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1、1直 线 的倾斜角 斜 率 2问题情境问题情境直线直线最简单的几何图形最简单的几何图形飞逝的流星沿不同飞逝的流星沿不同的方向运动的方向运动在空中形成美丽的直线在空中形成美丽的直线3问题情境问题情境确定直线的要素确定直线的要素问题问题1：(1) _确定一条直线确定一条直线.两点两点(2) (2) 过一个点有过一个点有_条直线条直线. .无数条无数条 确定直线位置的要素除了确定直线位置的要素除了点点之外之外,还有还有直线的直线的方向方向,也就是直线的也就是直线的倾斜程度倾斜程度.xyoyxo问题问题1：如何确定一条直线在直角坐标：如何确定一条直线在直角坐标系的位置呢？系的位置呢？两点或一点和方向两
2、点或一点和方向问题问题2：如果已知一点还需附加什么条件，：如果已知一点还需附加什么条件，才能确定直线？才能确定直线？一点和方向一点和方向问题问题3：如何表示方向？：如何表示方向？用角用角问题引入解决本节第一问题问题引入解决本节第一问题一、直线的倾斜角1、直线倾斜角的定义： 当直线 L 与X轴相交时，我们取X轴作为基准，X轴正向与直线L 向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角倾斜角注意： (1)直线向上方向； (2)轴的正方向。x0y例例1.1.下列四图中，表示直线的倾斜角的是下列四图中，表示直线的倾斜角的是( )练习巩固倾斜角的概念练习巩固倾斜角的概念： ABCDA xyol l1 1l l2
3、2l l3 3想一想想一想例例2.看看这三条直线，它们倾斜角的大小看看这三条直线，它们倾斜角的大小关系是什么？设关系是什么？设 、 、分别为分别为 、 、poyxypoxpoyxpoyx规定：当直线和规定：当直线和x轴平行或重合时，轴平行或重合时，它的倾斜角为它的倾斜角为02 2、直线的倾斜角范围的探索直线的倾斜角范围的探索由此我们得到直线倾斜角由此我们得到直线倾斜角的范围为：的范围为：)180,0oo a a想一想想一想你认为下列说法对吗？你认为下列说法对吗？1、所有的直线都有唯一确定的倾斜、所有的直线都有唯一确定的倾斜 角与它对应。角与它对应。2、每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线。、每一
4、个倾斜角都对应于唯一的一条直线。对错3、直线倾斜角的意义直线倾斜角的意义 体现了直线对轴正方向的倾斜程度 在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角。 倾斜角相同能确定一条直线吗？相同倾斜角可作无数互相平行的直线11问题情境问题情境楼梯的倾斜程度用楼梯的倾斜程度用坡度坡度来刻画来刻画1.2m3m3m2m坡度坡度=高度高度宽度宽度坡度越大，楼梯越陡坡度越大，楼梯越陡12级宽高级建构数学直线倾斜程度的刻画直线倾斜程度的刻画高度高度宽度宽度直线直线xyoPQM直线的倾斜程度直线的倾斜程度=类比思想类比思想3、探究：由两点确定的直线的斜率如图，当为锐角时， 能不能构造一能不能构造一个直角三角形
5、个直角三角形去求？去求？锐角 如图，当为钝角是， 钝角 xyo(3)yox(4)1、当 的位置对调时， 值又如何呢？ 当直线平行于当直线平行于y 轴，或与轴，或与y 轴重合时，上述斜率公式还适用轴重合时，上述斜率公式还适用吗？为什么？吗？为什么？已知直线上两点已知直线上两点，运用上述公式计，运用上述公式计算直线算直线斜率时，与斜率时，与两点坐标的顺序有关吗？两点坐标的顺序有关吗？16数学应用例例1 1：如图，直线如图，直线 都经过点都经过点 ，又，又 分分别经过点别经过点 ,讨论讨论斜率的是否存在斜率的是否存在,如存在如存在,求出直线的斜率求出直线的斜率.xyol1l2l3l4解解: 直线直线
