《第五章平面图形的几何性质》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第五章平面图形的几何性质（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第五章第五章第五章第五章 平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形的几何性质 工程力学系工程力学系第五章第五章 平面图形的几何性质平面图形的几何性质5-15-1 静矩和形心静矩和形心5-2 5-2 惯性矩惯性矩 惯性积惯性积 惯性半径惯性半径 5-3 5-3 平行移轴公式平行移轴公式 5-5 5-5 主惯性轴主惯性轴 主惯性矩主惯性矩 形心主惯性轴及形心主惯性轴及形心主惯性矩形心主惯性矩5-4 5-4 转轴公式转轴公式 第五章第五章第五章第五章 平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形的几何性质 工程力学系工程力学系拉压正应力拉压正应力扭转切应力扭转
2、切应力应力的计算通常用要到构件截面的几何参数应力的计算通常用要到构件截面的几何参数第五章第五章第五章第五章 平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形的几何性质 工程力学系工程力学系5-15-1 静矩和形心静矩和形心一、静矩一、静矩oyzyz AydA AzdA量纲：长度三次方量纲：长度三次方dA微面积对z轴的静矩：ydA微面积对y轴的静矩：zdA整个平面图形对z、y两轴的静矩：第五章第五章第五章第五章 平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形的几何性质 工程力学系工程力学系表明：平面图形对某一轴的静矩等于图形面积乘以相应的形心坐标。oyzC形心形心
3、C C 的坐标：的坐标： 若 和 ，则 和 。可见，若图形对某一轴的静矩等于零，则该轴必然通过图形的形心；反之，若某一轴通过形心，则图形对该轴的静矩等于零。第五章第五章第五章第五章 平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形的几何性质 工程力学系工程力学系三、组合图形的静矩和形心三、组合图形的静矩和形心常见的一些组合图形常见的一些组合图形 整个图形对某一轴的惯矩静矩等于各个简单图形整个图形对某一轴的惯矩静矩等于各个简单图形对同一轴的静矩的代数和。对同一轴的静矩的代数和。第五章第五章第五章第五章 平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形的几何性质 工程力
4、学系工程力学系第五章第五章第五章第五章 平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形的几何性质 工程力学系工程力学系例例1 1 求图示半圆形的形心位置由对称性，只需求 。现取平行于y轴的狭长条作为微面积。第五章第五章第五章第五章 平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形的几何性质 工程力学系工程力学系5-2 5-2 惯性矩惯性矩 惯性积惯性积 惯性半径惯性半径 oyzyzdA一、惯性矩、惯性半径 Ay2dAA z2dA量纲：长度四次方量纲：长度四次方微面积对z轴的惯性矩：y2dA微面积对y轴的惯性矩：z2dA整个平面图形对z、y两轴的静矩：第五章第五章第
5、五章第五章 平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形的几何性质 工程力学系工程力学系 工程上，经常把惯性矩写成图形面积与某一长度平方的乘积，即 或改写为式中， 、 分别称为图形对y轴和z轴的惯性半径，其量纲为长度。第五章第五章第五章第五章 平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形的几何性质 工程力学系工程力学系oyzyzdA 平面图形对坐标原点的极惯性矩： 图形对于任意一对互相垂直轴的惯性矩之和，等于它对该两轴交点的极惯性矩。 第五章第五章第五章第五章 平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形的几何性质 工程力学系工程力学系二、
6、惯性积 oyzyzdA 平面图形对y、z两轴的惯性积：量纲：长度四次方量纲：长度四次方yz两个坐标轴中只要有一个轴为图形的对称轴，则图形对这一对坐标轴的惯性积等于零 第五章第五章第五章第五章 平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形的几何性质 工程力学系工程力学系例例2 2 求图示矩形的yzbhzdzc第五章第五章第五章第五章 平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形的几何性质 工程力学系工程力学系思考：bhy第五章第五章第五章第五章 平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形的几何性质 工程力学系工程力学系例例3 3 求图示圆形
7、的yzd第五章第五章第五章第五章 平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形的几何性质 工程力学系工程力学系例例4 4 求圆环圆形的dDyz第五章第五章第五章第五章 平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形的几何性质 工程力学系工程力学系三、组合图形的惯性矩及惯性积 根据定义可知，组合图形对某坐标轴的惯性矩等于各个简单图形对同一轴的惯性矩之和；组合图形对于某一对正交坐标轴的惯性积等于各个简单图形对同一对轴的惯性积之和。用公式可表示为 式中， 、 、 分别为第个i简单图形对y轴和z轴的惯性矩和惯性积。第五章第五章第五章第五章 平面图形的几何性质平面图形的
