第十七讲3.切比雪夫滤波器的设计方法切比雪夫滤波器的设计方法 4.模拟滤波器的频率变换模拟滤波器的频率变换-----模拟模拟高通、带通、带阻滤波器的设计高通、带通、带阻滤波器的设计1. 3.Chebyshev低通滤波器的设计方法¨Chebyshev低通滤波器的幅度平方函数¨Chebyshev低通滤波器幅度平方函数特点¨Chebyshev低通滤波器的三个参量¨Chebyshev低通滤波器幅度平方函数的极点分布¨Chebyshev低通滤波器的设计步骤2. ¨提出的背景 巴特沃斯滤波器的频率特性曲线，无论在通带和阻带都是频率的单调函数因此．当通带边界处满足指标要求时，通带内肯定会有余量因此，更有效的设计方法应该是将精确度均匀地分布在整个通带内，或者均匀分布在整个阻带内，或者同时分布在两者之内这样，就可用阶数较低的系统满足要求这可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来达到3. 1）Chebyshev低通滤波器的幅度平方函数 4. ChebyshevΙ型滤波器的幅度平方函数（续）5. ¨当N=0时，C0(x)=1；¨当N=1时，C1(x)=x；¨当N=2时，C2(x)=2x 2 -1；¨当N=3时，C3(x)=4x 3 -3x。
¨由此可归纳出高阶切比雪夫多项式的递推公式为¨ C N+1 (x)=2xCN(x)-C N-1 (x) 前两项给出后才前两项给出后才能迭代下一个能迭代下一个Chebyshev多项式的特性6. 7. N=0,4,5切比雪夫多项式曲线N的影响：uN越大阻带衰减越快u阶数N影响过渡带的带宽，同时也影响通带内波动的疏密，因为N等于通带内最大值与最小值的总个数8. ¨ 2） Chebyshev低通滤波器幅度平方函数特点：¨ 通带外：迅速单调下降趋向0–N为偶数–N为奇数¨ 通带内：在1和 间等波纹起伏¨ 9. 切比雪夫Ⅰ型与巴特沃斯低通的幅度函数平方曲线10. 3）Chebyshev低通滤波器的三个参量：¨ ：通带截止频率，给定¨ ：表征通带内波纹大小由通带衰减决定11. 设阻带的起始点频率(阻带截止频率)用Ωs表示，在Ωs处的A2(Ωs)为 ：¨ 令λs=Ωs/Ωp，由λs>1，有可以解出 ¨滤波器阶数N 的确定12. 3dB截止频率Ωc的确定按照(6.2.19)式，有通常取λc>1，因此上式中仅取正号，得到3dB截止频率计算公式： 令书上该公式有错13. 4）Chebyshev低通滤波器幅度平方函数的极点分布¨ 以上Ωp,ε和N确定后，可以求出滤波器的极点，并确定Ha(p)，p=s/Ωp。
¨有用的结果:设Ha(s)的极点为si=σi+jΩi，可以证明： 14. ¨上式是一个椭圆方程，因为ch(x)大于sh(x)，长 半 轴 为 Ωpchξ(在 虚 轴 上 )， 短 半 轴 为Ωpshξ(在实轴上)令bΩp和aΩp分别表示长半轴和短半轴，可推导出： (6.2.29) (6.2.30) (6.2.31) 因此切比雪夫滤波器的极点就是一组分布在长半轴为bΩp ，短半轴为aΩp的椭圆上的点15. 设N=3，平方幅度函数的极点分布如图6.2.8所示(极点用X表示)为稳定，用左半平面的极点构成Ha(p)，即(6.2.32) 式中c是待定系数根据幅度平方函数(6.2.19)式可导出：c=ε·2 N-1，代入(6.2.32)式，得到归一化的传输函数为(6.2.33a) 去归一化后的传输函数为16. 图6.2.8 三阶切比雪夫滤波器的极点分布17. 18. 5） Chebyshev低通滤波器的设计步骤:归一化：1）确定技术指标：2)根据技术指标求出滤波器阶数N及 ：其中：19. 3）求出归一化系统函数：或者由N和 ，直接查表得其中极点由下式求出：4）去归一化20. 例6.2.2设计低通切比雪夫滤波器，要求通带截止频率fp=3kHz，通带最大衰减αp=0.1dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减αs=60dB。
解 (1) 滤波器的技术指标： 21. ¨ (2) 求阶数N和ε：此过程可直接查表22. (3) 求归一化系统函数Ha(p):由(6.2.38)式求出N=5时的极点pi，代入上式，得到： (4)将Ha(p)去归一化，得到：此过程也可直接查表完成23. 小结：模拟滤波器设计的步骤通带截止频率 、通带衰减阻带截止频率 、阻带衰减u确定滤波器的技术指标：u将模拟滤波器的技术指标设计转化为低通原型滤波器的参数–Butterworth低通滤波器–Chebyshev低通滤波器u构造归一化低通原型滤波器的系统函数u反归一24. 4.模拟滤波器的频率变换---- 模拟高通、带通、带阻滤波器的设计¨ 高通、带通和带阻滤波器的传输函数可以通过频率变换，分别由低通滤波器的传输函数求得，因此不论设计哪一种滤波器，都可以先将该滤波器的技术指标转换为低通滤波器的技术指标，按照该技术指标先设计低通滤波器，在通过频率变换，将低通的传输函数转换成所需类型的滤波器传输函数25. 符号规定归一化模拟低通模拟高通、带通、带阻模拟域频带变换26. 1) 低通到高通的频率变换uλ和η之间的关系为u低通到高通的频率变换关系为27. 模拟高通滤波器的设计步骤如下： (1)确定高通滤波器的技术指标： (2)确定相应低通滤波器的设计指标： 按照式 ,将高通滤波器的边界频率转换成低通滤波器的边界频率，各项设计指标为： ①低通滤波器通带截止频率 ； ②低通滤波器阻带截止频率 ； ③通带最大衰减仍为αp，阻带最小衰减仍为αs。
