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1、工程力学（C）北京理工大学理学院力学系 韩斌(23)10 10 应力应变分析及应力应变关系应力应变分析及应力应变关系10.1 应力的概念应力的概念 一点处的应力状态一点处的应力状态1.内力在变形体内某一截面上分布的描述内力在变形体内某一截面上分布的描述TM用截面法求某一截面上的内力，得出该截面上的用截面法求某一截面上的内力，得出该截面上的内力分量：内力分量：截面分布内力系向截截面分布内力系向截面形心简化后的等效力系面形心简化后的等效力系为正确描述变形，应在为正确描述变形，应在该截面上的每一点，描该截面上的每一点，描述内力的状况。述内力的状况。xyz A A在在P点取面元点取面元 A， A上上分
2、布内力合力为分布内力合力为在在 m-m截面上截面上P点处点处定义：定义：m-mm-m截面上截面上截面上截面上P P点的正应力点的正应力点的正应力点的正应力m-mm-m截面上截面上截面上截面上P P点的点的点的点的切应力（剪应力）切应力（剪应力）切应力（剪应力）切应力（剪应力）m-mm-m截面上截面上截面上截面上P P点的全应力点的全应力点的全应力点的全应力 应力的单位：应力的单位：1Pa=1N/m21Mpa=106Pa1Gpa=103Mpa=109Pa2. 变形体内某一点的应力状态变形体内某一点的应力状态应力张量的概念应力张量的概念正应力、切应力（或全应力）正应力、切应力（或全应力）均与均与过
3、物体内部的某过物体内部的某过物体内部的某过物体内部的某 一点的一个截面一点的一个截面一点的一个截面一点的一个截面有关有关过物体内部某点过物体内部某点 p的所有截面上的应力分的所有截面上的应力分量的总体，称为量的总体，称为变形体在该点的应力状态变形体在该点的应力状态变形体在该点的应力状态变形体在该点的应力状态描述变形体内部某点的应力状态，应用描述变形体内部某点的应力状态，应用二阶张量二阶张量二阶张量二阶张量描述描述10.2应力张量的表示方法（分量表示法）应力张量的表示方法（分量表示法）1.单元体的概念单元体的概念变形体内某点处取出的边长无限小的体积微元变形体内某点处取出的边长无限小的体积微元在直
4、角坐标系下，单元体为无限小正六面体在直角坐标系下，单元体为无限小正六面体xyzxyz单元体的三对表面：单元体的三对表面：正面正面正面正面：外法向与坐标轴同向：外法向与坐标轴同向负面负面负面负面：外法向与坐标轴反向：外法向与坐标轴反向单元体是变形体单元体是变形体的最基本模型的最基本模型2.应力张量的表示方法应力张量的表示方法单元体每个表面上，都有该点在该截面上的应力单元体每个表面上，都有该点在该截面上的应力矢量（全应力），可分解为三个分量矢量（全应力），可分解为三个分量每对表面上的应力矢量互为反作用力，共每对表面上的应力矢量互为反作用力，共9个分量个分量xyzxyz各各应力分量的记法应力分量的记
5、法该分量的指向该分量的指向所在面的法向所在面的法向两脚标相同两脚标相同正应力正应力两脚标不同两脚标不同切应力切应力故故应力张量的分量表示为：应力张量的分量表示为：或或或或若记若记x=1,y=2,z=3,则则3.单元体的平衡条件单元体的平衡条件xyzxCyCzC以单元体为分离体以单元体为分离体,过其形心过其形心C作作xC,yC,zC轴：轴：切应力互等定理切应力互等定理故故应力张量为应力张量为二阶对称张量二阶对称张量二阶对称张量二阶对称张量9个个分量中，只有分量中，只有6个独立分量！个独立分量！10.3 平面应力状态分析平面应力状态分析若若某点的单元体应力状态满足：某点的单元体应力状态满足：9个个