8、几何性质平面图形的几何性质平面图形的几何性质 工程力学系工程力学系5-3 5-3 平行移轴公式平行移轴公式 yczcyczcO已知已知: :求求解：解：dAC0第五章第五章第五章第五章 平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形的几何性质 工程力学系工程力学系0yczcyczcOdAC0第五章第五章第五章第五章 平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形的几何性质 工程力学系工程力学系平行移轴公式平行移轴公式注意：注意：（1 1）两平行轴中，必须有一轴为形心轴）两平行轴中，必须有一轴为形心轴, ,截面对任意两截面对任意两平行轴的惯性矩间的关系平行轴的惯性
9、矩间的关系, ,应通过平行的形心轴惯性矩应通过平行的形心轴惯性矩来换算来换算; ;（2 2 2 2）截面图形对所有平行轴的惯性矩中）截面图形对所有平行轴的惯性矩中）截面图形对所有平行轴的惯性矩中）截面图形对所有平行轴的惯性矩中, , , ,以对通过形心以对通过形心以对通过形心以对通过形心轴的惯性矩最小轴的惯性矩最小轴的惯性矩最小轴的惯性矩最小. . . .第五章第五章第五章第五章 平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形的几何性质 工程力学系工程力学系例例5 5：T T字形截面字形截面, ,求其对形心轴的惯矩求其对形心轴的惯矩。第五章第五章第五章第五章 平面图形的几何性质
10、平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形的几何性质 工程力学系工程力学系5-4 5-4 转轴公式转轴公式 oyzdAyz规定:角 从 到 逆时针为正。第五章第五章第五章第五章 平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形的几何性质 工程力学系工程力学系转轴公式转轴公式: :第五章第五章第五章第五章 平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形的几何性质 工程力学系工程力学系解解:oyzAdAyz第五章第五章第五章第五章 平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形的几何性质 工程力学系工程力学系三角函数关系: 第五章第五章第五章第五章
11、平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形的几何性质 工程力学系工程力学系第五章第五章第五章第五章 平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形的几何性质 工程力学系工程力学系例例6 6：求矩形对轴：求矩形对轴 、 的惯性矩和惯性积的惯性矩和惯性积 解:矩形对y、z轴的惯性矩和惯性积分别为 yzabO第五章第五章第五章第五章 平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形的几何性质 工程力学系工程力学系 从本例的结果可知，当矩形变为正方形时，即在a=b时，惯性矩与角 无关，其值为常量，而惯性积为零。这个结论可推广于一般的正多边形，即正多边形
12、对形心轴的惯性矩的数值恒为常量，与形心轴的方向无关，并且对以形心为原点的任一对直角坐标轴的惯性积为零。 讨论：当讨论：当a ab b时，结果如何？时，结果如何？第五章第五章第五章第五章 平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形的几何性质 工程力学系工程力学系5-5 5-5 主惯性轴主惯性轴 主惯性矩主惯性矩 形心主形心主惯性轴及形心主惯性矩惯性轴及形心主惯性矩第五章第五章第五章第五章 平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形的几何性质 工程力学系工程力学系确定两个相差90度的角度第五章第五章第五章第五章 平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形的
13、几何性质平面图形的几何性质 工程力学系工程力学系主惯性轴：主惯性矩：惯性矩有极值，惯性积为零的轴。对主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。形心主惯性轴：形心主惯性矩：通过形心的主惯性轴称为形心主惯性轴。对形心主惯性轴的惯性矩。第五章第五章第五章第五章 平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形的几何性质 工程力学系工程力学系例例7 7：确定形心主惯性轴的位置，并计算形心主惯性矩确定形心主惯性轴的位置，并计算形心主惯性矩 120801010一、确定形心坐标zyO形心C坐标CzCyC二、确定图形对形心坐标yC、zC的惯性矩和惯性积第五章第五章第五章第五章 平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形的几何性质 工程力学系工程力学系三、求形心主轴位置及形心主惯性矩 或或确定两个互相垂直的坐标轴（形心主惯性轴）第五章第五章第五章第五章 平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形的几何性质 工程力学系工程力学系120801010zyOCzCyC 如何确定对哪个轴的惯性矩最大，对哪个轴的惯性矩最小？ （一）代入法 （二）通过比较 的大小
