《解对初值的连续性和可微性》由会员分享，可在线阅读，更多相关《解对初值的连续性和可微性（31页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三章第三章 一阶微分方程解的一阶微分方程解的 存在唯一性定理存在唯一性定理Existence & Uniqueness Theorem of First-Order ODE2024/8/301常微分方程-重庆科技学院-李可人3.3 解对初值的连续性和可解对初值的连续性和可微性微性/Continuous and differentiable dependence of the solutions/ 解对初值的连续性解对初值的连续性 解对初值的可微性解对初值的可微性本节要求本节要求： 1 了解解对初值及参数的连续依赖性定理；了解解对初值及参数的连续依赖性定理； 2 了解解对初值及参数的可微性定理
2、。了解解对初值及参数的可微性定理。内容提要内容提要3.3 Continuity & differentiability Continuity & differentiability2024/8/303常微分方程-重庆科技学院-李可人3.3.1 解对初值的对称性定理解对初值的对称性定理设 f (x,y) 于域 D 内连续且关于 y 满足利普希茨条件，是初值问题的唯一解，则在此表达式中， 与 可以调换其相对位置，即在解的存在范围内成立着关系式3.3 Continuity & differentiability Continuity & differentiability2024/8/304常微分方
3、程-重庆科技学院-李可人3.3.2解对初值的连续依赖性定理解对初值的连续依赖性定理假设 f (x,y) 于域 G 内连续且关于 y 满足局部利普希茨条件，是初值问题的解，它于区间 有定义 ，那么，对任意给定的 ，必存在正数， 使得当时，方程满足条件 的解在区间也有定义，并且3.3 Continuity & differentiability Continuity & differentiability2024/8/305常微分方程-重庆科技学院-李可人引理引理 如果 f(x,y) 在某域 D 内连续，且关于 y 满足利普希兹条件（利普希兹常数为L），则方程(3.1.1)任意两个解 在它们公共存
4、在区间成立不等式其中 为所考虑区间内的某一值。证明证明设 在区间 均有定义，令不妨设因此，有3.3 Continuity & differentiability Continuity & differentiability2024/8/306常微分方程-重庆科技学院-李可人则于是因此，在区间 a,b 上 为减函数，有3.3 Continuity & differentiability Continuity & differentiability2024/8/307常微分方程-重庆科技学院-李可人对于区间则则并且已知它有解类似以上推导过程，令注意到因此两边取平方根，得3.3 Continuity
5、 & differentiability Continuity & differentiability2024/8/308常微分方程-重庆科技学院-李可人解对初值的连续依赖性定理的证明解对初值的连续依赖性定理的证明（一）构造满足利普希茨条件的有界闭区域（一）构造满足利普希茨条件的有界闭区域因为，积分曲线段是 x y 平面上一个有界闭集，又按假定对S上每一点(x,y)必存在一个以它为中心的开圆 使在其内函数 f(x , y) 关于 y 满足利普希茨条件。根据有限覆盖定理，可以找到有限个具有这种性质的圆 并且它们的全体覆盖了整个积分曲线段S。设 为圆 的半径， 表示 f(x,y) 于 内的相应的利
6、普希茨常数。3.3 Continuity & differentiability Continuity & differentiability2024/8/309常微分方程-重庆科技学院-李可人令则有且 的边界与S的距离 。对预先给定的若取则以S上每一点为中心，以 为半径的圆的全体，连同它们的圆周一起构成S的有界闭域 ，且 f (x，y)在D上关于 y 满足利普希茨条件，利普希茨常数为L。3.3 Continuity & differentiability Continuity & differentiability2024/8/3010常微分方程-重庆科技学院-李可人（二）解对初值的连续依赖
7、性（二）解对初值的连续依赖性断言，必存在这样的正数使得只要 满足不等式则解 必然在区间 也有定义。由于D是有界闭区域，且 f (x，y)在其内关于 y 满足利普希茨条件，由延拓性定理知，解 必能延拓到区域D的边界上。设它在D的边界上的点为这时必然有3.3 Continuity & differentiability Continuity & differentiability2024/8/3011常微分方程-重庆科技学院-李可人因为否则设 则由引理由 的连续性，对必存在使得当 时有取则当3.3 Continuity & differentiability Continuity & differ
8、entiability2024/8/3012常微分方程-重庆科技学院-李可人于是对一切 成立，特别地有即点均落在D的内部，而不可能位于D的边界上。与假设矛盾，因此，解 在区间a,b上有定义。3.3 Continuity & differentiability Continuity & differentiability2024/8/3013常微分方程-重庆科技学院-李可人在不等式中，将区间c，d换为a，b ，可知 ，当时，有定理得证。3.3 Continuity & differentiability Continuity & differentiability2024/8/3014常微分方程
