一由平面上一点与平面的方位向量决定的平面的方程

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1、张 之 正解 析 几 何 Mathematical Science College数学科学学院数学科学学院一、由平面上一点与平面的方位向量决定的平面的方程一、由平面上一点与平面的方位向量决定的平面的方程二、平面的一般方程二、平面的一般方程三、平面的法式方程三、平面的法式方程3.3.1 1 平面的方程平面的方程张 之 正解 析 几 何 Mathematical Science College数学科学学院数学科学学院一、由平面上一点与平面的方位向量决定的平面的方程一、由平面上一点与平面的方位向量决定的平面的方程1. 1. 1. 1. 平面的平面的平面的平面的向量式向量式向量式向量式参数方程参数方程

2、参数方程参数方程2. 2. 2. 2. 平面的平面的平面的平面的坐标式坐标式坐标式坐标式参数方程参数方程参数方程参数方程3. 3. 3. 3. 平面的平面的平面的平面的点位式点位式点位式点位式方程方程方程方程4. 4. 4. 4. 平面的平面的平面的平面的三点式三点式三点式三点式方程方程方程方程5. 5. 5. 5. 平面的平面的平面的平面的截距式截距式截距式截距式方程方程方程方程3.3.1 1 平面的方程平面的方程张 之 正解 析 几 何 Mathematical Science College数学科学学院数学科学学院1 1. . 向量式向量式参数方程参数方程M z x yOM0其中其中 为

3、参数为参数 张 之 正解 析 几 何 Mathematical Science College数学科学学院数学科学学院2 2. . 坐标式坐标式参数方程参数方程张 之 正解 析 几 何 Mathematical Science College数学科学学院数学科学学院代入代入坐标坐标坐标式参数坐标式参数方程方程向量式参数向量式参数方程方程（1 1）3 3. . . . 平面的点位式方程平面的点位式方程平面的点位式方程平面的点位式方程张 之 正解 析 几 何 Mathematical Science College数学科学学院数学科学学院这些方程统称为这些方程统称为平面的点位式方程平面的点位式方程

4、注意：点位式方程要找两个条件注意：点位式方程要找两个条件1 1. .平面上的一个点平面上的一个点2 2. .平行于平面且不共线的两个向量平行于平面且不共线的两个向量3 3. . . . 平面的点位式方程平面的点位式方程平面的点位式方程平面的点位式方程张 之 正解 析 几 何 Mathematical Science College数学科学学院数学科学学院 例例例例1 1 1 1 已知不共线三点已知不共线三点已知不共线三点已知不共线三点 ，求，求，求，求通过三点通过三点通过三点通过三点 的平面的平面的平面的平面 的方程。的方程。的方程。的方程。4 4. . 平面的三点式方程平面的三点式方程其向量

5、式参数方程其向量式参数方程其坐标式参数方程其坐标式参数方程或或或或或或张 之 正解 析 几 何 Mathematical Science College数学科学学院数学科学学院5 5. . 平面的截距式方程平面的截距式方程 若已知三点为平面与三坐标轴的交点若已知三点为平面与三坐标轴的交点若已知三点为平面与三坐标轴的交点若已知三点为平面与三坐标轴的交点 ，其中，其中，其中，其中 , , , ,则平面的截距式方程为则平面的截距式方程为则平面的截距式方程为则平面的截距式方程为张 之 正解 析 几 何 Mathematical Science College数学科学学院数学科学学院二、平面的一般方程二

6、、平面的一般方程二、平面的一般方程二、平面的一般方程 定理定理定理定理1 1 1 1 空间中任一平面的方程都可以表示成一个关空间中任一平面的方程都可以表示成一个关空间中任一平面的方程都可以表示成一个关空间中任一平面的方程都可以表示成一个关于变量于变量于变量于变量 x,y,z x,y,z x,y,z x,y,z 的三元一次方程；反过来，每一个关于变量的三元一次方程；反过来，每一个关于变量的三元一次方程；反过来，每一个关于变量的三元一次方程；反过来，每一个关于变量 x,y,z x,y,z x,y,z x,y,z 的三元一次方程都表示一个平面，的三元一次方程都表示一个平面，的三元一次方程都表示一个平

7、面，的三元一次方程都表示一个平面，Ax+By+Cz+D=0 Ax+By+Cz+D=0 Ax+By+Cz+D=0 Ax+By+Cz+D=0 叫叫叫叫做做做做平面的一般方程平面的一般方程平面的一般方程平面的一般方程。张 之 正解 析 几 何 Mathematical Science College数学科学学院数学科学学院几种特殊情形讨论：几种特殊情形讨论：几种特殊情形讨论：几种特殊情形讨论：）当且仅当）当且仅当 D0 Ax+By+Cz=0 平面通过原点平面通过原点 ）当当A, B, C 中有一个为中有一个为0时时 当且仅当当且仅当 C=0, D0时时, Ax+By+D=0 平面平行于平面平行于z

