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1、第第五五章章 二二维随机变量及其分布维随机变量及其分布二维随机变量及分布函数二维随机变量及分布函数二维离散型随机变量二维离散型随机变量二维连续型随机变量二维连续型随机变量边缘分布边缘分布随机变量的独立性随机变量的独立性条件分布条件分布1.1 1.1 二维随机变量及分布函数二维随机变量及分布函数 一般地，如果两个变量所组成的有序数组即一般地，如果两个变量所组成的有序数组即二维变量（二维变量（X X，Y Y），它的取值是随着实验结果），它的取值是随着实验结果而确定的，那么称这个二维变量（而确定的，那么称这个二维变量（X X，Y Y）为）为二二维随机变量维随机变量，相应地，称（，相应地，称（X X，
2、Y Y）的取值规律）的取值规律为为二维分布二维分布一、一、 二维随机变量二维随机变量5.1 5.1 二维随机变量及分布函数二维随机变量及分布函数 设设(X,Y)(X,Y)是二维随机变量，是二维随机变量， 则称则称 F(x,yF(x,y)=)=PXPX x,Yx,Y y y 为为(X,Y)(X,Y)的的分布函数分布函数，或，或X X与与Y Y的的联合分布函数联合分布函数, ,其中其中x,yx,y 是任意实数是任意实数.二、二、联合分布函数联合分布函数定义：定义：注：注：联合分布函数联合分布函数是事件是事件 X Xx x 与与 Y Yy y 同时发同时发生生( (交交) )的概率的概率5.1 5.
3、1 二维随机变量及分布函数二维随机变量及分布函数二、二、联合分布函数联合分布函数几何意义几何意义如果将二维随机变量如果将二维随机变量(X,Y)(X,Y)看成是平面随机点的坐标看成是平面随机点的坐标, ,那么联合分布函数那么联合分布函数 F(X,Y)F(X,Y)在在(X,Y)(X,Y)的函数值就是随机的函数值就是随机点点(X,Y)(X,Y)落在落在以为以为( (x,yx,y) )右上角拐点的无穷矩形内的概率右上角拐点的无穷矩形内的概率. . 5.1 5.1 二维随机变量及分布函数二维随机变量及分布函数二、二、联合分布函数联合分布函数性质性质 对任意的对任意的x,yx,y, ,有有 0F(x,y)
4、1;0F(x,y)1; F(x,yF(x,y) )关于关于x x、关于、关于y y 单调不减；单调不减； 5.1 5.1 二维随机变量及分布函数二维随机变量及分布函数二、二、联合分布函数联合分布函数性质性质 F(x,yF(x,y) )关于关于x x、关于、关于y y 右连续右连续5.1 5.1 二维随机变量及分布函数二维随机变量及分布函数二、二、联合分布函数联合分布函数性质性质5.1 5.1 二维随机变量及二维随机变量及分布函数分布函数二、二、联合分布函数联合分布函数性质性质随机点随机点(X,Y)(X,Y)落在矩形区域落在矩形区域的概率的概率0 x1 x2 xy1y2y5.1 5.1 二维随机
5、变量及二维随机变量及分布函数分布函数二、二、联合分布函数联合分布函数性质性质注：任何一个二维联合分布函数注：任何一个二维联合分布函数F(x,yF(x,y) )必具有以必具有以上五条基本性质，还可证明具有以上五条性质的上五条基本性质，还可证明具有以上五条性质的二元函数二元函数F(x,yF(x,y) )一定是某个二维随机变量的分布一定是某个二维随机变量的分布函数函数. .即这五条性质是判定一个二元函数是否为即这五条性质是判定一个二元函数是否为某个随机变量的分布函数的充要条件某个随机变量的分布函数的充要条件 求常数求常数A A，B B，C. C. 解解: :5.2 5.2 二维离散型随机变量二维离散