(3)设计归一化低通滤波器G(p) (4)求模拟高通的H(s)28. 例6.2.3 设计高通滤器,fp=200Hz,fs=100Hz，幅度特性单调下降，fp处最大衰减为3dB，阻带最小衰减αs=15dB解 ①高通技术指标要求： fp=200Hz,αp=3dB; fs=100Hz,αs=15dB 归一化频率②低通技术要求：29. ③ 设计归一化低通G(p)采用巴特沃斯滤波器，故④ 求模拟高通H(s)：30. 带通与低通滤波器的幅度特性 η与λ的对应关系 2) 低通到带通的频率变换31. 32. ¨ 由η与λ的对应关系，得到：由表6.2.2知λp对应ηu，代入上式中，有带通滤波器的归一化带宽为1 低通到带通的频率变换公式利用该式将带通的边界频率转换成低通的边界频率33. 由于 将q=jη代入上式，得到：为去归一化，将q=s/B代入上式，得到：(6.2.44) (6.2.45)归一化低通到任意带通系统函数的转换公式 两个环节:1.归一化低通到归一化带通；2.归一化带通到任意带通34. 下面总结模拟带通的设计步骤。
1)确定模拟带通滤波器的技术指标，即： 带通上限频率Ωu，带通下限频率Ωl 下阻带上限频率Ω s1 ,上阻带下限频率Ω s2 通带中心频率Ω20=ΩlΩu，通带宽度B=Ωu -Ωl 与以上边界频率对应的归一化边界频率如下：35. (2) 确定归一化低通技术要求： λs与-λs的绝对值可能不相等，一般取绝对值小的λs，这样保证在较大的λs处更能满足要求 通带最大衰减仍为αp，阻带最小衰减亦为αs (3) 设计归一化低通G(p) (4) 反归一:直接将G(p)转换成带通H(s) 36. 6.2.4 设计模拟带通滤波器，通带带宽B=2π×200rad/s，中心频率Ω0=2π×1000rad/s， 通带内最大衰减αp=3dB， 阻带Ωs1=2π×830rad/s,Ωs2=2π×1200rad/s， 阻带最小衰减αs=15dB 解 (1) 模拟带通的技术要求： Ω0=2π×1000rad/s,αp=3dB Ωs1 =2π×830rad/s, Ωs2=2π×1200rad/s,αs=15dB B=2π×200rad/s; η0=5,ηs1=4.15,ηs2=637. (2) 模拟归一化低通技术指标要求： 取λs=1.833,αp=3dB,αs=15dB。
(3)设计模拟归一化低通滤波器G(p)： 采用巴特沃斯型，有38. 取N=3，查表6.2.1，得(4) 求模拟带通H(s)： 39. 3) 低通到带阻的频率变换低通与带阻滤波器的幅频特性图6.2.11 低通与带阻滤波器的幅频特性40. ¨B作为一化参考频率相应的归一化边界频率为 ηu=Ωu/B, ηl=Ωl/B, ηs1=Ωs1/B, ηs2=Ωs2/B; η20=ηuηl 表6.2.3 η与λ的对应关系 41. 42. 低通到带阻的频率变换公式直接由归一化低通直接由归一化低通转换成带阻的频率转换成带阻的频率变换公式变换公式根据η与λ的对应关系，可得到：λp=1 令p=jλ，并去归一化，可得43. (1)(1)确定模拟带阻滤波器的技术要求，即：确定模拟带阻滤波器的技术要求，即： 设计模拟带阻滤波器的步骤：44. (2) 确定归一化模拟低通技术要求，即： 取绝对值较小的λs；通带最大衰减为αp，阻带最小衰减为αs (3) 设计归一化模拟低通G(p) (4) 转换成带阻滤波器H(s)。
45. 例6.2.5 设计模拟带阻滤波器，其技术要求为： Ωl=2π×905rad/s, Ωs1=2π×980rad/s, Ωs2 =2π×1020rad/s, Ωu=2π×1105rad/s,αp=3dB, αs=25dB试设计巴特沃斯带阻滤波器 解：(1) 模拟带阻滤波器的技术要求： Ωl=2π×905,Ωu=2π×1105; Ωs1=2π×980,Ωs2=2π×1020; Ω20=ΩlΩu=4π+2×1000025,B=Ωu -Ωl=2π×200;46. ηl=Ωl/B=4.525, ηu=Ωu/B=5.525; ηs1=Ωs1/B=4.9,ηs2=5.1; η20=ηlηu=25 (2) 归一化低通的技术要求：47. (4) 带阻滤波器的H(s)为(3)设计归一化低通滤波器G(p):48. 模拟滤波器设计的步骤通带截止频率 、通带衰减阻带截止频率 、阻带衰减u确定滤波器的技术指标：u将模拟滤波器的技术指标设计转化为低通原型滤波器的参数–Butterworth低通滤波器–Chebyshev低通滤波器u构造归一化低通原型滤波器的系统函数G(P）首先要掌握低通原型滤波器的设计方法首先要掌握低通原型滤波器的设计方法49. 模拟滤波器设计步骤小结（1）确定需要设计的“实际AF”H(jΩ)指标(2) 将实际AF转换成相应低通AF指标(3)根据实际滤波特性要求，选择合适的AF类型,设计相应的归一化低通G（P)(4)频率变换,将G(P)转化成实际AF系统函数50. 。