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1、误差理论与测量平差基础误差理论与测量平差基础 学时：学时：50h测绘学科本科必修的专业基础课测绘学科本科必修的专业基础课最小二乘法最小二乘法测量平差测量平差最小二乘法与测量平差最小二乘法与测量平差误差理论与数据处理误差理论与数据处理测量平差基础测量平差基础本课程曾经使用过的名称本课程曾经使用过的名称简称：二法、平差简称：二法、平差线线性性代代数数高高等等数数学学误差理论与测量平差基础误差理论与测量平差基础概概率率论论测测量量学学应应用用控控制制测测量量天天文文测测量量重重力力测测量量工工程程测测量量摄摄影影测测量量人人卫卫测测量量本课程与其它课程的关系本课程与其它课程的关系绪绪 论（论（int
2、roduction）一一、测测量量平平差差基基本本概概念念（ basic concepts of adjustment of observations)二二、测测量量平平差差的的任任务务（task of adjustment of observations)三三 、 测测 量量 平平 差差 发发 展展 简简 史史(brief history of adjustment of observations)四、本课程的主要内容四、本课程的主要内容(main content)1、测量条件与测量误差、测量条件与测量误差什么是测量？什么是测量？测量是观测者在特定的环境中借助仪器获测量是观测者在特定的环境中
3、借助仪器获取测量对象物理（几何）信息的活动。取测量对象物理（几何）信息的活动。观测者仪器测量环境测量对象观测者仪器测量环境测量对象测量条件测量条件测量条件不可能尽善尽美，测量必有误差测量条件不可能尽善尽美，测量必有误差一、测量平差基本概念一、测量平差基本概念1、测量条件与测量误差、测量条件与测量误差一、测量平差基本概念一、测量平差基本概念1、测量条件与测量误差、测量条件与测量误差一、测量平差基本概念一、测量平差基本概念观测者观测者鉴别力、情绪、工作态度、水平差别；鉴别力、情绪、工作态度、水平差别；仪仪 器器精密度、读盘刻划误差、轴向误差；精密度、读盘刻划误差、轴向误差；观测对象观测对象观测目标
4、：圆筒、标尺、卫星；观测目标：圆筒、标尺、卫星；自然环境自然环境温度、湿度、风力、风向变化等。温度、湿度、风力、风向变化等。测测量量条条件件结论：结论：测量必有误差，误差与测量条件密切相关测量必有误差，误差与测量条件密切相关1、测量条件与测量误差、测量条件与测量误差一、测量平差基本概念一、测量平差基本概念 测量条件测量条件 测量精度测量精度好好高高差差低低相同相同等精度等精度不相同不相同非等精度非等精度一定的测量条件对应着一定的观测精度。测量条一定的测量条件对应着一定的观测精度。测量条件相同，观测精度相等；测量条件不同观测精度件相同，观测精度相等；测量条件不同观测精度不等。不等。一、测量平差基
5、本概念一、测量平差基本概念2、多余观测（、多余观测（Redundant Observation）多余观测多余观测：必要观测以外的观测：必要观测以外的观测必要观测必要观测：测量中可确定全部未知量所：测量中可确定全部未知量所 需的最少的观测（必需观测）需的最少的观测（必需观测）观测任意两个角度，可确定一个三角形观测任意两个角度，可确定一个三角形实际测量中，三个内角都观测实际测量中，三个内角都观测必需观测数必需观测数2多余观测数多余观测数1例：例：一、测量平差基本概念一、测量平差基本概念2、多余观测（、多余观测（Redundant Observation）多余观测：必要观测以外的观测多余观测：必要观
6、测以外的观测必要观测：测量中可确定全部未知量所必要观测：测量中可确定全部未知量所 需的最少的观测（必需观测）需的最少的观测（必需观测）测距：测距：观测一次，可确定两点间的距离观测一次，可确定两点间的距离实际测量，进行实际测量，进行n次测量次测量必需观测数必需观测数1多余观测数多余观测数n-1一、测量平差基本概念一、测量平差基本概念2、多余观测（、多余观测（Redundant Observation）多余观测的后果：多余观测的后果：一、测量平差基本概念一、测量平差基本概念2、多余观测（、多余观测（Redundant Observation）多余观测的后果：多余观测的后果：测距：测距：多余观测的作