6、型随机变量一、二维离散型随机变量及联合分布律一、二维离散型随机变量及联合分布律 若二维离散型随机变量若二维离散型随机变量(X,Y)(X,Y)取取( (x xi i,y,yj j) )的概率为的概率为p pijij, ,则则称称PXPXx xi i,Y,Yy yj j p pijij ，( (i,ji,j1, 2,)1, 2,)，为二维离散，为二维离散型随机变量型随机变量(X,Y)(X,Y)的的分布律分布律，或随机变量，或随机变量X X与与Y Y的的联合分联合分布布律律. . 可记为可记为 (X,Y)(X,Y)PXPXx xi i, Y, Y y yj j,p pijij ,( ,(i,ji,j
7、1,2,)1,2,)，1.二维离散型随机变量二维离散型随机变量定义定义 若二维随机变量若二维随机变量(X,Y).(X,Y).如果它可能取的值如果它可能取的值是有限个或是有限个或可数多个数组对可数多个数组对( (x xi i,y,yj j),(i,j),(i,j1,2, )1,2, )，则称则称(X,Y)(X,Y)为为二维离散型随机变量二维离散型随机变量。2.联合分布律联合分布律5.2 5.2 二维离散型随机变量二维离散型随机变量一、二维离散型随机变量及联合分布律一、二维离散型随机变量及联合分布律 联合分布联合分布律律的的性质性质 (1) (2)二维离散型随机变量的分布律二维离散型随机变量的分布
8、律也可列表也可列表表示表示如下如下:YXy1 y2 yj x1 p11 p12 p1j x2 p21 p22 p2j xi pi1 pi2 pij 0p pijij1 1, , i, ji, j1, 2,1, 2, 5.2 5.2 二维离散型随机变量二维离散型随机变量一、二维离散型随机变量及联合分布律一、二维离散型随机变量及联合分布律 例例2 2 一口袋中有三个球，它们依次标有数字一口袋中有三个球，它们依次标有数字1,2,2.1,2,2.从从这这袋中任取一球后袋中任取一球后, ,不放回袋中不放回袋中, ,再从袋中任取一球再从袋中任取一球. .设每设每次取球时次取球时, ,袋中各个球被取到的可能
9、性相同袋中各个球被取到的可能性相同. .以以X,YX,Y分别分别记第一次、第二次取得的球上标有的数字记第一次、第二次取得的球上标有的数字. .求求: :(1) X,Y(1) X,Y的分布律的分布律; ; (2) P(X(2) P(XY).Y).解解: :P(X=1,Y=2)=(1/3)1=1/3P(X=1,Y=2)=(1/3)1=1/3P(X=2,Y=1)=(2/3)(1/2)=1/3P(X=2,Y=1)=(2/3)(1/2)=1/3P(X=2,Y=2)=(2/3)(1/2)=1/3P(X=2,Y=2)=(2/3)(1/2)=1/3YX 1 21 0 1/3 2 1/3 1/35.2 5.2
10、二维离散型随机变量二维离散型随机变量一、二维离散型随机变量及联合分布律一、二维离散型随机变量及联合分布律 (2)(2)P(XP(XYY)=P(X=1,Y=1)+P(X=2,Y=1)+P(X=2,Y=2)=P(X=1,Y=1)+P(X=2,Y=1)+P(X=2,Y=2)=0+(1/3)+(1/3)=2/3=0+(1/3)+(1/3)=2/3YX 1 21 1/9 2/9 2 2/9 4/9由于事件由于事件XXY=X=1,Y=1Y=X=1,Y=1X=2,Y=1X=2,Y=2X=2,Y=1X=2,Y=2且三个事件互不相容且三个事件互不相容, ,因此因此有放回抽取方式有放回抽取方式P(X=1,Y=2)
