第第3 3章章 图像变换图像变换 3.1 3.1 二维离散傅里叶变换（二维离散傅里叶变换（DFTDFT））3.1.1 二维连续傅里叶变换二维连续傅里叶变换l二维连续函数二维连续函数 f (x, y)的傅里叶变换定义如下：的傅里叶变换定义如下：l设设 是独立变量是独立变量 的函数，且在的函数，且在 上绝对可上绝对可积，则定义积分积，则定义积分 为二维连续函数为二维连续函数 的付里叶变换，并定义的付里叶变换，并定义 为为 的反变换的反变换 和和 为傅里叶变换对为傅里叶变换对3.1） （3.2） 【【例例3.1】】求图求图3.1所示函数所示函数 的傅里叶变换的傅里叶变换 解：将函数代入到解：将函数代入到(3.1)式中，得式中，得 其幅度谱为其幅度谱为 二维信号的图形表示图图3.1 二维信号二维信号f (x, y) （（a）信号的频谱图）信号的频谱图 （（b）图（）图（a）的灰度图）的灰度图图图3.2 信号的频谱图信号的频谱图 二维信号的频谱图 3.1.2 3.1.2 二维离散傅里叶变换二维离散傅里叶变换l尺寸为尺寸为M×N的离散图像函数的的离散图像函数的DFT l反变换可以通过对反变换可以通过对F(u,v) 求求IDFT获得获得 （（3.3）） （（3.4）） lDFT变换进行图像处理时有如下特点：变换进行图像处理时有如下特点：l（（1）直流成分为）直流成分为F(0,0)。
l（（2）幅度谱）幅度谱|F(u,v)|对称于原点对称于原点l（（3）图像）图像f (x, y)平移后，幅度谱不发生平移后，幅度谱不发生变化，仅有相位发生了变化变化，仅有相位发生了变化 （3.5） （3.6） 3.1.3 3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质二维离散傅里叶变换的性质1 1．周期性和共轭对称性．周期性和共轭对称性l周期性和共轭对称性来了许多方便周期性和共轭对称性来了许多方便l我们首先来看一维的情况我们首先来看一维的情况l设有一矩形函数为设有一矩形函数为, ,求出它的傅里叶变换：求出它的傅里叶变换： 幅度谱：幅度谱： （（a）幅度谱）幅度谱 （（b）原点平移后的幅度谱）原点平移后的幅度谱 图图3.4 频谱图频谱图 nDFT取的区间是取的区间是[0,N-1]，在这个区间内频，在这个区间内频谱是由两个背靠背的半周期组成的谱是由两个背靠背的半周期组成的 ，要显，要显示一个完整的周期，必须将变换的原点移至示一个完整的周期，必须将变换的原点移至u=N/2点。
点n根据定义，有根据定义，有 n在进行在进行DFT之前用之前用(-1)x 乘以输入的信号乘以输入的信号 f (x) ，可以在一个周期的变换中（，可以在一个周期的变换中（u＝＝0，，1，，2，，…，，N－－1），求得一个完整的频谱求得一个完整的频谱3.7） l推广到二维情况在进行傅里叶变换之前用推广到二维情况在进行傅里叶变换之前用(-1)x+y 乘以输入的图像函数，则有：乘以输入的图像函数，则有： lDFT的原点，即的原点，即F(0,0)被设置在被设置在u=M/2和和v=N/2上l(0,0)点的变换值为：点的变换值为： 即即 f (x,y) 的平均值的平均值l如果是一幅图像，在原点的傅里叶变换如果是一幅图像，在原点的傅里叶变换F(0,0)等于等于图像的平均灰度级，也称作频率谱的直流成分图像的平均灰度级，也称作频率谱的直流成分 （3.8） （3.9） （（a）原始图像）原始图像 (b) 中心化前的频谱图中心化前的频谱图 (c) 中心化后的频谱图中心化后的频谱图图图3.5 图像频谱的中心化图像频谱的中心化 2．可分性．可分性l离散傅里叶变换可以用可分离的形式表示离散傅里叶变换可以用可分离的形式表示 这里这里l对于每个对于每个x值，当值，当v＝＝0，，1，，2，，…，，N－－1时，时，该等式是完整的一维傅里叶变换。
