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1、第七章 多元函数微积分学7.1 7.1 预备知识预备知识7.2 7.2 多元函数概念多元函数概念7.3 7.3 偏导数与全微分偏导数与全微分7.4 7.4 多元复合函数与隐函数微分法多元复合函数与隐函数微分法7.5 7.5 高阶偏导数高阶偏导数7.6 7.6 多元函数极值多元函数极值7.7 7.7 二重积分二重积分教学目的与要求教学目的与要求了解二元函数极限与连续的直观意义了解二元函数极限与连续的直观意义掌握多元复合函数偏导数和全微分的方法，掌握多元复合函数偏导数和全微分的方法，会用隐函数的求导法则。会用隐函数的求导法则。掌握多元函数偏导数和全微分的概念掌握多元函数偏导数和全微分的概念了解多元
2、函数的极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值了解多元函数的极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件最值。二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件最值。 掌握二重积分的概念与基本性质，掌握在直角坐标系与掌握二重积分的概念与基本性质，掌握在直角坐标系与极坐标系中的计算方法。会计算无界区域上简单的二重积分。极坐标系中的计算方法。会计算无界区域上简单的二重积分。7.1 预备知识平面曲线平面曲线 二元方程二元方程 第七章 一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系 坐标
3、原点坐标原点 坐标轴坐标轴 坐标面坐标面 卦限卦限(八个八个)x轴轴(横轴横轴)y轴轴(纵轴纵轴)z 轴轴(竖轴竖轴)zox面 三个坐标轴的正方向符合三个坐标轴的正方向符合右手系右手系.在空间直角坐标系下在空间直角坐标系下坐标轴上的点坐标轴上的点 P, Q , R ;坐标面上的点坐标面上的点 A , B , C点点 M特殊点的表示特殊点的表示 : :三元数组三元数组(称为点称为点 M 的的坐标坐标)原点原点 O(0,0,0) ;二、空间两点间的距离二、空间两点间的距离空间两点间距离公式空间两点间距离公式故所求方程为故所求方程为例例1. 求动点到定点求动点到定点方程方程. 特别特别, ,当当M0
4、在原点时在原点时, ,球面方程为球面方程为设轨迹上动点为设轨迹上动点为即即依题意依题意距离为距离为 R 的轨迹的轨迹表示上表示上(下下)球面球面 .解:空间曲面空间曲面 三元方程三元方程例例2. 研究方程研究方程配方得配方得此方程表示此方程表示:说明说明: : 如下形式的三元二次方程如下形式的三元二次方程 ( A 0 )都可通过配方研究它的图形都可通过配方研究它的图形. .其图形可能是其图形可能是的曲面的曲面. . 表示表示怎样怎样半径为半径为的球面的球面. .球心为球心为 一个一个球面球面, , 或或点点 , 或或虚轨迹虚轨迹.解:平行某定直线平行某定直线L的动直线的动直线 l沿定曲线沿定曲
5、线 C 移动移动的轨迹叫做的轨迹叫做柱面柱面.C 叫做叫做准线准线, l 叫做叫做母线母线.形成形成常见的空间曲面有平面、柱面、旋转曲面常见的空间曲面有平面、柱面、旋转曲面和二次曲面和二次曲面圆柱面圆柱面抛物柱面抛物柱面椭圆柱面椭圆柱面平行于平行于 z 轴轴; ;柱面柱面, ,准线为准线为xoy 面上的曲线面上的曲线 l1.母线母线（其他类推）（其他类推）定义定义2. . 一条平面曲线一条平面曲线4 4、旋转曲面、旋转曲面 绕其平面上一条绕其平面上一条定直线定直线旋转旋转一周一周所形成的曲面叫做所形成的曲面叫做旋转曲面旋转曲面.该定直线称为该定直线称为旋转旋转轴轴 . .例如例如 :建立建立y
6、oz面上曲线面上曲线C 绕绕 z 轴旋转所成曲面轴旋转所成曲面的的方程方程:故旋转曲面方程为故旋转曲面方程为当绕当绕 z 轴旋转时轴旋转时, ,若点若点给定给定 yoz 面上曲线面上曲线 C: 则有则有则有则有该点转到该点转到思考思考：当曲线：当曲线 C 绕绕 y 轴旋转时，方程如何？轴旋转时，方程如何？三元二次方程所表示的曲面三元二次方程所表示的曲面(二次项系数不全为二次项系数不全为 0 )其基本类型有其基本类型有: 球面、椭球面、抛物面、双曲面、锥面球面、椭球面、抛物面、双曲面、锥面1).1). 椭球面椭球面2). 椭圆抛物面椭圆抛物面( p , q 0) 0)研究二次曲面特性的基本方法研
7、究二次曲面特性的基本方法: 截痕法截痕法(P207) 3). 双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面）( p , q 0)0)4). 单叶单叶 双曲面双曲面5). 双叶双叶 双曲面双曲面四、平面区域的概念四、平面区域的概念1.(1.(平面平面) )邻域邻域: :称为点称为点 P0 的的 邻域邻域. .例如例如, ,在平面上在平面上, ,( (圆邻域圆邻域) )点点 P0 的的去心邻域去心邻域为为2.2.区域区域: :(1) 内点、外点、边界点内点、外点、边界点设有点集设有点集 D 及一点及一点 P : 若存在点若存在点 P 的某邻域的某邻域则称则称 P 为为 D 的的内点内点； 若存在点若存在
8、点 P 的某邻域的某邻域则称则称 P 为为 D 的的外点外点; 若对点若对点 P 的任一邻域的任一邻域 既含既含 D中的内点也含中的内点也含 D的的则称则称 P 为为 D 的的边界点边界点 . .外点外点 ,(2) 开区域和闭区域开区域和闭区域 若点集若点集 D 的点都是的点都是内点内点，则称，则称 D 为为开集开集； D 的边界点的全体称为的边界点的全体称为 D 的的边界边界, 记作记作 D ;边界点可能属于边界点可能属于D,D,也可能不属于也可能不属于D .D . 开区域连同它的边界一起称为开区域连同它的边界一起称为闭区域闭区域. . 连通的开集称为连通的开集称为开区域开区域;例如，例如，在平面上在平面上开区域开区域闭区域闭区域 若集若集 D 中任意两点都可用一完全属于中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连的折线相连 ,则称则称 D 是是连通的连通的 ; 点集点集 是开集，是开集，但非开区域但非开区域 .o 对区域对区域 D , 若存在正数若存在正数 R , 使得使得 则称则称 D 为为有界区域有界区域 , 否则称为否则称为无界区域无界区域.