7、用：多余观测的作用： 揭示矛盾揭示矛盾 发现观测误差发现观测误差 提高观测结果精度提高观测结果精度一、测量平差基本概念一、测量平差基本概念2、多余观测（、多余观测（Redundant Observation）一般情况：一般情况：一、测量平差基本概念一、测量平差基本概念3、最小二乘原理（最小二乘原理（the Least Squares Principle）等精度观测值等精度观测值:改正数改正数:最小二乘原理最小二乘原理：矩阵表示矩阵表示：一、测量平差基本概念一、测量平差基本概念3、最小二乘原理（最小二乘原理（the Least Squares Principle）非等精度观测值非等精度观测值:改
8、正数改正数:最小二乘原理最小二乘原理：矩阵表示矩阵表示：权（信赖系数）权（信赖系数）:一、测量平差基本概念一、测量平差基本概念3、最小二乘原理（最小二乘原理（the Least Squares Principle）当观测值非等精度，且顾及当观测值非等精度，且顾及它们之间内在的关联时它们之间内在的关联时权矩阵：权矩阵：最小二乘原理最小二乘原理：关于权矩阵：关于权矩阵：（1）对称矩阵）对称矩阵（2）对角线元素用单下标）对角线元素用单下标（3）pij不是不是P的对角线元素的对角线元素（4）独立等精度（非等精度）独立等精度（非等精度）权矩阵权矩阵 都是相关权矩都是相关权矩阵的特例阵的特例一、测量平差基
9、本概念一、测量平差基本概念4、测量平差（、测量平差（Adjustment of Observation）定义：定义：在多余观测的基础上，依据一定的观测模在多余观测的基础上，依据一定的观测模型，按照一定的数学原则，对观测结果进行合理型，按照一定的数学原则，对观测结果进行合理的调整，求得一组没有矛盾的最可靠结果，并评的调整，求得一组没有矛盾的最可靠结果，并评定精度，这种处理方法和过程称为测量平差。定精度，这种处理方法和过程称为测量平差。消除矛盾消除误差？消除矛盾消除误差？消除矛盾消除矛盾消除误差消除误差平差可以消除矛盾，当不能消除误差平差可以消除矛盾，当不能消除误差一、测量平差基本概念一、测量平差
10、基本概念4、测量平差（、测量平差（Adjustment of Observation）最或然值最或然值用最小二乘平差求得的未知数的用最小二乘平差求得的未知数的 解，也叫最可靠值、平差值。解，也叫最可靠值、平差值。最或然改正数最或然改正数最小二乘平差计算的观测值最小二乘平差计算的观测值 改正数，也叫改正数、残差。改正数，也叫改正数、残差。与平差有关的两个词：与平差有关的两个词：多余观测多余观测约束模型约束模型最小二乘最小二乘 原原 理理提提高高可可靠靠性性测量测量误差误差矛盾矛盾消除消除矛盾矛盾最最小小二二乘乘平平差差二、测量平差的任务二、测量平差的任务1、依最小二乘原理求待定量的最或然值。、依
11、最小二乘原理求待定量的最或然值。2、估计观测结果和平差结果的精度。（精度估计）、估计观测结果和平差结果的精度。（精度估计）三、测量平差发展简史三、测量平差发展简史1、经典最小二乘法、经典最小二乘法1806年，勒戎德尔（年，勒戎德尔（A.M.Legendre），），最先发表最先发表“最小二乘法最小二乘法”的名称是勒戎德尔命名的。的名称是勒戎德尔命名的。 1794年，高斯（年，高斯（C.F.Gauss），），最先提出最先提出2、测量平差的当代进展、测量平差的当代进展1947年，田斯特拉（年，田斯特拉（T.M.Tienstra）提出相关平差提出相关平差测量平差是古老而又充满活力的学科领域。测量平差是
12、古老而又充满活力的学科领域。最小二乘法最小二乘法 Least Squares Method四、本课程的主要内容四、本课程的主要内容1、误差理论：、误差理论：误差分类、偶然误差特性、精度定义误差分类、偶然误差特性、精度定义及传播、权的定义及传播等及传播、权的定义及传播等2、测量平差基本方法：、测量平差基本方法：参数平差、条件平差、综参数平差、条件平差、综合平差法等合平差法等3、平差结果的统计性质、误差椭圆、平差结果的统计性质、误差椭圆4、测量平差的统计假设检验方法、测量平差的统计假设检验方法5、现代平差简介、现代平差简介线线性性代代数数高高等等数数学学误差理论与测量平差基础误差理论与测量平差基础
