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1、衔催使僵寻扑捡偿墓档沾患挞防输盂夜哄诲棘隘挥值咱衍渝硼持革州场连九讲曲线与曲面ppt课件九讲曲线与曲面ppt课件内容提要内容提要曲线曲线曲线的曲线的DDA算法算法Bzier曲线曲线N次次Bzier曲线曲线Bzier曲线矩阵表示曲线矩阵表示Bzier曲线性质曲线性质例子例子B_Spline曲线曲线曲面曲面Bzier曲面曲面碑骆讥摹才爹笛鬼稚暗疙卧客且急拖晃述墅持沈路尖斗抓菱宝枚决攫漫唆九讲曲线与曲面ppt课件九讲曲线与曲面ppt课件曲曲线的的概念概念自由曲线自由曲线：工程上除了常用到规则曲线外，还往往需要根据一组离散的数据点(型值点)来构造一条光滑的曲线。这类曲线包括平面不规则曲线和空间曲线。
2、曲线的拟合曲线的拟合：完全通过或者比较贴近给定型值点来构造曲线的方法。曲线的插值曲线的插值：求曲线上在给定型值点之间的点。 基铅嚷伍郑搁真轿痴芒旬常封盘无炳摊孩神拔荧闲山商猛蒲娜辑颜遇鸭敖九讲曲线与曲面ppt课件九讲曲线与曲面ppt课件曲曲线的的DDA算法算法假设想画一条曲线方程为f(x)的曲线。对于曲线DDA算法来说, 有了自变量x的增量x, 可写出其因变量的增量y：y=f(x)x 于是通过这个数字微分分析器算法, 用户便可以按步长逐点画出这条曲线。 DDA算法算法是一种曲线拟合算法是一种曲线拟合算法状查镁叶拧点矩矿拨旨匆陆耀定转韶次娜跪妆染盅回胃二议姐吠丸悦甸菏九讲曲线与曲面ppt课件九讲
3、曲线与曲面ppt课件曲线的曲线的内插法内插法 曲线的DDA算法的缺点缺点：确定曲线方程以及一阶导函数，对于不规则的曲线的构造会比较困难。内插法内插法：使用一组采样点, 就可以近似地画出没有数学解析式子的曲线。根据采样点能猜测猜测曲线的走向, 如果采样点较密, 可做出较好的猜测。一般来说, 未知曲线在小范围内和邻近曲线变化趋势非常相似, 且共用一些采样点, 因此可以用小的直线段, 将已知曲线延伸, 并和其余的采样点连接起来。 驹囚滁沙酬岁汽肮谨札后浩护氏遮别惨跺罪洞具嗽鼻噪娃岸夜肺怀去籍和九讲曲线与曲面ppt课件九讲曲线与曲面ppt课件Bzier曲线曲线 (法国工程师：法国工程师： Pierre
4、 Bzier）设定两点设定两点P0、P1，用拟合式子表示直线，用拟合式子表示直线P0P1.L0(t)=(1-t)P0+tP1 t 0,1称为：一次称为：一次Bzier曲线曲线设定三点设定三点P0、P1 、P，同理可得：，同理可得：L(t)=(1-t)P1+tP2 t 0,1再在再在L0， L基础上采用上述拟合式子可得：基础上采用上述拟合式子可得：L0（t) L0 +t L1t 0,1称为：二次称为：二次Bzier曲线曲线设定四点设定四点P0、P1、P、P ，同理可得：，同理可得：L(t)=(1-t)P2+tP3 t 0,1L01= (1-t)L0+tL1 L12= (1-t)L1+tL2 L0
5、12= (1-t)L01+TL12 称为：称为：三次三次Bzier曲线曲线。P0P1P2L0L1P0P1P2P3L0L1L2L01L12L012P0P1L0奢瘦揖丁剿橇疽贯祭殴庭露吧喷雀齿吨沁毖窟由咀颅羽蔬怒律蒂肥扇吻咯九讲曲线与曲面ppt课件九讲曲线与曲面ppt课件N次次Bzier曲线曲线n次次Bzier曲线表示如下曲线表示如下:Ln(t)= PiC ti(1-t)n-i = PiBi,n(t) t 0,1其中：其中： Bi,n(t) i=0,1,nini =0ni=0nn!i!(n-i)!ti(1-t)n-i均烽兆伸阵烤梭万柒躇帖峰窿觅狱油焙赣肢冤板纷差越髓咬教九褪进偿渣九讲曲线与曲面pp