6、l1的斜率的斜率k1=k2=k3=直线直线l4的斜率不存在的斜率不存在直线直线l2的斜率的斜率直线直线l3的斜率的斜率PQ1Q2Q3Q4直线斜率的计算直线斜率的计算K K1 1=1=1K K2 2=-1=-1K K3 3=0=0斜率不存在斜率不存在17纵坐标的纵坐标的增量增量xyo已知两点已知两点 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，如果x1x2，则直线则直线 PQ的的斜率斜率 为：为：k 建构数学直线斜率的定义直线斜率的定义横坐标的横坐标的增量增量请同学们任意给出两点的坐标请同学们任意给出两点的坐标,并求过这两点的直线的斜率并求过这两点的直线的斜率.形形数数 2 3 2o 2-yx2、直线的
7、斜率定义：定义：直线倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。斜率直线倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。斜率通常用通常用k表示，即：表示，即：倾斜角倾斜角不是不是9090的直线都有斜率，并且倾斜角不同，直线的斜率也不的直线都有斜率，并且倾斜角不同，直线的斜率也不同因此，可以用斜率表示直线的倾斜程度同因此，可以用斜率表示直线的倾斜程度19问题问题3：对于一条与对于一条与x x轴不垂直的定直线轴不垂直的定直线而言而言, ,直线的斜率是定值吗直线的斜率是定值吗? ? 是定值是定值,定直线上任意两点确定直线上任意两点确定的斜率总相等定的斜率总相等从上可以看出直线的倾斜角与斜率之间的关系从上可以看出直线的倾斜角与斜
8、率之间的关系:直线直线形状形状平行于平行于x轴轴第一象限第一象限垂直垂直于于x轴轴第二象限第二象限的的大小大小的的范围范围的的增减性增减性k=0无无k0递增递增不存在不存在无无k0k0、k0k2m2时，时，k0k0当当 m2m2时，时，k0k0xpyO（1）.kk3k13.3.直线的倾斜角为直线的倾斜角为，则直线的斜率则直线的斜率为为tantan？4.4.任意直线有倾斜角，则任意直线都任意直线有倾斜角，则任意直线都有斜率？有斜率？28数学应用如果直线如果直线l上一点上一点P P沿沿x轴方向向右平移轴方向向右平移2 2个单个单位位, ,再沿再沿y轴方向向上平移轴方向向上平移4 4个单位后仍在直个
9、单位后仍在直线线l上上, ,那么该直线的斜率为多少那么该直线的斜率为多少? ?问题问题6：斜率为斜率为2问题问题7：直线直线l的斜率为的斜率为2,2,将将l向左平移向左平移1 1个单位得到个单位得到直线直线l1, ,则则l1的斜率为多少的斜率为多少? ?斜率为斜率为2问题问题8：平行直线的斜率之间有怎样的关系平行直线的斜率之间有怎样的关系? ?斜率相等斜率相等或斜率都不存在或斜率都不存在29 斜率为斜率为2的直线，经过点的直线，经过点(3,5),(a,7),(3,5),(a,7),(-1(-1，b)b)三点，则三点，则a,ba,b的值为的值为( )( )A A、a=4,b=0a=4,b=0B
10、B、a=-4,b=-3a=-4,b=-3C C、a=4,b=-3a=4,b=-3D D、a=-4,b=3a=-4,b=3C C30 已知三点已知三点A(-3,-3),B(-1,1),C(2,7)A(-3,-3),B(-1,1),C(2,7),求求K KABAB，K KBCBCK KABAB=2=2K KBCBC=2=2问题问题9： 如果如果K KABAB=K=KBC,BC,那么那么A A、B B、C C三点有怎样的关系？三点有怎样的关系？A A、B B、C C三点共线三点共线31判断下列三点是否在同一直线上判断下列三点是否在同一直线上 (1) A(0,2), B(2,5), C(3,7) (2
11、) A(-1,4), B(2,1), C(-2,5) 如果三点如果三点A(1,1)A(1,1)、B(3,5)B(3,5)、C(-C(-1,a)1,a)在一条直线上在一条直线上, ,求求a a的值的值(a=-3)(a=-3)32 求过点求过点M(0,2)M(0,2)和和N(2,3mN(2,3m2 2+12m+13)(m+12m+13)(m R)R)的直线的直线l的斜率的斜率k的取值范围。的取值范围。问题问题10：直线斜率的大小与直线的倾斜程直线斜率的大小与直线的倾斜程度有什么联系？度有什么联系？(课后研究课后研究)解解: 由斜率公式得直线由斜率公式得直线l l 的斜率的斜率333.平面解析几何的
