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1、1冯冯 西西 桥桥清华大学工程力学系清华大学工程力学系2007.12.19第十章第十章 能量原理能量原理Energy Methods2能量原理Chapter 10 泛函的极值与变分 能量方法的一些基本概念 可能功原理和功的互等定理 虚功原理和余虚功原理 最小势能原理和最小余能原理 弹性力学变分问题的欧拉方程 弹性力学变分问题的直接解法3变分与变分法Appendix Bp 泛函极值问题p 函数的微分与变分p 复合函数的变分p 泛函的变分p 变分法 泛函的极值与变分泛函的极值与变分4Appendix B.1泛函极值问题 求条件极值的拉格朗日乘子法求条件极值的拉格朗日乘子法条件极值问题：求函数 在满
2、足条件 下的极值。引入函数：引入函数： 驻值条件：驻值条件： 5Appendix B.1泛函极值问题如果变量如果变量 J 依赖于在一定约束条件下函数关系可以任依赖于在一定约束条件下函数关系可以任意变化的函数意变化的函数 y(x)，此，此y(x)称为称为自变函数自变函数，而依赖于，而依赖于自变函数的变量称为自变函数的变量称为泛函泛函。 泛函泛函泛函：泛函：函数：函数：6Appendix B.1泛函极值问题例例1 1 最短连线问题 连接连接 A，B 两点的曲线两点的曲线长度长度 L 是随曲线形状，是随曲线形状，即曲线方程即曲线方程 y = y(x) 而而变的，它是自变函数变的，它是自变函数 y(x
3、) 的泛函：的泛函：8Appendix B.1泛函极值问题例例2 悬臂梁问题悬臂梁问题 悬臂梁悬臂梁-砝码系统的总势能砝码系统的总势能是悬臂梁挠度曲线是悬臂梁挠度曲线 y(x) 的泛函。的泛函。 可以证明，使总势能可以证明，使总势能 取极小值的挠度曲线就取极小值的挠度曲线就是悬臂梁处于平衡状态时的实际挠度曲线。是悬臂梁处于平衡状态时的实际挠度曲线。9Appendix B.1泛函极值问题左端受到左端受到约束边界条件约束边界条件：右端是右端是自由边界条件。自由边界条件。在泛函在泛函 中容许出现与自变函数在无约中容许出现与自变函数在无约 束端处的束端处的边界值边界值y(l)有关的项，称为有关的项，称
4、为边界项边界项。 10Appendix B.1泛函极值问题当自变函数当自变函数 y(x) 改变时，泛函的值也将随之改变。改变时，泛函的值也将随之改变。定义定义：若泛函：若泛函 在在 状态下的值，状态下的值，比在比在 的邻域的邻域 内任意状态内任意状态 y(x) 下下的值都小（或都大），的值都小（或都大）， 即即 则称泛函则称泛函 在状态在状态 下取下取极小值极小值（或（或极大值极大值），统称取，统称取极值极值。或11Appendix B.2函数的微分和变分 微分：微分： 函数的微分和变分函数的微分和变分 变分：变分：14Appendix B.2函数的微分和变分函数函数 y(x) 的一阶导数的一
5、阶导数 仍是自变量仍是自变量 x 的函数。于的函数。于是是 的变分为的变分为15Appendix B.2函数的微分和变分 复合函数复合函数 复合函数的变分复合函数的变分 微分：微分：17Appendix B.2函数的微分和变分 复合函数的变分复合函数的变分 微分：微分： 变分：变分：18Appendix B.3复合函数的变分又 高阶变分：高阶变分：19Appendix B.3复合函数的变分由于变分由于变分y可以独立选择，与自变量可以独立选择，与自变量y及其各阶导数无及其各阶导数无关，所以变分关，所以变分y（及其各阶导数）对自变量（及其各阶导数）对自变量y（及其各（及其各阶导数阶导数 的偏导数均
6、为零，即的偏导数均为零，即作为自变函数的增量，作为自变函数的增量，y（及其各阶导数）的高阶变（及其各阶导数）的高阶变分均为零，即分均为零，即20Appendix B.4泛函的变分泛函和复合函数的泛函和复合函数的区别区别是：复合函数依赖于自变量是：复合函数依赖于自变量x，而泛函则依赖于自变函数，而泛函则依赖于自变函数 y(x)。当。当x 给定后，立即给定后，立即能算出复合函数能算出复合函数F的一个相应值，但算不出泛函的一个相应值，但算不出泛函 J 的的值来，因为值来，因为J 和定义域内的所有（而不是一个）和定义域内的所有（而不是一个）x处处的函数值的函数值 F 有关。有关。 泛函的变分泛函的变分