9、-重庆科技学院-李可人的解 作为 的函数在它的存在范围内是连续的。解对初值的连续性定理解对初值的连续性定理假设 f (x,y) 于域 G 内连续且关于 y 满足局部利普希茨条件，则方程3.3 Continuity & differentiability Continuity & differentiability2024/8/3015常微分方程-重庆科技学院-李可人1.1. 含参数的一阶方程表示含参数的一阶方程表示2. 2. 一致利普希兹条件一致利普希兹条件 设函数一致地一致地关于 y 满足局部利普希兹局部利普希兹 (Lipschitz)(Lipschitz)条件条件，为中心的球 ，使得对任何
10、其中L 是与 无关的正数。在 内连续，且在 内即对 内的每一点 都存在以成立不等式3.3 Continuity & differentiability Continuity & differentiability2024/8/3016常微分方程-重庆科技学院-李可人由解的存在唯一性定理，对每一方程 的解唯一确定。记为3.3 Continuity & differentiability Continuity & differentiability2024/8/3017常微分方程-重庆科技学院-李可人解对初值和参数的连续依赖性定理解对初值和参数的连续依赖性定理假设 于域 内连续，且在 内关于 y
11、一致地满足局部利普希茨条件，是方程 通过点 的解，在区间 那么，对任意给定的 ，必存在正数时，方程满足条件 的解在区间也有定义，并且有定义其中使得当3.3 Continuity & differentiability Continuity & differentiability2024/8/3018常微分方程-重庆科技学院-李可人的解 作为 的函数在它的存在范围内是连续的。解对初值和参数的连续性定理解对初值和参数的连续性定理假设 于域 内连续，且在 内关于 y 一致地满足局部利普希茨条件，则方程3.3 Continuity & differentiability Continuity & di
12、fferentiability2024/8/3019常微分方程-重庆科技学院-李可人3.3.3解对初值的可微性定理解对初值的可微性定理的解 作为 的函数在它的存在范围内是连续可微的。若函数 f (x,y) 以及 都在区域 G 内连续，则方程3.3 Continuity & differentiability Continuity & differentiability2024/8/3020常微分方程-重庆科技学院-李可人3.3 Continuity & differentiability Continuity & differentiability2024/8/3021常微分方程-重庆科技学院
13、-李可人证明证明由在区域 G 内连续，推知 f (x,y)在G 内关于 y 满足局部利普希茨条件。因此，解对初值的连续性定理成立，即下面进一步证明对于函数 的存在范围内任一点的偏导数在它的存在范围内关于 是连续的。存在且连续。3.3 Continuity & differentiability Continuity & differentiability2024/8/3022常微分方程-重庆科技学院-李可人设由初值为足够小的正数）所确定的方程的解分别为即于是其中先证存在且连续。3.3 Continuity & differentiability Continuity & differentia
14、bility2024/8/3023常微分方程-重庆科技学院-李可人注意到 及的连续性，有其中 具有性质类似地其中 与 具有相同的性质，因此对3.3 Continuity & differentiability Continuity & differentiability2024/8/3024常微分方程-重庆科技学院-李可人即是初值问题的解，在这里 被视为参数。显然，当 时上述初值问题仍然有解。3.3 Continuity & differentiability Continuity & differentiability2024/8/3025常微分方程-重庆科技学院-李可人根据解对初值和参数的
15、连续性定理，知是的连续函数。从而存在而是初值问题的解。且 ，显然的连续函数。它是3.3 Continuity & differentiability Continuity & differentiability2024/8/3026常微分方程-重庆科技学院-李可人再证存在且连续。为初值设所确定的方程的解。类似地可推证是初值问题的解。因而3.3 Continuity & differentiability Continuity & differentiability2024/8/3027常微分方程-重庆科技学院-李可人其中 具有性质故有至于 的存在及连续性，只需注意到显然它是的连续函数。是方程的
16、解，因而由 及 的连续性即直接推的结论。证毕。证毕。3.3 Continuity & differentiability Continuity & differentiability2024/8/3028常微分方程-重庆科技学院-李可人课堂练习课堂练习1 设 是初值问题的解，试证明3.3 Continuity & differentiability Continuity & differentiability2024/8/3029常微分方程-重庆科技学院-李可人2 已知方程试求3.3 Continuity & differentiability Continuity & differentiability2024/8/3030常微分方程-重庆科技学院-李可人按照公式，一般有由于 ，因此，我们有时有2024/8/3031常微分方程-重庆科技学院-李可人
