Lyapunov方程•Lyapunov方程是指具有如下形式的方程•A,Q给定，如果P存在，就说Lyapunov方程有解•以下叙述中，用In（A）=(p，q，r)表示A的惯性指数正，负，零实部）1 Lyapunov方程的一般解•矩阵方程AX-XB=C有唯一解X的充分必要条件是A和B没有相同的特征根•设 （i=1，2……n）是矩阵A的特征值，则Lyapunov方程有唯一实对称解的充要条件是 i，j=1，2，……n•设Q为任意给定的正定矩阵，则Lyapunov方程有唯一正定解P的充要条件是In（A）=（0，n，0）2 •设Q= 是半正定矩阵，且•（A,D）是可观的、可控的、可检测的、可稳定的Lyapunov方程具有唯一正定解的充分必要条件是In（A）=（0，n，0）•可稳定：对于系统 进行状态反馈 ，若闭环控制系统对于任意初始状态 满足 ，则称为系统是可稳定的，即（A,B）是可稳定的•对于系统 ，如果（ ， ）是可稳定的，则称系统是可检测的，即（C，A）是可检测的3 •可稳定性；（A,B）是可稳定的 存在使A+BK渐进稳定的矩阵K 对于任意的Re(S) 0,有rank（SI-A，B）=n。
•可检测性（C，A）是可检测的 存在使A+HC渐进稳定的矩阵Ｈ 对于任意的Re(S) 0,有rank =n•可控性？•可观性？•如何判断？ 4 Riccati方程•Riccati方程是指具有如下形式的矩阵方程：•其中 ，且Q为对称矩阵，R为半定或者半负定矩阵，若存在P满足上式，则称该方程有解5 Raccati解的一般形式•定义 维的矩阵E如下：•称为Raccati方程的Hamiltonian矩阵•设 （i=1,2……n）是E的n个特征根 ，•是以之对应的特征向量，记 （i=1,2……n）对应的Jordan标准型为J，并定义 矩阵T为 ，则有ET=TJ，令•矩阵 和 为 ，那么关于Riccati方程的解有如下结论：6 •若P是方程的解，p可以表示为 ，反之，若 是非奇异矩阵，则上式给出的矩阵P是Riccati方程的解。
•Hamilton矩阵E的特征值关于原点是对称分布的，即若 是E的一个特征值，则• 均为E的特征值•设 （i=1，2，……n）为E的n个特征值，•和 由相应的特征向量组成， ，则• 是Hermitian阵•设 是Riccati方程的一个解，若对应特征值 的特征向量 包含在矩阵7 •中，对应于 的 也包含在T中，则P是实矩阵•Riccati方程存在一个实对称解P,且使得In（A+RP）=(0,n,0)的充要条件是：•1）In(E)=(n,n,0)•2)(A,R)是可稳定的•若（A，B）是可稳定的，（A，c）是可检测的，则In（E）=（0，n，0）•Riccati方程存在唯一非负解P且使矩阵•In 的充要条件是（A，B）是可稳定的，（A，c）是可检测的，8 正实性•有理函数， ，其中，p（s）是有理多项式，假定p（s）和q（s）互素？，则一定存在 ， ，使得（A，b，c，d）是G（s）的一个最小实现？，即 •实现：给定线性定常系统的传递函数矩阵G（s），寻求一个状态空间描述•使 ，则称此状态空间描述是给定传递函数G(s)的一个实现。
9 •若G（s）为正实有理函数，则其在开右半平面无极点•谱分解：对于给定的有理函数G（s），若存在有理函数 ，使得•则称上式为G（s）的谱分解•谱分解定理：设正定有理函数G（s）的最小实现为（A，b，c，d），且A的特征值均有负实部，则G（s）存在谱分解式， 且 的最小实现为（A，b，h， ），其中， ，h为适当向量•正实性定理：设有理函数G（s）的最小实现为（A，b，c，d），则G（s）是正实函数的10 •充要条件是存在向量 以及正定矩阵• 满足•严格正实性定理？•设（A，b，c，d）是有理函数G（s）的一个最小实现，且 ,则G（s）严格正实德充要条件是A为Hurwitz矩阵？，且11 正实有理函数矩阵•若 满足如下条件：1）Z（s）的所有元 ，在s的开右半平面解析；•2） 在s的右半平面正定或半正定，即•则称Z（s）是正实的，又若存在 ，使得• 正实，则称Z（s）是严格正实的•谱分解定理：与标量函数一样，若Z（s）是•矩阵，其元素无任何零实部极点，则存在• ，使得12 •在众多实现中，能控类和能观类实现是最常见的实现，这里，（A，B，C，D）不但能满足传递函数矩阵关系式，而且（A,B）能控或（A，C）能观测。
所谓最小实现，是指A的维数最小，从而也使B，C，D维数最小，它以最简单的状态空间结构去获得等价的外部传递特性•若G（s）在开右半平面内解析，且对于满足Re（s）>0的任意S，有 •则称G（s）是正实的，若存在 ，使得• 是正实的，则称G（S）是严格正实的，13 •1）•2）M（s）在闭右半平面解析，且rankM（s）=r,r为矩阵 的秩•正实阵定理： 是正实阵的充要条件是，存在 矩阵P，H和W，使得•成立，其中，P是正定矩阵•严格正实阵？•设（A，B，C，D）是有理函数阵Z（s）的一个最小实现且 ，则Z（s）严格正实德充要条件是A为Hurwitz矩阵，且对于14 15• 。