11、=2/9P(X=1,Y=2)=2/9P(X=2,Y=1)=2/9P(X=2,Y=1)=2/9P(X=2,Y=2)=4/9P(X=2,Y=2)=4/9P(X=1,Y=1)=1/9P(X=1,Y=1)=1/95.2 5.2 二维离散型随机变量二维离散型随机变量一、二维离散型随机变量及联合分布律一、二维离散型随机变量及联合分布律 若若(X,Y)(X,Y)的分布律为的分布律为PX=PX=x xi i,Y,Y= =y yj j=p pijij, i,j=1,2, i,j=1,2,则则(X,Y)(X,Y)的分布函数为的分布函数为 其中和式是对一切满足其中和式是对一切满足x xi ix x , , y yj
12、 jy y求和。求和。分布律与分布函数的关系分布律与分布函数的关系5.2 5.2 二维离散型随机变量二维离散型随机变量一、二维离散型随机变量及联合分布律一、二维离散型随机变量及联合分布律 例例 若若(X,Y)(X,Y)的分布律如下表，的分布律如下表，YX0 10 1/2 0 1 0 1/2求求(X,Y)(X,Y)的分布函数。的分布函数。解解yx115.3 5.3 二维连续型随机变量二维连续型随机变量一、二维连续型随机变量及联合密度函数一、二维连续型随机变量及联合密度函数 1.1.定义定义：设：设( (X X, ,Y Y) )的分布函数为的分布函数为F F( (x x, ,y y),),若存在一
13、非负函若存在一非负函数数f f( (x x, ,y y),),使得对于任意的实数使得对于任意的实数x x, ,y y有有 则称则称( (X X, ,Y Y) )是连续型二维随机变量是连续型二维随机变量, ,函数函数 f f( (x x, ,y y) )称为二称为二维随机变量维随机变量( (X X, ,Y Y) )的的( (联合联合) )概率密度函数概率密度函数. . 2 2概率密度概率密度f f( (x x, ,y y) )的的性质性质5.3 5.3 二维连续型随机变量二维连续型随机变量一、二维连续型随机变量及联合密度函数一、二维连续型随机变量及联合密度函数 (3).(3).若若f f( (x
14、 x, ,y y) )在点在点( (x,yx,y) )连续，则有连续，则有 (4).(4).设设G G是是xyxy平面上的一个区域平面上的一个区域, ,点点( (X X, ,Y Y) )落在落在G G内的概率为内的概率为: : 在几何上在几何上z z= = f f( (x x, ,y y) )表示空间的一个曲面。表示空间的一个曲面。P(P(X X, ,Y Y)G)G的值等于以的值等于以G G为底为底, ,以曲面以曲面z z= = f f( (x x, ,y y) )为顶面的柱体体积。为顶面的柱体体积。 5.3 5.3 二维连续型随机变量二维连续型随机变量一、二维连续型随机变量及联合密度函数一、
15、二维连续型随机变量及联合密度函数 例例3: 3: 设二维随机变量设二维随机变量( (X X, ,Y Y) )具有概率密度具有概率密度 求：求： (1) (1) 常数常数c c；(2)P(X(2)P(XYY).).因此解得因此解得(1) (1) 由性质由性质得到得到c=8c=8解解: :5.3 5.3 二维连续型随机变量二维连续型随机变量一、二维连续型随机变量及联合密度函数一、二维连续型随机变量及联合密度函数 (2)P(X(2)P(XYY)=)= = = = = = = = =5.3 5.3 二维连续型随机变量二维连续型随机变量二、两个常见二维连续型随机变量的联合密度函数二、两个常见二维连续型随
16、机变量的联合密度函数 ( (一一) )均匀分布均匀分布 定义定义: : 设设G G是平面上的有限区域是平面上的有限区域, ,面积为面积为A A, ,若二维若二维 随机向量随机向量(X,Y)(X,Y)具有概率密度具有概率密度. . 则称则称(X,Y)(X,Y)在在G G上服从均匀分布。上服从均匀分布。5.3 5.3 二维连续型随机变量二维连续型随机变量二、两个常见二维连续型随机变量的联合密度函数二、两个常见二维连续型随机变量的联合密度函数例：设二维随机变量例：设二维随机变量(X,Y)(X,Y)服从区域服从区域G G上的均匀分布上的均匀分布, ,其中其中G=0x1,|y|x,G=0x1,|y|x,