13、概概率率论论测测量量学学应应用用控控制制测测量量天天文文测测量量重重力力测测量量工工程程测测量量摄摄影影测测量量人人卫卫测测量量本课程与其它课程的关系本课程与其它课程的关系要要 求求1.足够重视，注意专业课与基础课学习方足够重视，注意专业课与基础课学习方法的转变。法的转变。2.做好预备，基础知识的复习。做好预备，基础知识的复习。3.以饱满的精神听课。以饱满的精神听课。4.按时完成练习题。按时完成练习题。5.及时交流，改进教学，共同提高。及时交流，改进教学，共同提高。休休 息息第一章第一章 误差理论与最小二乘原理误差理论与最小二乘原理（ The theory of errors and Leas
14、t Squares Principle）本章内容是教学的重点，教学量占全部教学本章内容是教学的重点，教学量占全部教学量的量的1/31/3左右，本课程的大部分难点都在本章，左右，本课程的大部分难点都在本章，希望引起同学们的足够重视。希望引起同学们的足够重视。（observational errors and their types）一、真值和真误差（一、真值和真误差（true value and true errors）真值真值反映一个量真正大小的绝对准确的数值反映一个量真正大小的绝对准确的数值估值估值以一定的准确度表示一个量的大小的数值以一定的准确度表示一个量的大小的数值真误差真误差观测值与真
15、值之差观测值与真值之差观测值、平差值都是估值观测值、平差值都是估值约定符号：约定符号： X真值真值 L观测值观测值 真误差真误差1.1 测量误差及其分类测量误差及其分类三角形内角和的真误差三角形内角和的真误差:三角形闭合差的真误差等于它本身。三角形闭合差的真误差等于它本身。三角形闭合差的真误差三角形闭合差的真误差:一、真值和真误差（一、真值和真误差（true value and true errors）1.1 测量误差及其分类测量误差及其分类双次观测之较差是真误差。双次观测之较差是真误差。例例2：是同一个量的双次观测值是同一个量的双次观测值具有相同的真值具有相同的真值较差：较差：较差的真误差较
16、差的真误差：一、真值和真误差（一、真值和真误差（true value and true errors）1.1 测量误差及其分类测量误差及其分类在测量中，观测值的真值及真误差都是不在测量中，观测值的真值及真误差都是不可能知道的，但是观测值的某些函数值的可能知道的，但是观测值的某些函数值的真值可以知道。根据观测值的函数值与其真值可以知道。根据观测值的函数值与其真值的差异，可以判断观测值中是否存在真值的差异，可以判断观测值中是否存在粗差。粗差。一、真值和真误差（一、真值和真误差（true value and true errors）1.1 测量误差及其分类测量误差及其分类二、误差分类二、误差分类1、
17、粗差、粗差 （blunders） 原因：原因：操作错误、仪器故障、测量条件异常变化。操作错误、仪器故障、测量条件异常变化。特点：特点：没有规律性，单个误差具有离群的特征。没有规律性，单个误差具有离群的特征。1.1 测量误差及其分类测量误差及其分类定义：定义：由作业人员的粗心大意或仪器故障所造成的差错称为粗差由作业人员的粗心大意或仪器故障所造成的差错称为粗差例：同一个量的观测值：例：同一个量的观测值：1.115, 1.114, 1.110, 1.119, 1.120, 5.234, 1.112, 二、误差分类二、误差分类1、粗差、粗差 （blunders） 原因：原因：操作错误、仪器故障、测量条
18、件异常变化。操作错误、仪器故障、测量条件异常变化。措施：措施：（1）加强观测者的责任心，培养细致的业务作风。）加强观测者的责任心，培养细致的业务作风。特点：特点：没有规律性，单个误差具有离群的特征。没有规律性，单个误差具有离群的特征。 （2）闭合差检验，剔除孤值。）闭合差检验，剔除孤值。 （3）近代平差中的抗差估计、粗差探测等。）近代平差中的抗差估计、粗差探测等。经典平差，要求粗差消灭在平差之前。经典平差，要求粗差消灭在平差之前。1.1 测量误差及其分类测量误差及其分类定义：定义：由作业人员的粗心大意或仪器故障所造成的差错称为粗差由作业人员的粗心大意或仪器故障所造成的差错称为粗差2、系统误差、
19、系统误差 (Systematic Errors)定义定义：由测量条件中某些特定因素的系统性影响而产生的误差。由测量条件中某些特定因素的系统性影响而产生的误差。特点：特点：同等测量条件下，系统误差的大小和符号常固定不变，同等测量条件下，系统误差的大小和符号常固定不变，或呈系统性的变化，影响具有累积性。或呈系统性的变化，影响具有累积性。来源：来源：（1 1）人差；（）人差；（2 2）仪器差；（）仪器差；（3 3）外界环境变化。）外界环境变化。二、误差分类二、误差分类1.1 测量误差及其分类测量误差及其分类例：例：距离测量中的尺长误差、距离测量中的尺长误差、GPS测量中的测量中的电离层误差、觇标扭转
