《第2章非线性方程与方程组的数值解法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第2章非线性方程与方程组的数值解法（105页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2章非线性方程与方程组的数值解法本章重点介绍求解非线性方程的几种常见和有效的数值方法,同时也对非线性方程组求解,简单介绍一些最基本的解法.无论在理论上,还是在实际应用中,这些数值解法都是对经典的解析方法的突破性开拓和补充,许多问题的求解,在解析方法无能为力时,数值方法则可以借助于计算机出色完成.2.1二分法求非线性方程 确定方程的有根区间 计算根的近似值的根的方法分为两步：首先确定有限区间：依据零点定理。设，且，则方程在区间上至少有一个根。如果在上恒正或恒负，则此根唯一。等步长扫描法求有根区间用计算机求有根区间：等步长扫描法。设h0是给定的步长，取，若则扫描成功；否则令，继续上述方法，直到成
2、功。如果则扫描失败。再将h 缩小，继续以上步骤。等步长扫描算法算法：（求方程的有根区间）(1)输入；(2)；(3)，若输出失败信息，停机。(4)若。输出，已算出方程的一个根，停机。等步长扫描算法(5)若。输出为有根区间，停机(6)，转3）注：如果对足够小的步长h扫描失败。说明：在内无根在内有偶重根二分法用二分法(将区间对平分)求解。令若，则为有根区间，否则为有根区间记新的有根区间为，则且二分法对重复上述做法得且二分法设所求的根为，则即取为的近似解求方程f(x)=0的根的二分法算法求方程f(x)=0的全部实根的二分法算法求方程f(x)=0的全部实根的二分法算法例题例1设方程解：取h=0.1,扫描
3、得：又即在有唯一根。2.2一般迭代法2.2.1迭代法及收敛性对于有时可以写成形式如：迭代法及收敛性考察方程。这种方程是隐式方程，因而不能直接求出它的根，但如果给出根的某个猜测值，代入中的右端得到，再以为一个猜测值，代入的右端得反复迭代得迭代法及收敛性若收敛，即则得是的一个根迭代法的几何意义交点的横坐标y=x简单迭代法将变为另一种等价式。选取的某一近似值，则按递推关系产生的迭代序列。这种方法算为简单迭代法。例题例2试用迭代法求方程在区间(1，2)内的实根。解：由建立迭代关系k=10,1,2,3.计算结果如下:例题精确到小数点后五位例题但如果由建立迭代公式仍取，则有，显然结果越来越大，是发散序列。
4、迭代法的收敛性定理（压缩映像原理）设迭代函数在闭区间上满足（1）（2）满足Lipschitz条件即有且。压缩映像原理则在上存在唯一解，且对，由产生的序列收敛于。压缩映像原理证明：不失一般性,不妨设否则为方程的根。首先证明根的存在性令压缩映像原理则，即由条件2）是上的连续函数是上的连续函数。故由零点定理在上至少有一根压缩映像原理再证根的唯一性设有均为方程的根则因为0L1，所以只可能，即根是唯一的。压缩映像原理最后证迭代序列的收敛性与n 无关，而0L1即压缩映像原理误差估计若满足定理条件，则这是事后估计，也就是停机标准。L越小，收敛速度越快。这是事前估计。选取n，预先估计迭代次数。 对于方程 构造
5、的多种迭代格式 ，怎样判断构造的迭代格式是否收敛？收敛是否与迭代的初值有关？根据数学知识，我们可以直接利用以下收敛条件：（1） 当有（2）在a,b上可导，并且存在正数L1时，称为超线性收敛；当p=2时，称为平方收敛或二次收敛。迭代法收敛的阶迭代法收敛的阶定理定理设是方程的不动点，若为足够小的正数。如果且，则从任意出发，由产生的序列收敛到，当时敛速是线性的。 迭代法收敛的阶迭代法收敛的阶证明：满足压缩映像原理迭代法收敛的阶迭代法收敛的阶敛速是线性的线性收敛到。Steffensen迭代格式由线性收敛知当n充分大时有即Steffensen迭代格式展开有：Steffensen迭代格式已知，则，改成 n
6、=0，1，2，Steffensen迭代格式也可以改写成其中迭代函数Steffensen迭代法收敛的充要条件定理Steffensen迭代法收敛的充要条件证明：必要性Steffensen迭代法收敛的充要条件充分性Steffensen算法的收敛速度Steffensen算法的收敛速度定理在定理2.2.3假设下，若产生的序列至少平方收敛到。 Steffensen算法的收敛速度Steffensen算法的收敛速度Steffensen算法的收敛速度Steffensen算法的收敛速度由定理知至少以平方速度收敛到。也就是说：简单迭代法是线性收敛；Steffensen迭代至少平方以上收敛（加速收敛）。例题例试用St
7、effensen算法求解方程解法一、取，由 n = 0，1，2，例题取初值，计算结果如下：N XnYnZn0 1.51.3572088081.3308609591 1.3248991811.3247523791.3247244962 1.3247179571.3247179571.324717957例题解法二、取，由对于该迭代函数在一般迭代法中是发散的，而Steffensen格式却是收敛的。 n=0，1，2，例题取初值，计算结果如下：N XnYnZn0 1.52.3751.2396484371 1.4162929751.8409219155.2388727692 1.3556504421.49