17、求求(X,Y)(X,Y)的联合密度函数的联合密度函数. .解解：yoy=x(1,1)xy=-x(1,-1)5.3 5.3 二维连续型随机变量二维连续型随机变量二、两个常见二维连续型随机变量的联合密度函数二、两个常见二维连续型随机变量的联合密度函数例：若例：若(X,Y)(X,Y)在在D D1 1上服从均匀分布，上服从均匀分布，D D1 1为为x x轴、轴、y y轴及直线轴及直线y y=2=2x x+1+1所围。求所围。求: : (X,Y)(X,Y)的概率密度。的概率密度。y-1/2 0 xD1解解：5.3 5.3 二维连续型随机变量二维连续型随机变量二、两个常见二维连续型随机变量的联合密度函数二
18、、两个常见二维连续型随机变量的联合密度函数( (二二) )二维正态分布二维正态分布 定义定义: : 若若( (X X, ,Y Y) )具有概率密度具有概率密度 其中其中 -1 1+, -+, -2 2+,0,0,2 20 ,|0 ,|1,则称则称(X,Y)(X,Y)服从参数为服从参数为1 1,2 2,2 21 1,2 22 2,的二维正态的二维正态分布，分布，记为记为:(X,Y):(X,Y) N(N(1 1,2 2, , 2 21 1,2 22 2,).,).1.1.随机变量（随机变量（X X，Y Y）的概率密度为的概率密度为xyD答答: PXPX 0=00=02242.已知二维随机变量（已知
19、二维随机变量（X，Y）的分布密度为的分布密度为 求概率求概率 解解 1续解续解 .x+y=3 5.4 5.4 边缘分布边缘分布一、边缘分布函数一、边缘分布函数1 1边缘分布边缘分布 设设F F( (x x, ,y y) )为二维随机变量为二维随机变量(X,Y)(X,Y)的联合分布函数，称的联合分布函数，称 P(XP(Xx x)=)=P(XP(Xx,Yx,Y+) (-) (-x+x+) )为为X X的的边缘分布函数边缘分布函数, ,并记为并记为F Fx x( (x x).).2.2.公式公式. . 由于由于F Fx x( (x x)=P()=P(X Xx xY Y+)=P+)=PX Xx x,
20、,Y Y+ =F(x,+) =F(x,+) 同理有同理有 F FY Y( (y y)=)=F F(+,(+,y y).).5.4 5.4 边缘分布边缘分布一、边缘分布函数一、边缘分布函数例例: :试从联合分布函数试从联合分布函数F(x,yF(x,y) )，求关于，求关于X,X,关于关于Y Y的边缘的边缘分布函数分布函数F FX X(x),F(x),FY Y(y(y).).解解: :由边缘分布函数的定义我们有由边缘分布函数的定义我们有5.4 5.4 边缘分布边缘分布一、边缘分布函数一、边缘分布函数例例: :已知已知(X,Y)(X,Y)的分布函数为的分布函数为 求求F FX X(x)(x)与与F
21、FY Y(y(y).).5.4 5.4 边缘分布边缘分布二、离散型二维随机变量的边缘分布律二、离散型二维随机变量的边缘分布律1. 1. 边缘分布律边缘分布律 设设(X,Y)(X,Y)为离散型二维随机变量为离散型二维随机变量, ,其联合分布律为其联合分布律为 PX=PX=x xi i,Y,Y= =y yj j=p pijij, , i,ji,j=1,2,=1,2, 称称PX=PX=x xi i,Y,Y+(i=1,2,)(i=1,2,)为为X X的的边缘分布律边缘分布律。 2. 2. 计算计算以后将以后将 记为记为 p pi i. .5.4 5.4 边缘分布边缘分布二、离散型二维随机向量的边缘分布