该等式是完整的一维傅里叶变换 （3.10） （3.11） n二维变换可以通过两次一维变换来实现二维变换可以通过两次一维变换来实现n同样可以通过先求列变换再求行变换得到同样可以通过先求列变换再求行变换得到2D DFT 图图3.6 二维 二维DFT变换方法变换方法 3．离散卷积定理．离散卷积定理l设设f(x,y)和和g(x,y) 是大小分别为是大小分别为A×B和和C×D的两个数的两个数组，则它们的离散卷积定义为组，则它们的离散卷积定义为l卷积定理卷积定理 （3.12） （3.13） 【【例例3.2】】用用MATLAB实现图像的傅里叶变换实现图像的傅里叶变换 解：解：MATLAB程序如下：程序如下： A=imread('pout.tif'); %读入图像读入图像 imshow(A); %显示图像显示图像 A2=fft2(A); %计算二维傅里叶变换计算二维傅里叶变换 A2=fftshift(A2); %将直流分量移到频谱图的中心将直流分量移到频谱图的中心figure, imshow(log(abs(A2)+1),[0 10]); %显示变换后的频谱图显示变换后的频谱图 （（a）原始图像）原始图像 （（b）图像频谱）图像频谱图图3.7 傅里叶变换傅里叶变换 3.2 3.2 二维离散余弦变换（二维离散余弦变换（DCTDCT））l任何实对称函数的傅里叶变换中只含余弦项，余弦变换任何实对称函数的傅里叶变换中只含余弦项，余弦变换是傅里叶变换的特例，余弦变换是简化是傅里叶变换的特例，余弦变换是简化DFT的重要方法。
的重要方法3.2.1 一维离散余弦变换一维离散余弦变换l将将一一个个信信号号通通过过对对折折延延拓拓成成实实偶偶函函数数，，然然后后进进行行傅傅里里叶叶变换，我们就可用变换，我们就可用2N点的点的DFT来产生来产生N点的点的DCT 1．以．以x=-1/2为对称轴折叠原来的实序列为对称轴折叠原来的实序列f(n) 得：得：＝ （3.14） -N-10N-1NN+1f (n)图图3.8 延拓示意图延拓示意图 2．以．以2N为周期将其周期延拓，其中为周期将其周期延拓，其中f（（0）＝）＝f（－（－1），），f（（N－－1）＝）＝f（－（－N）） ＝ （3.15） ＝ （3.16） 3．对．对0到到2N－－1的的2N个点的离散周期序列个点的离散周期序列 作作DFT，得，得令令i＝＝2N－－m－－1，则上式为，则上式为＝ ＝ ＋ ＋ ＝ ＝ l 为了保证变换基的规范正交性，引入常量，定义：为了保证变换基的规范正交性，引入常量，定义：F(k)＝C(k) C(k)= （3.17） 其中其中（3.18） 3.2.2 3.2.2 二维离散余弦变换二维离散余弦变换 （3.19） DCT逆变换为逆变换为 【【例例3.3】】应用应用MATLAB实现图像的实现图像的DCT变换。
变换 解：解：MATLAB程序如下：程序如下： A=imread('pout.tif'); %读入图像读入图像 I=dct2(A); %对图像作对图像作DCT变换变换 subplot(1,2,1),imshow(A); %显示原图像显示原图像 subplot(1,2,2),imshow(log(abs(I)),[0 5]); （3.20） （（a）原图）原图 （（b））DCT系数系数图图3.10 离散余弦变换离散余弦变换 3.3 3.3 二维离散沃尔什二维离散沃尔什- -哈达玛变换（哈达玛变换（DHTDHT））l前面的变换都是余弦型变换，基底函数选用的都是余弦型前面的变换都是余弦型变换，基底函数选用的都是余弦型l图像处理中还有许多变换常常选用方波信号或者它的变形图像处理中还有许多变换常常选用方波信号或者它的变形l沃尔什（沃尔什（Walsh）变换l沃尔什函数是一组矩形波，其取值为沃尔什函数是一组矩形波，其取值为1和和-1，非常便于计，非常便于计算机运算算机运算l沃尔什函数有三种排列或编号方式，以哈达玛排列最便于沃尔什函数有三种排列或编号方式，以哈达玛排列最便于快速计算。