6、应力分量有些为零，不为零的应力分量作用线都在应力分量有些为零，不为零的应力分量作用线都在同一平面内同一平面内称为称为平面应力状态平面应力状态平面应力状态平面应力状态或或二向应力状态二向应力状态二向应力状态二向应力状态xyz可简化为平面单元体：可简化为平面单元体：xy例如当物体的表面不受力时在表面例如当物体的表面不受力时在表面取出的单元体取出的单元体例如外力作用在板平面内的薄板内任意点例如外力作用在板平面内的薄板内任意点取出的单元体取出的单元体1.平面应力状态的工程表示方法平面应力状态的工程表示方法xy正应力正应力 ， 以拉为正以拉为正切应力切应力 ， 以使单元体顺以使单元体顺时针转动为正时针转
7、动为正应力分量的正负号规定应力分量的正负号规定应力分量的正负号规定应力分量的正负号规定：故故切应力互等定理为：切应力互等定理为：2. 平面应力状态分析平面应力状态分析解析法解析法若某点的应力状态已知，可求出该点任意若某点的应力状态已知，可求出该点任意外法线与为外法线与为n的斜截面上的应力分量。的斜截面上的应力分量。已知：某点单元体上的应力分量已知：某点单元体上的应力分量xyn 求求该点外法线为该点外法线为n的斜截面的斜截面 面上的正应力面上的正应力 , 切应力切应力 。沿斜面将单元体切开取分离体，设斜面面积为沿斜面将单元体切开取分离体，设斜面面积为dA nt同理同理 可得：可得：斜面应力公式斜
8、面应力公式（10.1） (10.2)xyn 10.4主平面、主方向、主应力、最大切应力主平面、主方向、主应力、最大切应力1. 主平面主平面 主方向主方向 主应力主应力在变形体内某一点处：在变形体内某一点处：若若某一方向的斜截面上某一方向的斜截面上 ，则该截面称为，则该截面称为主平面主平面主平面主平面该斜截面的方向角该斜截面的方向角 称为称为主方向主方向主方向主方向，记为记为记为记为 P P，则有则有 (10.2)02 内，得两个值内，得两个值 和和 ，且，且（10.3）主方向公式主方向公式即即这两个主平面相互垂直这两个主平面相互垂直主平面上的正应力称为主平面上的正应力称为主应力主应力主应力主应
9、力由斜面应力公式由斜面应力公式（10.1）令令即（即（10.3）式）式同样有同样有故，主平面上的正应力达到极值故，主平面上的正应力达到极值即即主应力分别对应于主应力分别对应于 的极大值和极小值的极大值和极小值将将 P1， P2代入（代入（10.1）得出主平面上的主应力为：）得出主平面上的主应力为：（10.4)主应力公式主应力公式以主平面为单元体的各面则称为主单元体以主平面为单元体的各面则称为主单元体xy从变形体内任意点取出的单元体称为原始单元体从变形体内任意点取出的单元体称为原始单元体主单元体的各表面上只主单元体的各表面上只有正应力，没有切应力有正应力，没有切应力对平面应力状态，对平面应力状态
10、，z平平面也为一个主平面，面也为一个主平面，其上的主应力为零。其上的主应力为零。故故故故平面应力状态有三个平面应力状态有三个平面应力状态有三个平面应力状态有三个主应力：主应力：主应力：主应力：按代数值大小排列为按代数值大小排列为 1 1 2 2 3 3分别称为分别称为第一主应力，第二主应力，第三主应力，第一主应力，第二主应力，第三主应力，第一主应力，第二主应力，第三主应力，第一主应力，第二主应力，第三主应力，对任意的一般应力状态，同样存在着三个相互垂对任意的一般应力状态，同样存在着三个相互垂直的主平面及三个主应力。直的主平面及三个主应力。一般应力状态的分类；一般应力状态的分类；某点的三个主应力