22、律二、离散型二维随机向量的边缘分布律X X的边缘分布为的边缘分布为Y Y的边缘分布为的边缘分布为p2.p1.Px2x1Xpi.xip.2p.1Py2y1Yp.jyj5.4 5.4 边缘分布边缘分布二、离散型二维随机向量的边缘分布律二、离散型二维随机向量的边缘分布律1x1 xi pip1pip jp1p jyjy1XY XY -1 0 4 1 0.17 0.05 0.213 0.04 0.28 0.25求求(X,Y)(X,Y)关于关于X X和和Y Y的边缘分布律。的边缘分布律。 解解: : X X的可能取值为的可能取值为1,31,3且且 PX=1=PX=1,Y=-1+PX=1,Y=0+PX=1,
23、Y=4PX=1=PX=1,Y=-1+PX=1,Y=0+PX=1,Y=4 =0.17+0.05+0.21=0.43 =0.17+0.05+0.21=0.43 因此关于因此关于X X的边缘分布律为的边缘分布律为 X 1 3p 0.43 0.57同样的方法求得关于同样的方法求得关于Y Y的边缘分布律为的边缘分布律为 Y -1 0 4p 0.21 0.33 0.46例联合分布律的为：例联合分布律的为： 5.4 5.4 边缘分布边缘分布三、连续型随机变量三、连续型随机变量(X,Y)(X,Y)的边缘密度函数的边缘密度函数边缘密度函数边缘密度函数 设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量(X,Y)(X,Y)
24、有联合密度函数有联合密度函数f(x,yf(x,y), ), 分别称分别称 为为(X,Y)(X,Y)关于关于X X的的边缘密度函数边缘密度函数；为为(X,Y)(X,Y)关于关于Y Y的的边缘密度函数边缘密度函数. .说明说明例例:(X,Y):(X,Y)的联合密度函数为的联合密度函数为求：边缘概率密度求：边缘概率密度f fx x( (x x),),f fY Y( (y y) )。解：（解：（1 1）X X 的边缘密度函数为的边缘密度函数为 Y Y 的边缘密度函数为的边缘密度函数为例例: : 设设(X,Y)(X,Y)在单位圆在单位圆D D(x x, ,y y)|)|x x2 2+ +y y2 211
25、上服从均匀分布上服从均匀分布, ,求：（求：（1 1）边缘概率密度）边缘概率密度f fx x( (x x),),f fY Y( (y y) )，（，（2 2）求概率）求概率P(X+Y1) P(X+Y1/2)P(X1/2)。解解:(X,Y):(X,Y)的联合密度函数为：的联合密度函数为：-1 0 x 1 xy 先求先求f fx x( (x x) : ) : 当当-1-1x x10,p0,pjj00，考虑在事件考虑在事件Y=Y=y yj j 已发生的条件下事已发生的条件下事件件X=xX=xi i 发生的概率发生的概率, ,即即 X=X=x xi i|Y|Y= =y yj j, i=1,2, i=1
26、,2,. .的概率的概率, ,由条件概率公式由条件概率公式, , 1.6 1.6 条件分布条件分布一、离散型随机变量的条件分布律一、离散型随机变量的条件分布律条件概率具有分布律的特性条件概率具有分布律的特性(1).PX=(1).PX=x xi i|Y|Y= =y yj j00； 1 1定义定义 设设(X,Y)(X,Y)是二维离散型随机变量是二维离散型随机变量, ,对于固定对于固定 的的j j，若，若PY=PY=y yj j00，则称则称 为在为在Y=Y=y yj j条件下随机变量条件下随机变量X X的的条件分布律条件分布律。 1.6 1.6 条件分布条件分布一、离散型随机变量的条件分布律一、离