20、误差等电离层误差、觇标扭转误差等2、系统误差、系统误差 (Systematic Errors)定义定义：由测量条件中某些特定因素的系统性影响而产生的误差。由测量条件中某些特定因素的系统性影响而产生的误差。特点：特点：同等测量条件下，系统误差的大小和符号常固定不变，同等测量条件下，系统误差的大小和符号常固定不变，或呈系统性的变化，影响具有累积性。或呈系统性的变化，影响具有累积性。来源：来源：（1 1）人差；（）人差；（2 2）仪器差；（）仪器差；（3 3）外界环境变化。）外界环境变化。措施：措施：（1 1）找出规律，进行改正；）找出规律，进行改正； （2 2）改进仪器，完善操作；）改进仪器，完善
21、操作； （3 3）综合分析，建立模型，在平差中消除。）综合分析，建立模型，在平差中消除。二、误差分类二、误差分类1.1 测量误差及其分类测量误差及其分类3、偶然误差、偶然误差 ( Random Errors)定义：定义：由测量条件中各种随机因素的偶然性影响而产生的误差。由测量条件中各种随机因素的偶然性影响而产生的误差。特点：特点： （1）产生误差的原因是随机的；）产生误差的原因是随机的； （2）原因是多方面的；）原因是多方面的； （3）单个误差的大小、符号无规律；）单个误差的大小、符号无规律； （4）误差总体上服从统计规律。）误差总体上服从统计规律。 偶然误差是不可避免的。经典平差在认为观测值
22、仅含偶然偶然误差是不可避免的。经典平差在认为观测值仅含偶然误差的情况下，调整误差、消除矛盾，求出最或然值，并进行误差的情况下，调整误差、消除矛盾，求出最或然值，并进行精度估计。精度估计。二、误差分类二、误差分类1.1 测量误差及其分类测量误差及其分类说明几点：说明几点：1.系系统统误误差差和和偶偶然然误误差差是是同同时时存存在在的的。理理想想的的情情况况是是平平差差前尽量消除或减弱系统误差，使偶然误差居主要成分。前尽量消除或减弱系统误差，使偶然误差居主要成分。2.系系统统误误差差和和偶偶然然误误差差是是相相对对的的。在在一一定定条条件件下下是是可可以以相相互互转化的。转化的。3.即即使使存存在
23、在系系统统误误差差仍仍可可进进行行平平差差，但但平平差差结结果果不不理理想想，精度指标是虚假的。精度指标是虚假的。4.今后，没有特殊声明，总假定观测值仅含偶然误差。今后，没有特殊声明，总假定观测值仅含偶然误差。5.平平差差理理论论的的新新发发展展，出出现现了了处处理理包包含含粗粗差差和和系系统统误误差差的的理论。这些理论实用上有一定的局限性。理论。这些理论实用上有一定的局限性。1.1 测量误差及其分类测量误差及其分类本节课小结本节课小结1.测量条件四要素：人、仪器、观测对象、自然环境。测量条件四要素：人、仪器、观测对象、自然环境。2.必需观测与多余观测。必需观测与多余观测。3.是测量平差，测量
24、平差的任务是是测量平差，测量平差的任务是.4.测量平差可以消除矛盾，但不能消除误差。测量平差可以消除矛盾，但不能消除误差。5.测量误差分为三类：粗差、系统误差、偶然误差。测量误差分为三类：粗差、系统误差、偶然误差。6.测量平差主要处理含有偶然误差的观测值，偶然误差是测量平差主要处理含有偶然误差的观测值，偶然误差是本课程讨论的重点。本课程讨论的重点。1.什么是测量条件？什么是测量条件？2.什么是多余观测？什么是多余观测？3.什么是平差？平差可否消除误差？什么是平差？平差可否消除误差？4.最小二乘原理的数学表达式是什么？有何特例最小二乘原理的数学表达式是什么？有何特例？5.真值、真误差的定义。列举
25、两例真误差实例。真值、真误差的定义。列举两例真误差实例。6.粗差、系统误差、偶然误差产生的原因、表现粗差、系统误差、偶然误差产生的原因、表现特点、处理方法有什么不同？特点、处理方法有什么不同？思考题思考题1.2 偶然误差的概率特性偶然误差的概率特性 1.3 精度估计标准精度估计标准预习：预习：复习：复习：概率统计知识：概率统计知识：随机变量的分布，正态分布，正态分布密随机变量的分布，正态分布，正态分布密度函数，分布曲线，数字特征（数学期望，度函数，分布曲线，数字特征（数学期望，方差），中心极限定理。方差），中心极限定理。复习与预习复习与预习刘长建刘长建测绘学院一系大地教研室测绘学院一系大地教研室电话：电话：36068手机：手机：13526648901