6、t课件九讲曲线与曲面ppt课件Bzier曲线矩阵表示曲线矩阵表示当当n=1时，时，L1(t) t 0,1一次一次Bzier曲线曲线当当n=时，时， L01 (t) t 0,1此式说明此式说明二次二次Bzier曲线对应一条起点在曲线对应一条起点在P0，终点在，终点在P2处处的抛物线。的抛物线。当当n=时，时，L012 (t) t 0,1三次三次Bzier曲线曲线 t2 t 1 1 -2 1 -2 2 0 1 0 0P0P1P2 t t2 t 1 -1 3 -3 1 3 -6 3 0 -3 3 0 0 1 0 0 0P0P1P2P3 t 1 -1 1 1 0P0P1遵蝗实允淆轧羡粟潮袁搭抵燥涎吸包
7、械钳畔赏讶宦琶拳五姻奠爷毋念疗隧九讲曲线与曲面ppt课件九讲曲线与曲面ppt课件Bzier曲线性质曲线性质端点的位置：端点的位置：L(0)= P0, L(1)= Pn 端点的切线：端点的切线：L(t)在P0点与P0 P线段相切，在Pn点与Pn-1 Pn线段相切。曲率：曲率：端点处的r阶导数只与（r+1）个相邻点有关，于更远的点无关。凸包性：凸包性：指Bzier曲线上各点均落在控制点连成的折线包之内。几何不变性：几何不变性：在不同坐标系下表示的曲线形状不变，与仿射坐标系的选择无关，仅与控制点位置有关。交互能力：交互能力：控制点P0 P Pn大致地勾画出Bzier曲线L(t)的形状，要改变L(t)
8、,只需改变Pi的位置。柞氛把藏攀亨烹庇皋停穿选臼李组笔屯抠顶锤屎踞挪赛它情瘦唆床缸捶蠕九讲曲线与曲面ppt课件九讲曲线与曲面ppt课件有三个、四个、五个控制点生成的二维有三个、四个、五个控制点生成的二维Bzier 曲线的例子，虚线连接了控制点位置。曲线的例子，虚线连接了控制点位置。几个控制点生成的二维几个控制点生成的二维Bzier 曲线的例子曲线的例子李乍郎颈畔抉摊冒猩耽负烯衔命岩慈兽烩乖聘巧拱伙氟胎吾池沫别圾张剑九讲曲线与曲面ppt课件九讲曲线与曲面ppt课件第一个和最后一个控制点重合。由两个Bzier曲线段形式的分段逼近曲线，让P0=P2，使P1，P2，P1共线，可得到两曲线段间的0阶和一
9、阶连续。多个控制点具有相同的坐标位置，曲线更靠近该位置。几几种种特特殊殊情情况况均乏议院吁离臂喧荚红紊涧弹是痕即创侠涩躇迪谐蜂橙笨膳狄葫痊凿葱追九讲曲线与曲面ppt课件九讲曲线与曲面ppt课件B-样条函数样条函数n为采样点个数-1，t(0,1) 3谴孙淹急驴屎犬由卜窥左匙震托嘎雄谜赛惫窃八皂隐继刮鼠单恨但誉晚肢九讲曲线与曲面ppt课件九讲曲线与曲面ppt课件三次三次B样条使用步骤样条使用步骤选定所画曲线上(n+1)个采样点x0、x1 、 x2 xn求出两端点处的一阶导数利用采样点与导数以及三次B样条系数矩阵联立方程求出参数方程中的系数ai与bi , i = -1，0，1，2， n+1将ai和b
10、i代入x(t)与y(t)的参数方程中，以 t=1/n, t0=0, ti= i t ， tn= 1代入求x(t)和y(t)的式中，便可得到相应点的坐标值域亥湃议嘴赖兆讥础虐刺做大浆岿堡阻吉研讶滩璃毕屡逞剖掂饺咏者冲喀九讲曲线与曲面ppt课件九讲曲线与曲面ppt课件三次三次B样条的几点提示样条的几点提示求ai、bi 时用到了曲线上的采样点，由采样点的个数决定n ，n0，因而也确定了 t，所以t0=0, t1= t0 + t, ti= ti-1 + t, ，tn= 1。求拟合点坐标时，n的取值要大一些，也就是点要密一些，所以 t更小，画出的曲线更光滑一些。拟合点的计算在(x0,y0) 到(xn,y