27、散型随机变量的条件分布律 同理，对于固定的同理，对于固定的i i，若，若PX=PX=x xi i00，则称则称 为在为在X=X=x xi i条件下条件下随机变量随机变量Y Y的条件分布律的条件分布律。 2. 2. 条件分布函数条件分布函数 同理，同理，XY-1 1 2 0 1/12 0 3/12 3/2 2/12 1/12 1/12 2 3/12 1/12 0试分别求试分别求Y|X=0Y|X=0及及X|Y=-1X|Y=-1的条件分布律的条件分布律例例 二维离散型随机变量二维离散型随机变量(X,Y)(X,Y)的分布律为的分布律为 解解X|Y=-1 0 3/2 2 P 1/6 2/6 3/6Y|X
28、=0 1 1 2 P 1/4 0 3/4p.p.1 1= =p(Yp(Y=-1)=1/12+2/12+3/12=3/6=-1)=1/12+2/12+3/12=3/6P P1 1.=.=p(Yp(Y=0)=1/12+0+3/12=2/6=0)=1/12+0+3/12=2/61.6 1.6 条件分布条件分布二、连续型随机变量条件分布的定义二、连续型随机变量条件分布的定义 设设(X,Y)(X,Y)是二维连续型随机变量是二维连续型随机变量, ,这时由于对任意这时由于对任意x,yx,y有有PX=x=0 , PY=y=0 ,PX=x=0 , PY=y=0 ,因此不能直接用条件概率公式引入因此不能直接用条件
29、概率公式引入条件分布函数条件分布函数PXx|YPXx|Yy.y.下面我们用极限的方法来处理下面我们用极限的方法来处理. . 给定给定y,y,设对于任意固定的正数设对于任意固定的正数,Py-,Py-Yy+0 ,Yy+0 ,于是对于任意于是对于任意x x有有 上式给出了在任意上式给出了在任意y y-YYy y+下下X X的条件分布的条件分布函数函数, ,现在我们引入以下的定义现在我们引入以下的定义. . 1.6 1.6 条件分布条件分布二、连续型随机变量条件分布的定义二、连续型随机变量条件分布的定义1.1.条件分布函数的定义：给定条件分布函数的定义：给定y y, ,设对于任意实数设对于任意实数x
30、x, ,若极限若极限 存在存在, ,则称此极限为则称此极限为在条件在条件Y=yY=y下下X X的条件分布函数的条件分布函数, , 记为记为PXx|Y=yPXx|Y=y或记为或记为F FX|YX|Y(x|y).(x|y). 2.2.公式：公式： 设设(X,Y)(X,Y)的分布函数为的分布函数为F(x,y)F(x,y)，概率密度为概率密度为f(x,y).f(x,y).若在点若在点(x,y)(x,y)处处f(x,y)f(x,y)连续连续, ,且且f fY Y(y(y)0,)0,则有则有 1.6 1.6 条件分布条件分布二、连续型随机变量条件分布的定义二、连续型随机变量条件分布的定义1.6 1.6 条
31、件分布条件分布二、连续型随机变量条件分布的定义二、连续型随机变量条件分布的定义3.3.条件概率密度条件概率密度 定义定义同理，同理，称为称为在在Y=Y=y y条件下条件下X X的条件概率密度的条件概率密度，且满足概率密度，且满足概率密度的两个性质。的两个性质。 称为在称为在X=xX=x条件下条件下X X的条件概率密度的条件概率密度，且满足概率密度，且满足概率密度的两个性质。的两个性质。例例1: 1: 设设(X,Y)(X,Y)服从二维正态分布服从二维正态分布 N(N(1 1,2 2,1 12 2,2 22 2, , ),),求在求在X=X=x x的条件下的条件下,Y,Y的条件密度函数的条件密度函数f fY|XY|X( (y y| |x x).).解解: (X,Y): (X,Y)的密度函数为的密度函数为 由上前面的例题知道由上前面的例题知道 所以所以X=X=x x条件下条件下Y Y的条件概率密度为的条件概率密度为 这正是正态分布这正是正态分布
