan A=_.tan A=_.【解析解析】由勾股定理，得由勾股定理，得答案：答案：5.5.如图，在如图，在ABCABC中，中，ACAC4 4，BCBC3 3，CDABCDAB于点于点D D，BDBD2,2,求求tan Atan A，tan Btan B的值的值. .【解析解析】在在RtBDCRtBDC中，中，BCBC3 3，BDBD2 2，在在RtADCRtAD
14、C中中, ,题组二：题组二：正切的应用正切的应用1.1.如图，在平地上种植树木时，如图，在平地上种植树木时，要求株距要求株距( (相邻两树间的水平距相邻两树间的水平距离离) )为为4 m.4 m.如果在坡度为如果在坡度为0.750.75的的山坡上种树，也要求株距为山坡上种树，也要求株距为4 m,4 m,那么相邻两树间的坡面距离为那么相邻两树间的坡面距离为( )( )A.5 m B.6 m C.7 m D.8 mA.5 m B.6 m C.7 m D.8 m 【解析解析】选选A.A.由题意可得由题意可得, ,如图，如图，AC=4 mAC=4 m，tan A=0.75,tan A=0.75,则则故
15、故BC=3 mBC=3 m，则则2.(20132.(2013聊城中考聊城中考) )河堤横断面如图所示，堤高河堤横断面如图所示，堤高BC=6 mBC=6 m，迎水，迎水坡坡ABAB的坡比为的坡比为 则则ABAB的长为的长为( )( )【解析解析】选选A.A.在在RtABCRtABC中，中，【变式备选变式备选】河堤横断面如图所示，迎水坡河堤横断面如图所示，迎水坡ABAB的坡比为的坡比为ABAB的长是的长是10 m10 m，则堤高，则堤高BC=_ mBC=_ m【解析解析】在在RtABCRtABC中，中，答案：答案：5 53.(20133.(2013安顺中考安顺中考) )在在RtABCRtABC中，
16、中，则则ABCABC的面积为的面积为_._.【解析解析】RtABCRtABC中，中， 解得解得CA=6CA=6，答案：答案：24244.4.某人沿着有一定坡度的坡面前进了某人沿着有一定坡度的坡面前进了10 m10 m，此时他与水平地面，此时他与水平地面的垂直距离为的垂直距离为 则这个坡面的坡度为则这个坡面的坡度为_【解析解析】如图，如图，由勾股定理，得由勾股定理，得斜坡斜坡ABAB的坡度的坡度答案：答案：12125.5.如图如图, ,拦水坝的横断面为梯形拦水坝的横断面为梯形ABCD,ABCD,坝顶宽坝顶宽AD=5m,AD=5m,斜坡斜坡ABAB的坡的坡度度i =13(i =13(指坡面的铅直高
17、度指坡面的铅直高度AEAE与水平宽度与水平宽度BEBE的比的比),),斜坡斜坡DCDC的的坡度坡度i=11.5,i=11.5,已知该拦水坝的高为已知该拦水坝的高为6m.6m.(1)(1)求斜坡求斜坡AB AB 的长的长. .(2)(2)求拦水坝的横断面梯形求拦水坝的横断面梯形ABCD ABCD 的周长的周长. .( (注意：本题中的计算过程和结果均保留根号注意：本题中的计算过程和结果均保留根号) )【解析解析】(1) (1) 在在RtABERtABE中，根据勾股定理得，中，根据勾股定理得，答：斜坡答：斜坡AB AB 的长为的长为(2)(2)过点过点D D作作DFBCDFBC于点于点F F，四边
18、形四边形AEFDAEFD是矩形是矩形. .EF=AD=5 m.EF=AD=5 m.又又BC=BEBC=BEEFEFFC=18FC=185 59=32(m).9=32(m).在在RtDCFRtDCF中，根据勾股定理得，中，根据勾股定理得，梯形梯形ABCD ABCD 的周长为的周长为ABABBCBCCDCDDADA答：梯形答：梯形ABCD ABCD 的周长为的周长为【想一想错在哪？想一想错在哪？】如图，如图，ABCABC中，中，C=90C=90，BC=6 cmBC=6 cm， ABCABC的面积是多少？的面积是多少？提示：提示：对正切的定义理解不透彻，搞错了边之间的比对正切的定义理解不透彻，搞错了边之间的比. .
