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1、一、随机变量的数学期望一、随机变量的数学期望三、数学期望的性质三、数学期望的性质二、随机变量函数的数学期望二、随机变量函数的数学期望四、小结四、小结2.4 数学期望的定义与性质 离散随机变量的分布列全面地描述了随机变量的离散随机变量的分布列全面地描述了随机变量的统计性规律，但这样统计性规律，但这样“全面的描述全面的描述”有时不方便，有时不方便，或不必要。如比较两个班级的成绩的优劣，通常比或不必要。如比较两个班级的成绩的优劣，通常比较考试的平均成绩即可；要比较两地的粮食收成，较考试的平均成绩即可；要比较两地的粮食收成，一般比较平均亩产。一般比较平均亩产。一、随机变量的数学期望一、随机变量的数学期
2、望引例引例 某手表厂在出产产品中抽查了某手表厂在出产产品中抽查了N=100只手只手表的日走误差，数据如下：表的日走误差，数据如下：这时抽查到的这时抽查到的100只手表的品均日走时误差为：只手表的品均日走时误差为：记作记作 为事件为事件“日走时误差为日走时误差为k秒秒”的频率：的频率：平均值平均值=1. 离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望思考思考 ：1、为什么要绝对收敛？、为什么要绝对收敛？ 2、若不绝对收敛会有什么结果？、若不绝对收敛会有什么结果？ 设离散型随机变量设离散型随机变量 的可能的取值为的可能的取值为 ，其分布列为其分布列为 若若 绝对收绝对收敛，则称随机变量敛，则称随
3、机变量 存在数学期望存在数学期望关于定义的两点说明关于定义的两点说明 (1) 是一个实数是一个实数,而非变量而非变量,它是一种它是一种加加权平均权平均,与一般的平均值不同与一般的平均值不同 , 它从本质上体现它从本质上体现了随机变量了随机变量 取可能值的取可能值的真正平均值真正平均值, 也称也称均值均值. (2) 级数的绝对收敛性级数的绝对收敛性保证了级数的和不保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变随级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量求是因为数学期望是反映随机变量 取可能值取可能值的平均值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变它不应随可能
4、值的排列次序而改变.试问哪个射手技术较好试问哪个射手技术较好?例例1 谁的技术比较好谁的技术比较好?乙射手乙射手甲射手甲射手解解故甲射手的技术比较好故甲射手的技术比较好.例例2 二项分布二项分布 则有则有 设随机变量设随机变量 服从参数为服从参数为 n, p 二项分布二项分布,其分布列为其分布列为则两点分布则两点分布b(1,p)的数学期望为的数学期望为 p.=np例例3 泊松分布泊松分布 则有则有 例例 4 在某地区进行某种疾病普查，为此要检查在某地区进行某种疾病普查，为此要检查每一个人的血液，如果当地有每一个人的血液，如果当地有N个人，若逐个检验个人，若逐个检验需要需要N次，有没有办法减少检
5、验的工作量？次，有没有办法减少检验的工作量？析：把每析：把每k人分到一组，其血液混合，若检验的人分到一组，其血液混合，若检验的结果为阴性，则这结果为阴性，则这k个人的血液全为阴性，因而个人的血液全为阴性，因而每人只需检验每人只需检验1/k次；否则，对这次；否则，对这k人逐一检验即人逐一检验即可，则这可，则这k人每人需检验人每人需检验(1+1/k)次，从而次，从而k个人需个人需要检验总次数可能是要检验总次数可能是1或是或是(1+k)次，是一随机变量。次，是一随机变量。例例5 几何分布几何分布 则有则有若若g(x)为为 的单值函数的单值函数, 1. 一维离散型随机变量函数的数学期望一维离散型随机变
6、量函数的数学期望二、随机变量函数的数学期望二、随机变量函数的数学期望证明证明由数学期望的定义有：由数学期望的定义有：定理定理 2.3 若若 是二维随机变量，其联合分布列是二维随机变量，其联合分布列为为 又又 是实变量是实变量 的单值函数，如果的单值函数，如果2. 二维离散型随机变量函数的数学期望二维离散型随机变量函数的数学期望1证明证明三、数学期望的性质三、数学期望的性质解解例例6四、小结四、小结1.数学期望是一个实数数学期望是一个实数, 而非变量而非变量,它是一种它是一种加权加权平均平均, 与一般的平均值不同与一般的平均值不同,它从本质上体现了它从本质上体现了随机变量随机变量 X 取可能值的
7、取可能值的真正的平均值真正的平均值.2. 数学期望的性质数学期望的性质作业：作业：27；31；32；333. 常见离散型随机变量的数学期望常见离散型随机变量的数学期望根据生命表知根据生命表知 , 某年龄段保险者里某年龄段保险者里 , 一一 年中年中每个人死亡的概率为每个人死亡的概率为0.002, 现有现有10000个这类人个这类人参加人寿保险参加人寿保险,若在死亡时家属可从保险公司领若在死亡时家属可从保险公司领取取 2000 元赔偿金元赔偿金 . 问每人一年须交保险费多少问每人一年须交保险费多少元元?例例1 你知道自己该交多少保险费吗你知道自己该交多少保险费吗?备份题解解设设1年中死亡人数为年中死亡人数为X ,被保险人所得赔偿金的期望值应为被保险人所得赔偿金的期望值应为 若设每人一年须交保险费为若设每人一年须交保险费为a 元元,由被保险人交的由被保险人交的“纯保险费纯保险费”与他们所能得到的与他们所能得到的赔偿金的期望值相等知赔偿金的期望值相等知故每人故每人1年应向保险公司交保险费年应向保险公司交保险费4元元.解解例例2 设设求求:到站时刻到站时刻概率概率例例3解解
