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1、 波动与光学波动与光学 第第2020章章 振动振动20.120.1 简谐运动的描述简谐运动的描述20.220.2 简谐运动的动力学简谐运动的动力学20.320.3 简谐运动的能量简谐运动的能量 20.620.6 同一直线上同频率的简谐运动的合成同一直线上同频率的简谐运动的合成大大 学学 物物 理理 第第2020章章 振动振动1.1.振动是一种重要的运动形式振动是一种重要的运动形式 狭义振动：物体在某一位置做往复运动。狭义振动：物体在某一位置做往复运动。 2.2.振动有各种不同的形式振动有各种不同的形式机械振动机械振动：位移：位移x x 随时间随时间t t的往复变化的往复变化电磁振动电磁振动：电
2、场、磁场等电磁量随：电场、磁场等电磁量随t t的往复变化的往复变化微观振动微观振动：如晶格点阵上原子的振动：如晶格点阵上原子的振动广义振动广义振动：任一物理量：任一物理量 ( (如位移、电流等如位移、电流等) ) 在某在某一数值附近反复变化。一数值附近反复变化。 振动分类振动分类受迫振动受迫振动自由振动自由振动阻尼自由振动阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由非谐振动无阻尼自由非谐振动( (简谐振动简谐振动) )无阻尼自由谐振动无阻尼自由谐振动20.120.1 简谐振动的描述简谐振动的描述一一. .简谐振动简谐振动：物体离开平衡位置的位移按余：物体离开平衡位置的位移按余弦函数弦函数
3、( (或正弦函数或正弦函数) )的规律随时间变化的规律随时间变化（运动学定义）（运动学定义）mX0x 弹簧振子做简谐振动弹簧振子做简谐振动 表达式表达式：x(t)=Acos( t+ ) 简谐振动简谐振动x x随随t t按正弦（或余弦）变化。按正弦（或余弦）变化。 特点：特点： (1) (1)等幅振动等幅振动 (2)(2)周期振动周期振动 x x( (t t)=)=x x( (t+Tt+T）二二. . 描述简谐振动的三个特征量描述简谐振动的三个特征量 1. 振幅振幅 A2. 周期周期T 和频率和频率 v = 1/T (Hz)3. 相位相位(1) ( t + + )是是 t 时刻的相位时刻的相位（
4、运动状态）（运动状态）角频率角频率 (2) 是是t =0时刻的相位时刻的相位 初相初相三、三、 简谐振动的描述方法简谐振动的描述方法1. 1. 解析法解析法由由 x x= =A Acos(cos( t t+ + ) )已知表达式已知表达式 A A、 、 已知已知A A、 、 表达式表达式三角函数问题。三角函数问题。2.2.曲曲线法法 已知振动曲线已知振动曲线 A A、 、 已知已知A A、 、 振动振动曲线曲线oA-AtxT 用振动曲线描述简谐振动用振动曲线描述简谐振动 = /2 3.3.旋转矢量法旋转矢量法 （相量图法相量图法）投影到投影到Y Y, ,描述描述Y Y方向的谐振动方向的谐振动投
5、影到投影到X X轴轴, , 描述描述X X方向方向的谐振动的谐振动xAY投影到任意轴？投影到任意轴？O 逆时针逆时针xA 对对应应量量A t+ x旋旋转转矢矢量量长长度度角角速速度度初初角角夹夹角角投投影影简简谐谐振振动动振振幅幅圆频率圆频率位移位移初相位初相位相位相位* *旋转矢量与振动的对应量旋转矢量与振动的对应量 四四. 相位相位差差 1. 相位差和初相差相位差和初相差 相位差相位差相位之差相位之差 =( 2 t+ 2)-( 1 t+ 1) 对两个对两个同频率同频率的简谐振动，相位差的简谐振动，相位差等于等于 初相差：初相差： = 2- 1x2TxoA1-A1A2- A2x1t反相反相x
6、oA1-A1A2- A2x1x2Tt同相同相 (a) (a) 两同相振动的振动曲线两同相振动的振动曲线 (b) (b) 两反相振动的振动曲线两反相振动的振动曲线 2.2.同相和反相同相和反相 当当 = = 2 2k k ， ( ( k k = 0,1,2,= 0,1,2,) )， 两振动两振动步调相同步调相同，称，称同相同相。 当当 = = (2(2k k+1)+1) ， ( k( k= 0,1,2,= 0,1,2,) )， 两振动两振动步调相反步调相反，称，称反相反相。3.3.领先领先( (超前超前) )和落后和落后( (滞后滞后) )若若 = = 2 2- - 1 1 0, 0, 则则 x