12、本质是平面解析几何的本质是 用代数方法用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想。合的重要数学思想。1.两个概念两个概念直线的斜率、倾斜角；直线的斜率、倾斜角；2.两个问题两个问题- （1）已知直线上两点如何求斜率；）已知直线上两点如何求斜率；（2）已知一点和斜率如何画出直线。）已知一点和斜率如何画出直线。34难点展示难点展示：例题一：直线例题一：直线 l 过点过点M(-1,1)M(-1,1)且与以且与以P(-P(-2,2)Q(3,3)2,2)Q(3,3)为两端点的线段为两端点的线段PQPQ有公共点有公共点, 求直线求直线 l 的斜率的取值范围。
13、的斜率的取值范围。例例2。已知直线的斜率。已知直线的斜率K的变化范围为（的变化范围为（1，1，求直线的倾斜角求直线的倾斜角 的取值范围。的取值范围。分析：分析：因为直线的斜率正负不同，直线的倾斜角范围也不因为直线的斜率正负不同，直线的倾斜角范围也不同，因此，应分斜率为负值和非负值两种情况讨论。同，因此，应分斜率为负值和非负值两种情况讨论。当当K（1，0）时）时,当当K0，1时，时，解：解：直线斜率直线斜率K的变化范围（的变化范围（1，1=（1，0）0，1，所以直线的倾斜角范围为所以直线的倾斜角范围为练习练习直线 的倾斜角 =30，直线 ， 求 , 的斜率。解： 的斜率为 的倾斜角为 的斜率为o
14、xy练习练习解解:推导二推导二:练习：已知直线已知直线l的一个方向向量的一个方向向量解：解：，求，求直线的斜率。直线的斜率。则直线的斜率为则直线的斜率为 :例例1如图如图，已知，已知，求直，求直线线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角还是钝角解：直线解：直线AB的斜率的斜率直线直线BC的斜率的斜率直线直线CA的斜率的斜率由由及及知，直线知，直线AB 与与CA的倾斜角均为的倾斜角均为锐角；由锐角；由知，直线知，直线BC的倾斜角为钝角的倾斜角为钝角求求经过已知两点的直线的斜率和倾斜角：经过已知两点的直线的斜率和倾斜角：方法：先用经过两点的
15、直线的斜率公式求方法：先用经过两点的直线的斜率公式求斜率，斜率，再求倾斜角。再求倾斜角。由由及及知，直线知，直线AB 与与CA的倾斜角均为的倾斜角均为锐角；由锐角；由知，直线知，直线BC的倾斜角为钝角的倾斜角为钝角由由及及知，直线知，直线AB 与与CA的倾斜角均为的倾斜角均为锐角；由锐角；由知，直线知，直线BC的倾斜角为钝角的倾斜角为钝角例例2解解:已知点已知点P(0,-2),A(-1,2),B(2,3)P(0,-2),A(-1,2),B(2,3)经过点经过点P P的直线的直线l l与线段与线段ABAB有公共点时有公共点时, ,求直线求直线l l的斜率的斜率k k的取值范的取值范围围. .Ox
16、y.PAB已知三点已知三点A(2,3),B(A(2,3),B(a a, 4),C(8, , 4),C(8, a a) )三三点共线点共线, ,求求a a 的值的值. .直线直线L L的的倾斜角是连接（倾斜角是连接（3 3，-5-5），（），（0 0，-9-9）两点的直线的倾斜角的两倍，）两点的直线的倾斜角的两倍，求直线求直线L L的斜率。的斜率。已已知知直直线线和和的的斜斜率率分分别别是是和和，求求它它们们的的倾倾斜斜角及确定两条直线的位置关系。角及确定两条直线的位置关系。由图可知由图可知解解:YOX1 1、直线的倾斜角的定义、直线的倾斜角的定义2 2、直线的斜率的定义、直线的斜率的定义3 3、两点间斜率公式、两点间斜率公式当直线当直线l 与与x轴相交时，轴相交时，我们取我们取x轴作为基准，轴作为基准，x轴正向与直线轴正向与直线l 向上向上方向之间所成的角方向之间所成的角 叫做叫做直线直线l 的倾斜角的倾斜角一条直线的倾斜角的一条直线的倾斜角的正切值叫做这条正切值叫做这条直线的斜率直线的斜率.