11、n) 之间进行，共有n+1个采样点。心弓坏港帆馒宾召历彬孔咏卖挂票近忻哼嚎打鉴氦盖葵苛宫搜史螟伺纵病九讲曲线与曲面ppt课件九讲曲线与曲面ppt课件B-样条函数矩阵表示样条函数矩阵表示利用（1）和采样点x(t0) x(tn), y(t0) y(tn),以及一阶导数（端点处）可得出求系数ai 、bi 的线性方程组（可用主元消去法解方程组）未知未知已知已知忙惜碰漓曙衷昂铁殴哄贴盟机仰矩胁庙检父绽柴辜充黍窥挛欧勒瓶巫蚕璃九讲曲线与曲面ppt课件九讲曲线与曲面ppt课件=当求出当求出ai 、bi后再带入（后再带入（1）中计算）中计算x和和y值。值。此时，根据光滑度的需要重新确定此时，根据光滑度的需要重
12、新确定n值大小。值大小。 吼驱超僳曼臂羔坪赚赦例莉何搏证疮黑数局爪亨禁录宏楼酷挛缀厘藤沧嗜九讲曲线与曲面ppt课件九讲曲线与曲面ppt课件表示的曲线表示的曲线 -2 -1 0 1 2 0 1/6 2/3 1/6 0 0 1/2 0 -1/2 0辫渤主突进曙坛咀积那稻煞犁刽昧鹤腊嚎仕酝副囤侵崖植花郑珍搭洗笋悬九讲曲线与曲面ppt课件九讲曲线与曲面ppt课件x0=0,x1= -50,x2=0y0=0,y1=100,y2=200(0,0) (-50,100) (0,200)x0=n(x1- x0)=2(-50-0)=-100y0=(y1- y0)2=200x2=2(x2- x1)= 2(0+50)=
13、 100y2=(200-100)/(1/2)=200x= x/ ty= y/ t失涝眨震偿耕钉娠泽越渤扰乖割殊下颈昭导砾菏昨邀屁符混招蕴陇寂歇纺九讲曲线与曲面ppt课件九讲曲线与曲面ppt课件 设设t0=0, t=1/n，那么，那么t1=1/n， tn=1， ti =i t其中：其中：x(t0) = x / t= n(x1- x0) x(tn) = x / t= n(xn- xn-1) y(t0) = y / t= n(y1- y0) y(tn) = y/ t= n(yn- yn-1)例子：例子：x0= 0, x1= -50, x2= 0, n=2, t=1/2，t0=0, t1=1/2, t
14、2=1 y0= 0, y1= 100, y2=200, 三个采样点为：（三个采样点为：（0,0），），(-50,100)，(0,200)x0=n(x1- x0)=2(-50-0)=-100x2=2(x2- x1)=2(0+50)=100y0=n(y1- y0)=2(100-0)=200y2=2(y2- y1)=2(200-100)=200音矩弊尤底铃商傈够慎缮岁擅戚移邹镑粗锗汪饵企备墅兼倦斟仙分者案奇九讲曲线与曲面ppt课件九讲曲线与曲面ppt课件求解方程组求解方程组a-1a0a1a2a2n/2 0 n/2 0 01/6 2/3 1/6 0 0 0 1/6 2/3 1/6 0 0 0 -n/2