11、全不为零某点的三个主应力全不为零该点为三向应力状态该点为三向应力状态某点有一个主应力为零某点有一个主应力为零该点为二向应力状态该点为二向应力状态某点有二个主应力为零某点有二个主应力为零该点为单向应力状态，简该点为单向应力状态，简单应力状态单应力状态某点处所有截面上的正应力，其极大值为某点处所有截面上的正应力，其极大值为 1，极小值为极小值为 3单向、双向、三向应力状态单向、双向、三向应力状态2 .某点单元体的最大切应力某点单元体的最大切应力由斜面应力公式由斜面应力公式 求导求导 (10.2)上式的两个解上式的两个解 S1， S2为切应力达到极值的平面为切应力达到极值的平面 S与与主平面主平面
12、P相差相差45，即，即 P1与与 P2的的角平分线角平分线方向为方向为 S1和和 S2的的方向。切应力的极值为：方向。切应力的极值为： P S45x Pi注意注意注意注意同理，某点的三个主应力中，任意二个主同理，某点的三个主应力中，任意二个主应力都可找出一组切应力极值，分别为：应力都可找出一组切应力极值，分别为：该点单元体的最大切应力该点单元体的最大切应力该点单元体的最大切应力该点单元体的最大切应力应为三者当中的最大者，即应为三者当中的最大者，即（10.5）主切应力主切应力所在平面所在平面所在平面所在平面所在平面所在平面而最大切应力所在平面的法向应为而最大切应力所在平面的法向应为 1， 3两方
13、向两方向的角平分线方向。的角平分线方向。 3 3 2 2 1 1 max思考题：思考题：思考题：思考题：最大切应力所在最大切应力所在平面上的正应力是多少？平面上的正应力是多少？ = =？已知初始单元体的应力已知初始单元体的应力( (单位：单位：Mpa) )，求主单元体上的应力并画出主单元体。求主单元体上的应力并画出主单元体。解：解：xy例例 题题 11010 应力应变分析与应力应变关系应力应变分析与应力应变关系应力应变分析与应力应变关系应力应变分析与应力应变关系 例题例题由由初始单元体上的应力分量初始单元体上的应力分量代入主应力公式：代入主应力公式：故故三个主应力分别为三个主应力分别为求主方向
14、：求主方向：例例 题题 11010 应力应变分析与应力应变关系应力应变分析与应力应变关系应力应变分析与应力应变关系应力应变分析与应力应变关系 例题例题10.5 10.5 应力圆应力圆一点处平面应力状态的图解法。一点处平面应力状态的图解法。xy由斜面应力公式可得由斜面应力公式可得(b)(a)上两式两边平方后相加上两式两边平方后相加 圆的方程：圆心圆的方程：圆心 ( )圆的半径：圆的半径：上式在应力坐标系上式在应力坐标系 中为一圆，称为中为一圆，称为应力圆应力圆应力圆应力圆( ( ( (莫尔圆莫尔圆莫尔圆莫尔圆) ) ) )圆心圆心 ( )圆的半径：圆的半径：R应力圆的画法：应力圆的画法：xy已知
15、某点的平面应力状态为已知某点的平面应力状态为x面面坐标坐标 Dx（ ）y面坐标面坐标 Dy（ ）两点连线与两点连线与 轴的交点轴的交点为圆心为圆心C以以CDx为半径画出应力圆为半径画出应力圆应力圆的物理意义：应力圆的物理意义：圆周上任意一点的坐标值，为该点某一斜截面上圆周上任意一点的坐标值，为该点某一斜截面上的正应力和切应力的正应力和切应力xy 角角以以逆时针为正逆时针为正R2 因此，当因此，当 连续变化至连续变化至 时，坐标时，坐标 绕应力圆的圆心转一周绕应力圆的圆心转一周. . 应力圆上一点，由应力圆上一点，由 绕圆心转过绕圆心转过 角，对应角，对应 截截面上的应力面上的应力 Rxy 2