7、 x2 2比比x x1 1较早达到正最大，称较早达到正最大，称x x2 2比比x x1 1领先领先 ( (或或x x1 1比比x x2 2落后落后) )。 领先、落后以领先、落后以 的相位角的相位角来判断。来判断。x2TxoA1-A1A2A2x1t思考思考: 在相量图上怎样表现在相量图上怎样表现位相超前或落后、位相超前或落后、 同相、反相？同相、反相？ 1 2 xo 1 2 xo 1 2 xo五五. .简谐振动简谐振动的速度、加速度的速度、加速度1.1.速度速度 速度也是简谐振动速度也是简谐振动 比比x领先领先 /22. 加速度加速度也是简谐振动也是简谐振动x、 、aoTtx 2A 0 0 0
8、a 0 0 0减速减速加速加速减速减速加速加速 AA-A- A- 2A a简谐振振动的位移、速度和加速度曲的位移、速度和加速度曲线 例例1.1. 用向量图法，用向量图法，按图写振动方程。按图写振动方程。x(m)t (s) 10 -5t (s) 1021x(m)2已知已知: :旋转矢量旋转矢量A=0.04m, A=0.04m, =4=4 (rad/s)(rad/s)例例2.2. 由旋转矢量由旋转矢量法法画振动曲线，写画振动曲线，写振动方程。振动方程。 /4xot (s)x(m)0.04-0.04方法一：用方法一：用t=0t=0时旋转矢量画时旋转矢量画x(m)0.02t (s)0.02x(m)例例
9、3.3. 由方程画由方程画振动振动曲线。已知方程：曲线。已知方程：24t (s)x(m)方法二：先参考标准式方法二：先参考标准式再根据初相平移再根据初相平移例例1.1例例4 4 一质点沿一质点沿x x轴作简谐振动，轴作简谐振动，A=0.12mA=0.12mT=2sT=2s，x x0 0=0.06m=0.06m, ,此时刻质点向此时刻质点向x x正向正向运动。运动。求求:(1):(1)运动方程运动方程 (2)(2)t=T/4t=T/4时时x,v,ax,v,a (3) (3) 第第一次通过平衡位置的时刻一次通过平衡位置的时刻t t 解：解：(1) x=Acos( t+ ) =0.12cos(p p
10、t -p /3-p /3) m(2) v=A cos( t -p /3 -p /3 +p p/2) m/s a=- -A 2 2 cos( t -p /3 -p /3 +p p) m/s2把把t=T/4 代入代入x,v,aADfDf = = p/3 p/3 + + p/2 p/2 = = 5p/65p/6 (3) (3) 第一次通过平衡位置的时刻第一次通过平衡位置的时刻t t DfDft=0( s)t=5/6 ( s)由运动学：由运动学：20.220.2 简谐运动的动力学简谐运动的动力学牛二定律：牛二定律：即：作简谐振动的质点所受合外力与它即：作简谐振动的质点所受合外力与它对于平衡位置的位移成
11、正比，方向相反。对于平衡位置的位移成正比，方向相反。F F称为回复力。称为回复力。反过来：受到指向平衡位置的力的质点作反过来：受到指向平衡位置的力的质点作简谐简谐振动振动。 即：受合外力为即：受合外力为F=F=kxkx的质点做的质点做简谐振动简谐振动。由牛二定律：由牛二定律： F=ma 得得微分学上，必有：微分学上，必有：x xAcos(tAcos(t+ + ）简谐振动的动力学方程简谐振动的动力学方程其中其中A A、 由初始条件决定。由初始条件决定。 、T T是固有角频是固有角频率、固有周期率、固有周期由谐振子由谐振子的固有物的固有物理性质决理性质决定定结论：结论： 一个谐振子一个谐振子(确定