快速计算l采用哈达玛排列的沃尔什函数进行的变换称为沃尔什采用哈达玛排列的沃尔什函数进行的变换称为沃尔什-哈哈达玛变换，简称达玛变换，简称WHT或直称哈达玛变换或直称哈达玛变换 3.3.1 3.3.1 哈达玛变换哈达玛变换l哈达玛矩阵：元素仅由＋哈达玛矩阵：元素仅由＋1和－和－1组成的正交方阵组成的正交方阵l正交方阵：指它的任意两行（或两列）都彼此正交，或正交方阵：指它的任意两行（或两列）都彼此正交，或者说它们对应元素之和为零者说它们对应元素之和为零l哈达玛变换要求图像的大小为哈达玛变换要求图像的大小为N＝＝2n l一维哈达玛变换核为一维哈达玛变换核为 其中，其中， 代表代表z的二进制表示的第的二进制表示的第k位值3.21） l一维哈达玛正变换为一维哈达玛正变换为 l一维哈达玛反变换为一维哈达玛反变换为 l二维哈达玛正反变换为二维哈达玛正反变换为 （3.22） （3.23） （3.24） （3.25） l二维哈达玛正、反变换也具有相同形式二维哈达玛正、反变换也具有相同形式l正反变换都可通过两个一维变换实现正反变换都可通过两个一维变换实现l高阶哈达玛矩阵可以通过如下方法求得：高阶哈达玛矩阵可以通过如下方法求得：lN＝＝8的哈达玛矩阵为的哈达玛矩阵为 （3.26） （3.27） 3.3.2 沃尔什变换l哈达玛变换矩阵，其列率的排列是无规则的。
哈达玛变换矩阵，其列率的排列是无规则的l将无序的哈达玛核进行列率的排序，之后得到将无序的哈达玛核进行列率的排序，之后得到的有序的变换就成为沃尔什（的有序的变换就成为沃尔什（Walsh）变换 l一维一维Walsh变换核为变换核为l 二维沃尔什正变换和反变换为二维沃尔什正变换和反变换为（3.28） N＝＝8时的沃尔什变换核的值为时的沃尔什变换核的值为 3.4 卡胡南卡胡南-列夫变换（列夫变换（K-L变换）变换）lKahunen-Loeve变换是在均方意义下的最佳变换变换是在均方意义下的最佳变换l优点：能够完全去除原信号中的相关性，因而具优点：能够完全去除原信号中的相关性，因而具有非常重要的理论意义有非常重要的理论意义l缺点：基函数取决于待变换图像的协方差矩阵，缺点：基函数取决于待变换图像的协方差矩阵，因而基函数的形式是不定的，且计算量很大因而基函数的形式是不定的，且计算量很大H8= （3.29） K-L变换基本原理变换基本原理•设：随机图像训练集设：随机图像训练集X为为N*N阶矩阵的集合，每阶矩阵的集合，每张图像写成向量张图像写成向量 则均值向量为则均值向量为 X的自协方差矩阵为的自协方差矩阵为K = = 其中：其中： 为为X的自相关函数的自相关函数•在在 中对角线上为中对角线上为 各个分量的方差，非对角线各个分量的方差，非对角线上为各个分量间的协方差。