16、从应力圆上还可找到：主应力，主方向，主切应力从应力圆上还可找到：主应力，主方向，主切应力主应力：主应力：主方向：主方向：方向方向最大切应力：最大切应力：yx单元体的主应力、主方向、主切应力单元体的主应力、主方向、主切应力（2）纯剪切（纯剪）纯剪切（纯剪）TT 主单元体主单元体45 - 几种工程上常见的应力状态的实例：几种工程上常见的应力状态的实例：（1）单向拉伸）单向拉伸（2）单向压缩）单向压缩 单拉单拉单拉单拉- - 单压单压单压单压 某点单元体应力状态如图，确某点单元体应力状态如图，确定该点的主应力、主方向，画定该点的主应力、主方向，画出主单元体及其上的应力，并出主单元体及其上的应力，并在
17、应力圆上标出图示截面上的在应力圆上标出图示截面上的应力，（单位：应力，（单位： ）例例 题题 21010 应力应变分析与应力应变关系应力应变分析与应力应变关系应力应变分析与应力应变关系应力应变分析与应力应变关系 例题例题解：解：例例 题题 21010 应力应变分析与应力应变关系应力应变分析与应力应变关系应力应变分析与应力应变关系应力应变分析与应力应变关系 例题例题与与 2对应对应主应力为：主应力为：与与 1对应对应D主单元体：主单元体： 例例 题题 21010 应力应变分析与应力应变关系应力应变分析与应力应变关系应力应变分析与应力应变关系应力应变分析与应力应变关系 例题例题已知应力圆如图，画已
18、知应力圆如图，画出该点的初始单元体出该点的初始单元体及应力，主单元体及及应力，主单元体及应力。（单位：应力。（单位： ）解：解：例例 题题 31010 应力应变分析与应力应变关系应力应变分析与应力应变关系应力应变分析与应力应变关系应力应变分析与应力应变关系 例题例题初始单元体初始单元体xy半径半径 主单元体：主单元体：例例 题题 31010 应力应变分析与应力应变关系应力应变分析与应力应变关系应力应变分析与应力应变关系应力应变分析与应力应变关系 例题例题xy112.5xzy11.5 11.5 三向应力状态三向应力状态 将三个主应力按代数量的大将三个主应力按代数量的大小顺序排列小顺序排列 因因此
19、此根根据据每每一一点点的的应应力力状状态态都都可可以以找找到到3 3个个相相互互垂垂直直的的主主应力和应力和3 3个正交的主方向个正交的主方向xzy三向应力圆三向应力圆 空间任意方向截面上的应力空间任意方向截面上的应力 ， 可由三向应力圆所夹可由三向应力圆所夹阴影面中某点阴影面中某点 的应力坐标表示。的应力坐标表示。 一点处最大的剪应力一点处最大的剪应力 K求求 ， ， ，解：解： 在在 ， 平面内平面内 例例 题题 41010 应力应变分析与应力应变关系应力应变分析与应力应变关系应力应变分析与应力应变关系应力应变分析与应力应变关系 例题例题为为一个主应力一个主应力一点的变形有正应变一点的变形
20、有正应变( (线应变线应变) ) 和切应变和切应变( (剪应变剪应变) ) 11.6 11.6 应变分析应变分析1. 某点处（单元体的）变形的描述某点处（单元体的）变形的描述应变应变 xyz正应变正应变线段单位长度的改变量，无量纲线段单位长度的改变量，无量纲切切应变应变直角的改变量，单位：弧度直角的改变量，单位：弧度 某点处的应变某点处的应变二二阶阶对称应变张量对称应变张量在在 ， 坐标下坐标下 2.2.平面应变状态平面应变状态 （与平面应力状态对应的）（与平面应力状态对应的）单元体的相应尺寸与应变相乘得单元体的绝对变形量单元体的相应尺寸与应变相乘得单元体的绝对变形量xyxyxy在在 ， 坐标