8、轴轴 D0时时, Ax+By=0 平面通过平面通过z 轴轴 A=0, D0时时, By+CzD=0 平面平行于平面平行于x 轴轴 D0时时,ByCz=0 平面通过平面通过x 轴轴 B=0, D0时时, Ax+CzD=0 平面平行于平面平行于y轴轴 D0时时,AxCz=0 平面通过平面通过y 轴轴 ）当当A, B, C 中有两个为中有两个为 0 时时 当且仅当当且仅当 B=C=0, D0, 平面平行于平面平行于 yOz 平面平面 D0, 即为即为 yOz 平面平面 A=C=0, D0, 平面平行于平面平行于 xOz 平面平面 D0, 即为即为 xOz 平面平面 A=B=0, D0, 平面平行于平

9、面平行于 xOy平面平面 D0, 即为即为xOy平面平面张 之 正解 析 几 何 Mathematical Science College数学科学学院数学科学学院三、平面的法式方程三、平面的法式方程三、平面的法式方程三、平面的法式方程 取空间直角坐标系取空间直角坐标系 ，设点，设点 的向径为的向径为 ，平面上的任意一点，平面上的任意一点 的向径为的向径为 ，则平面的，则平面的点法式方程点法式方程 若设若设 那么有平面的那么有平面的点法式方程点法式方程： 平面的一般方程平面的一般方程 Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0 的系数的系数A A，B B，C C 有简明的几何意义，它有简明

10、的几何意义，它们是平面的一个法向量的分量们是平面的一个法向量的分量张 之 正解 析 几 何 Mathematical Science College数学科学学院数学科学学院 若平面上的一点若平面上的一点 特殊地取自原点特殊地取自原点O O 向平面向平面 所引垂线所引垂线 的垂足的垂足 ，而，而 的法向量取单位向量的法向量取单位向量 ，设，设 ，那么由，那么由点点 和法向量和法向量 决定的平面的向量式法式方程为：决定的平面的向量式法式方程为： 平面的坐标式法式方程，简称平面的坐标式法式方程，简称法式方程法式方程为为平面的法式方程是具有下列两个特征的一种一般方程：平面的法式方程是具有下列两个特征的

11、一种一般方程：一次项的系数是单位法向量的坐标，它们的平方和等于一次项的系数是单位法向量的坐标，它们的平方和等于1 1；因为因为p是原点是原点O 到平面到平面 的距离，所以常数的距离，所以常数三、平面的法式方程三、平面的法式方程三、平面的法式方程三、平面的法式方程张 之 正解 析 几 何 Mathematical Science College数学科学学院数学科学学院平面的一般方程平面的一般方程平面的一般方程平面的一般方程 Ax+By+Cz+D=0 Ax+By+Cz+D=0 Ax+By+Cz+D=0 Ax+By+Cz+D=0 与法式方程的互化与法式方程的互化与法式方程的互化与法式方程的互化取取取

12、取 乘平面的一般方程乘平面的一般方程乘平面的一般方程乘平面的一般方程 Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0 可得法式方程可得法式方程可得法式方程可得法式方程 在取定符号后叫做在取定符号后叫做在取定符号后叫做在取定符号后叫做法式化因子法式化因子法式化因子法式化因子选取的符号通常与常数项选取的符号通常与常数项选取的符号通常与常数项选取的符号通常与常数项 的符号相反的符号相反的符号相反的符号相反三、平面的法式方程三、平面的法式方程三、平面的法式方程三、平面的法式方程张 之 正解 析 几 何 Mathematical Science College数学科学学院数学科学学院 例例例例3 3

13、3 3 已知两点已知两点已知两点已知两点 ，求线段，求线段，求线段，求线段 的垂直的垂直的垂直的垂直平分面平分面平分面平分面 的方程的方程的方程的方程. . . . 例例例例4 4 4 4 把平分面把平分面把平分面把平分面 的方程的方程的方程的方程 化为法式方程，求化为法式方程，求化为法式方程，求化为法式方程，求自原点指向平面自原点指向平面自原点指向平面自原点指向平面 的单位向量及其方向余弦，并求原点到平面的的单位向量及其方向余弦，并求原点到平面的的单位向量及其方向余弦，并求原点到平面的的单位向量及其方向余弦，并求原点到平面的距离距离距离距离. . . . 例例例例5 5 5 5 求过三点求过三点求过三点求过三点 的平面方程的平面方程的平面方程的平面方程. . . .（向量式，参数式，点位式，三点式，截距式，一般式，点法式，（向量式，参数式，点位式，三点式，截距式，一般式，点法式，（向量式，参数式，点位式，三点式，截距式，一般式，点法式，（向量式，参数式，点位式，三点式，截距式，一般式，点法式，法式）法式）法式）法式）例例 题题