8、13982792.3172706993 1.3289487771.3470628831.4443512244 1.3248044891.3251735441.3271172815 1.3247179441.3247181521.3247189806 1.324717957Steffensen迭代格式几何解释Steffensen迭代算法Steffensen迭代算法为松弛因子n时，为直接迭代；n时，迭代步长加大，加速迭代；n时，迭代步长减小，适合迭代发散；n时，迭代反方向进行。 松弛迭代法松弛迭代法通过选择合适的松弛因子,就可以使迭代过程收敛。松弛法的迭代公式如下：(2-7) 松弛迭代法松弛迭代法
9、 实例实例例 用（松弛）迭代法求解下面非线性方程组，并分析松弛因子对迭代次数及收敛过程的影响。已知迭代初值x和y均为0，收敛精度=0.001 。n解：取以下迭代表达式：若取松弛因子为1.1，则其迭代过程如表2-2。n若改变松弛因子,迭代过程及迭代所需的次数亦将发生变化，详见表2-3。表2-2迭代过程表2-3松弛因子及迭代次数的变化，则为直接迭代法2.3Newton迭代法设x*是方程f(x)=0的根，又x0为x*附近的一个值，将f(x)在x0附近做泰勒展式令，则Newton迭代法去掉的二次项，有：即以x1代替x0重复以上的过程，继续下去得：Newton迭代法以此产生的序列Xn得到f(x)=0的近
10、似解，称为Newton法，又叫切线法。Newton迭代法几何解释几何意义例题例2.3.1用Newton法求的近似解。解：由零点定理。例题例题例2.3.2用Newton法计算。解：Newton迭代法算法框图Newton迭代法算法Newton迭代法收敛性定理2.3.1设函数，且满足若初值满足时，由Newton法产生的序列收敛到在a,b上的唯一根。Newton迭代法收敛性证明：根的存在性根的唯一性Newton迭代法收敛性收敛性Newton迭代法收敛性Newton迭代法收敛性Newton迭代法收敛性推论在定理2.3.1条件下，Newton迭代法具有平方收敛速度。代数方程的Newton迭代法代数方程的N
11、ewton迭代法推导设n次代数方程用Newton迭代法求有限区间的实根，则要计算，一般采用秦九韶算法。代数方程的Newton迭代法由Taylor展式代数方程的Newton迭代法代数方程的Newton迭代法同理代数方程的Newton迭代法比较x的同次幂系数得：故代数方程的Newton迭代公式代数方程的Newton迭代法算法2.4弦截法Newton迭代法有一个较强的要求是且存在。因此，用弦的斜率近似的替代。弦截法令y=0,解得弦与x轴的交点是坐标x2弦截法弦截法的几何解释例题例2.4.1用快速弦截法求方程在区间（1，2）内的实根。解：取x0=1,x1=2,代入公式2.4.2计算结果,如表2.4.1
12、所示。kxkf(xk)01-112521.166666667-0.5787036931.253112023-0.2853630241.3372064440.05388057951.323850096-0.003698116861.324707936-4.273521*10E-571.3247179653.79*10E-8弦截法收敛定理弦截法收敛定理求解方程f(x)=0的快速弦截法2.5 非线性方程组的牛顿方法非线性方程组的牛顿方法设二阶方程组n其中x,y为自变量。为了方便起见，将方程组写成向量形式：n将 在（x0,y0）附近进行二元泰勒展开，并取其线性部分，得到下面方程组：2.5 非线性方程组
13、的牛顿方法非线性方程组的牛顿方法令 则有如果再将原方程组在u1处进行二元泰勒展开，并取其线性部分2.5 非线性方程组的牛顿方法非线性方程组的牛顿方法得到下面方程组： 解出得出继续做下去，每一次迭代都是一个方程组为止。(2-12)2.5 非线性方程组的牛顿方法非线性方程组的牛顿方法 实例实例例求解下面非线性方程组取初始值n解：解方程得2.5 非线性方程组的牛顿方法非线性方程组的牛顿方法 实例实例继续做下去，直到时停止。2.6 应用实例应用实例例 在合成氨生产中，烃类蒸气发生以下转化反应： 已知进料甲烷为1mol，水蒸汽为5mol，反应后总压P=1atm，反应平衡常数为:试求反应平衡时各组分的浓度。解：设反应平衡时有x摩尔甲烷转化成CO，同时生成的CO中又有y摩尔转化成CO2，则反应平衡时各组分的摩尔数及分压如下：将平衡时各组分的分压表达式代入反应平衡常数KP1及KP2的表达式得:设x的初值为0.1， y的初值为0.05，若采用直接迭代法进行计算，可得： x1=0.999988 y1=1.8707143若采用直接迭代的方法求解该方程组，结果是发散的，无法得到真实解。但是，若采用松弛迭代法求解，并取松弛因子小于0.49，则可得到收敛解。其最后的求解结果为: x*=0.9437 y*=0.6812