21、下，坐标下， 方向到方向到 方向夹角方向夹角 令令 ， ，与平面应力状态的分析，与平面应力状态的分析类似有类似有 某点各个方位应变的情况称为该点的应变状态某点各个方位应变的情况称为该点的应变状态应变分析公式应变分析公式斜面应力公式斜面应力公式（10.1） (10.2)类似，也可求出该点的主应变，主应变方向类似，也可求出该点的主应变，主应变方向应变花：应变花：可证明：在应力或变形不是很大的情况下（线弹性范可证明：在应力或变形不是很大的情况下（线弹性范围）主应力与主应变围）主应力与主应变 的方向是重合的。的方向是重合的。可用于实验测定一点处可用于实验测定一点处的应变状态的应变状态120120454
22、5胡克定律胡克定律 比例系数比例系数 称为材料的称为材料的弹性模量弹性模量弹性模量弹性模量 比例系数比例系数 称为泊松比称为泊松比 11.7 11.7 应力应变关系应力应变关系1.1.单向应力状态单向应力状态横向应变横向应变 纵向应变纵向应变 1在线弹性范围内在线弹性范围内 剪切胡克定律剪切胡克定律 切变模量切变模量切变模量切变模量 可证明可证明 2.2.纯剪应力状态纯剪应力状态只有只有 作用时作用时3.3.广义胡克定律广义胡克定律只有只有 作用时作用时只有只有 作用时作用时只有只有 作用时作用时故故某点为任意应力状态时应满足：某点为任意应力状态时应满足：对主单元体对主单元体 已知一构件表面一
23、点的应变：已知一构件表面一点的应变： 求该点的主应力和最大切应力。求该点的主应力和最大切应力。例例 题题 51010 应力应变分析与应力应变关系应力应变分析与应力应变关系应力应变分析与应力应变关系应力应变分析与应力应变关系 例题例题解：解：则则 例例 题题 51010 应力应变分析与应力应变关系应力应变分析与应力应变关系应力应变分析与应力应变关系应力应变分析与应力应变关系 例题例题设设xy整理后整理后 例例 题题 51010 应力应变分析与应力应变关系应力应变分析与应力应变关系应力应变分析与应力应变关系应力应变分析与应力应变关系 例题例题平面应力状态下的广义胡克定律平面应力状态下的广义胡克定律
24、某点的应力状态为纯剪切，在该点某点的应力状态为纯剪切，在该点测得与测得与x轴夹角为轴夹角为-45-45方向上的正应方向上的正应变是变是 ，已知，已知 ，求，求解：解： 例例 题题 61010 应力应变分析与应力应变关系应力应变分析与应力应变关系应力应变分析与应力应变关系应力应变分析与应力应变关系 例题例题xy由该点主方向上的广义胡克定律：由该点主方向上的广义胡克定律：由于纯剪切的主方向为与由于纯剪切的主方向为与x轴夹角轴夹角45方向，方向，主应力为主应力为 ，0，- yx 取一体积为取一体积为 的单元体的单元体, ,受应力作用变形。受应力作用变形。4.4.体积变形体积变形变形后的体积：变形后的
25、体积：各各边长的改变量为：边长的改变量为：单位体积的改变量单位体积的改变量 代入广义胡克定律代入广义胡克定律体积应变体积应变体积应变体积应变令令 称为该点应力的平均应力称为该点应力的平均应力 设设 称为称为体变模量体变模量体变模量体变模量 对非主单元体由于剪应变不改变单元体的体积，对非主单元体由于剪应变不改变单元体的体积，上式仍成立。上式仍成立。 则则或或体积应变定律体积应变定律此时此时证明弹性模量与切变模量、泊松比间的关系证明弹性模量与切变模量、泊松比间的关系 证明：取一纯剪单元体（正方形）证明：取一纯剪单元体（正方形） 例例 题题 71010 应力应变分析与应力应变关系应力应变分析与应力应变关系应力应变分析与应力应变关系应力应变分析与应力应变关系 例题例题 非零主应力分别为：非零主应力分别为： ，- ，主方向为，主方向为45方向方向