因此上为各个分量间的协方差因此K 为对称矩阵为对称矩阵 •计算计算 的根，有的根，有 性代数理论中知：由特征值性代数理论中知：由特征值 可以进一步求可以进一步求得特征向量得特征向量 即即 特征向量特征向量 满足满足 由特征向量可构成特征向量矩阵由特征向量可构成特征向量矩阵 因此有因此有 其中：其中： 取取 A 为变换矩阵，对为变换矩阵，对 作变换，则有作变换，则有 该式称为该式称为K-L变换，并有变换，并有 因此经因此经K-L变换后，等价于变换后，等价于F已完全去处相关性已完全去处相关性•问题问题 求变换核求变换核 A 需计算协方差矩阵，计算量大且无快需计算协方差矩阵，计算量大且无快速算法；变换核速算法；变换核A与数据与数据X集有关，不适合用于正集有关，不适合用于正交变换领域交变换领域 K-L变换的应用变换的应用•把把 从大到小排列，取前从大到小排列，取前M
不同而变化，工程应用无意义•二二. 统计学习和知识抽取统计学习和知识抽取 对对Y进一步进行聚类，可以在进一步进行聚类，可以在M维空间上建立维空间上建立Y的描述，进的描述，进而完成而完成N维空间上关于维空间上关于X的描述，获得关于的描述，获得关于X的知识•三三. 模式识别模式识别 建立对建立对Y的分类器，可实现对的分类器，可实现对X的分类 K-L变换引入的失真变换引入的失真•正交变换保持能量守恒，即：正交变换保持能量守恒，即： 时域能量总和时域能量总和=变换域能量总和变换域能量总和 的协方差矩阵为的协方差矩阵为 Y的协方差矩阵为的协方差矩阵为 因此，信号总能量为：因此，信号总能量为： 当作降维操作时有能量保持率为当作降维操作时有能量保持率为 引入的失真（噪声能量）引入的失真（噪声能量） 3.5 3.5 二维离散小波变换二维离散小波变换l一一种种窗窗口口大大小小固固定定，，但但形形状状可可改改变变，，因因而而能能满满足足时时频频局部化分析的要求的变换局部化分析的要求的变换 3.5.1 连续小波变换连续小波变换l设设 且且 ，，按按如如下下方方式式生生成成的的函函数数族族 称为分析小波或连续小波。
称为分析小波或连续小波l 称为基本小波或母波称为基本小波或母波la称为伸缩因子，称为伸缩因子，b为平移因子为平移因子3.30） 3.5.2 离散小波变换离散小波变换l把连续小波变换离散化更有利于实际应用把连续小波变换离散化更有利于实际应用l对对a和和b按如下规律取样：按如下规律取样： 其中，其中， ；； ；； ，得离散小波：，得离散小波： 离散小波变换和逆变换为离散小波变换和逆变换为 （3.31） （3.32） （3.33） 3.5.3 3.5.3 快速小波变换算法快速小波变换算法【【例例3.4】】应用应用MATLAB实现小波变换的例子实现小波变换的例子解：解：MATLAB程序如下：程序如下：•X=imread('pout.tif'); %读入图像读入图像•imshow(X);•[cA1,cH1,cV1,cD1] = dwt2(X,'bior3.7'); %进行二维小波变换进行二维小波变换•A1 = upcoef2('a',cA1,'bior3.7',1); •H1 = upcoef2('h',cH1,'bior3.7',1);•V1 = upcoef2('v',cV1,'bior3.7',1);•D1 = upcoef2('d',cD1,'bior3.7',1);•subplot(2,2,1); image(wcodemat(A1,192));•title('Approximation A1')•subplot(2,2,2); image(wcodemat(H1,192));•title('Horizontal Detail H1')•subplot(2,2,3); image(wcodemat(V1,192));•title('Vertical Detail V1')•subplot(2,2,4); image(wcodemat(D1,192));•title('Diagonal Detail D1') 图图3.16 小波变换结果图小波变换结果图 。