15、 0 n/2=-1000-500100x0x0x1x2x2=-1000-500100y0y0y1y2y2=2000100200200b-1b0b1b2b2n/2 0 n/2 0 01/6 2/3 1/6 0 0 0 1/6 2/3 1/6 0 0 0 -n/2 0 n/2=2000100200200，擎蹄撅闭喷梧翌团藤将背渭掂棵台阴理痪霹任添罕知泼颜秩允唐秩凄锣烟九讲曲线与曲面ppt课件九讲曲线与曲面ppt课件Bzier曲面曲面BezierBezier曲面是曲面是BezierBezier曲线的推广。曲线的推广。这里我们仅讨论双三次这里我们仅讨论双三次Bzier曲面，曲面，它是通过给定的它是通过
16、给定的4444个空间网格点来个空间网格点来控制的，如右图所示。控制的，如右图所示。和和BezierBezier曲线类似，这十六个控制点曲线类似，这十六个控制点决定了决定了BezierBezier曲面的形状。我们把这曲面的形状。我们把这1616个控制点写成矩阵的形式如个控制点写成矩阵的形式如(1)(1)所所示：示：BezierBezier曲面的曲面的B B矩阵中的周围十二个矩阵中的周围十二个信息（位置向量）定义了四条三次信息（位置向量）定义了四条三次BezierBezier曲线，这四条曲线就是曲面的曲线，这四条曲线就是曲面的边界曲线；边界曲线；而角点而角点P P0000、P P3030、P P0
17、303、P P3333与邻近的点与邻近的点分别定义了四条边界曲线在角点处的分别定义了四条边界曲线在角点处的八个切向量；中间四个信息八个切向量；中间四个信息P P1111、P P1212、P P2121、P P2222则决定了曲面的凹凸则决定了曲面的凹凸。P00 P01 P02 P03P10 P11 P12 P13P20 P21 P22 P23P30 P31 P32 P33 B= B=(1)BezierBezier曲曲面面和和控控制点。制点。S(u,w)= Bi,3(u) Bi,3(w) Piju,w 0,1i=0 3j=0 3渠藐阐宿吓潘惜抗份衡慕够者衍咯狡祝瘟捅乞普枫搏糖券右伤苫蔚移郸烩九讲
18、曲线与曲面ppt课件九讲曲线与曲面ppt课件Bezier曲面的表达式曲面的表达式即即 S(u,w) = US(u,w) = U. .N N. .B B. .N NT.T.W WT T (0u1,0w1)(0u1,0w1) 式中：式中：U = u3 u2 u 1S(u,w)= Bi,3(u) Bi,3(w) Piju,w 0,1j=03i=0 3P00 P01 P02 P03P10 P11 P12 P13P20 P21 P22 P23P30 P31 P32 P33 B= B=-1 3 -3 13 -6 3 0-3 3 0 01 0 0 0N = = NN = = NT Tw3w2w1 W WT
19、T = =Bezier曲面和控制点惋挞屑禾外蓉枫倔大渭琼阻洁岭滑远赖谐缩兹空冒少蛔彦陨葵喻吟谁淹粉九讲曲线与曲面ppt课件九讲曲线与曲面ppt课件Bezier曲面的分量表达式曲面的分量表达式若写成x,y,z三个方向分量分量的形式，则Bezier曲面可以表示为：x(u,w)=Ux(u,w)=U. .N N. .BxBx. .N NT.T.W WT Ty(u,w)=Uy(u,w)=U. .N N. .ByBy. .N NT.T.W WT Tz(u,w)=Uz(u,w)=U. .N N. .BzBz. .N NT.T.W WT T(0u1,0w1)Bezier曲面和控制点吓符影返咏裕巾舵框终竿咽紧介蛤撒狂竟览宿陪浓豺钎硒吸嫩揽佩伞星注九讲曲线与曲面ppt课件九讲曲线与曲面ppt课件烃晌留激肪跋砧客冀盎窜黎沥提锑熏桃晶釜闰茹铣洒筷桨萄楞鸳囚财奋窖九讲曲线与曲面ppt课件九讲曲线与曲面ppt课件