12、确定m,k)，只能只能有一个固定的频率，但可以有无数的有一个固定的频率，但可以有无数的A 和和 ，即可做无数种振动。即可做无数种振动。X 任意物理量任意物理量简谐振动的普遍表示形式简谐振动的普遍表示形式、单摆O为平衡位置，逆时针方向为正方向动力学动力学运动学运动学l ft mg T0x 证明悬挂的弹簧证明悬挂的弹簧m,k的振动的振动是谐振。求出振动周期。是谐振。求出振动周期。任意任意x处处O平衡位置平衡位置O解：解：弹簧原长处为弹簧原长处为o简谐振动简谐振动 待物体静止后待物体静止后, ,再向再向下拉下拉y0 0=0.1=0.1m后放手后放手, ,测得测得T=2T=2s。求：求：(1)(1)振
13、动方程振动方程; ;OY(2)(2)首次过平衡位置时首次过平衡位置时物体物体的速度的速度; ;(3)(3)第二次经过平衡位置上方第二次经过平衡位置上方0.050.05m处处的的加速度加速度; ;(4)(4)物体从平衡位置下方物体从平衡位置下方0.050.05m处向上处向上运动到平衡位置上方运动到平衡位置上方0.050.05m处所需处所需的最的最短时间。短时间。课练课练1 1、解：解：(1)(1)求振动方程求振动方程; ;振动振动方程：方程：舍舍OY首次过平衡位置的时刻：首次过平衡位置的时刻：t t = =T T/4 =1/2/4 =1/2(2)(2)首次过平衡位置时物体的速度首次过平衡位置时物
14、体的速度; ;OY(3)(3)第二次经过平衡位置上方第二次经过平衡位置上方0.050.05m处处的加速度的加速度; ;OY(4)(4)物体从平衡位置下方物体从平衡位置下方0.050.05m处向上处向上运动到平衡位置上方运动到平衡位置上方0.050.05m处所需处所需的最的最短时间。短时间。OY= 20.320.3 简谐振动的能量简谐振动的能量(以水平弹簧振子为例以水平弹簧振子为例)(1) 动能动能oxmx0 = 0(2) 势能势能情况同动能。情况同动能。(3) 机械能机械能结论结论:简谐振动系统机械能守恒简谐振动系统机械能守恒xtTEk(1/2)kA2oEpEM2120.6 同一直线上同频率的
15、简谐振动的合成同一直线上同频率的简谐振动的合成1.分振动分振动 :x1=A1cos( t+ 1)x2=A2cos( t+ 2) 2.合振动合振动 :合振动是简谐振动合振动是简谐振动, 其频率仍为其频率仍为 一、两个谐振动的合成一、两个谐振动的合成x2x0x2A22x1M1A1PMxA2旋转矢量法：旋转矢量法：tg =AyAxAA1A2 y x o 1 2 AxAy两个沿两个沿x 轴的同的同频简谐振振动合成的旋合成的旋转矢量矢量图A A、 可由旋可由旋转矢量法矢量法导出，出，这比用解析法比用解析法方便。方便。由由图，Ax = A1cos 1 + A2cos 2Ay = A1sin 1 + A A
16、2sinsin 2再由再由 A2 = A12 + A22 可得以上可得以上 A、 的表示式的表示式两种特殊情况两种特殊情况:(1)若两分振动同相，若两分振动同相， 2 1 = 2k ，则则 A=A1+A2， 两分振动两分振动 相互加强相互加强。(2)若两分振动反相，若两分振动反相， 2 1= (2k+1) ,则则A = |A1 - A2|， 两分振动两分振动 相互减弱相互减弱。 (以上以上k = 0,1,2,) 如再有如再有A1=A2， 则则A = 0。 此情形下，此情形下，“振动加振动等于不振动振动加振动等于不振动”。课堂练习课堂练习2：日光灯电路如下图所示。灯管相当日光灯电路如下图所示。灯
17、管相当于一个电阻于一个电阻R，镇流器相当于一个电感镇流器相当于一个电感L，两者两者串联。若灯管两端电压和镇流器两端电压分别串联。若灯管两端电压和镇流器两端电压分别为为试求总电压试求总电压u地表达式。地表达式。作业作业20.3 20.5 20.8 20.24 20.3oobbccddxx初相fo=-p/3(1)相位fa=ofb=p/3fc=p/2fd=2p/3aaeefe=4p/35.02.51.02.2T/2=1.2x=5cos(5pt /6 - p/3) cm(3)t(2)20.5x=A/2, v00x=2cos(4pt +4p/3) cmxxA=2 cm(1)(2)f=p/3f=4p/3(2)谐振子在何位置其动能等于势能?(1)20.8(3)x=A/2, Ep=20.24= 0.06= 0.02pox12