7、21Appendix B.4泛函的变分泛函泛函J的各阶变分：的各阶变分：由变分由变分y引起的泛函引起的泛函 J 的增量为：的增量为：22Appendix B.5变分法变分法的基本问题变分法的基本问题：在满足约束条件的容许函数中，：在满足约束条件的容许函数中，求能使泛函求能使泛函 J(y(x) 取极值的自变函数取极值的自变函数 ，若，若 其中其中 ； y(x) 为为 邻域内的任意邻域内的任意容许函数容许函数。23Appendix B.5变分法泛函极值的必要条件（泛函极值的必要条件（驻值条件驻值条件）为泛函的一阶变分）为泛函的一阶变分为零，即为零，即泛函的极值的充分条件还需考虑二阶变分，即泛函的极
8、值的充分条件还需考虑二阶变分，即若若 ，则还需看高阶变分的性质。，则还需看高阶变分的性质。24Appendix B.5变分法p 变分法的基本预备定理变分法的基本预备定理 设设 (x) 是闭区间是闭区间 上的连续函数，上的连续函数，y 是该区是该区间上自变函数间上自变函数 y(x) 的变分，如果的变分，如果 y 在满足约束条件在满足约束条件的前提下任意变化时，下式始终成立的前提下任意变化时，下式始终成立 则被积函数则被积函数(x)在区间在区间 上处处为零，即上处处为零，即25 一元自变函数的泛函驻值问题在域内在域内y(x)应具有直到应具有直到四阶四阶的的连续导数连续导数。在在 x=a 处为约束边
9、界，指定：处为约束边界，指定：在在 x=b 处为自由边界。处为自由边界。Appendix B.6欧拉方程和自然边界条件26Appendix B.6欧拉方程和自然边界条件根据两端的边界条件，变分根据两端的边界条件，变分y的边界值应满足：的边界值应满足：泛函泛函的驻值条件为：的驻值条件为：27Appendix B.6欧拉方程和自然边界条件自然边界条件自然边界条件欧拉微分方程欧拉微分方程28Appendix B.6欧拉方程和自然边界条件若令若令则化为悬臂梁问题的泛函问题。相应的欧拉方程为则化为悬臂梁问题的泛函问题。相应的欧拉方程为即为材料力学中梁的即为材料力学中梁的挠度微分方程挠度微分方程。即29A
10、ppendix B.6欧拉方程和自然边界条件自然边界条件成：自然边界条件成：这就是自由端处这就是自由端处剪力和弯矩的力边界条件剪力和弯矩的力边界条件。此外，基本边界条。此外，基本边界条件就是固支端的位移边界条件：件就是固支端的位移边界条件：这时欧拉方程的解就是图中所示的悬臂梁的实际挠度曲线。这时欧拉方程的解就是图中所示的悬臂梁的实际挠度曲线。30能量原理Chapter 10 泛函的极值与变分 变分提法的基本概念和术语 可能功原理，功的互等定理 虚功原理和余虚功原理 最小势能原理和最小余能原理 弹性力学变分问题的欧拉方程 弹性力学变分问题的直接解法31基本概念和术语Chapter 10.1变分方
11、法（能量法）变分方法（能量法）：u考虑整个系统的能量关系，建立考虑整个系统的能量关系，建立泛函变分方程泛函变分方程u在给定约束条件下，求在给定约束条件下，求泛函极值泛函极值的变分问题的变分问题 弹性力学的微分提法和变分提法弹性力学的微分提法和变分提法微分方法微分方法：u从微元入手，建立基本微分方程从微元入手，建立基本微分方程u在给定边界条件下求解微分方程的边值问题在给定边界条件下求解微分方程的边值问题32基本概念和术语Chapter 10.1p 变分问题的两种解法 欧拉法欧拉法：将变分方程转化为微分方程：将变分方程转化为微分方程（称为欧拉方程）进行求解。（称为欧拉方程）进行求解。 直接法直接法
12、：直接求解变分方程。：直接求解变分方程。33基本概念和术语Chapter 10.1 真实状态与可能状态 弹性力学的三类基本关系弹性力学的三类基本关系a) 变形关系变形关系：几何方程和位移边界条件：几何方程和位移边界条件b) 静力关系静力关系：包括平衡方程和力边界条件。在静：包括平衡方程和力边界条件。在静力关系中只出现力学量，而与几何量无关。力关系中只出现力学量，而与几何量无关。c) 本构关系本构关系：把力学量和几何量联系起来。：把力学量和几何量联系起来。34基本概念和术语Chapter 10.1以前各章都致力于直接寻找同时满足弹性力学全部基以前各章都致力于直接寻找同时满足弹性力学全部基本关系的
13、本关系的真实状态真实状态。本章则分两步来处理：首先寻找满足部分基本关系的本章则分两步来处理：首先寻找满足部分基本关系的可能状态可能状态，然后再从可能状态中寻找满足全部基本，然后再从可能状态中寻找满足全部基本关系的真实状态。关系的真实状态。35基本概念和术语Chapter 10.1能量原理中的可能状态：能量原理中的可能状态：变形可能状态或运动可能状态变形可能状态或运动可能状态：满足变形关系，而：满足变形关系，而不管它是否满足静力关系和本构关系的任何变形状不管它是否满足静力关系和本构关系的任何变形状态。用右上角加态。用右上角加 (k) 来表示。来表示。 描述变形可能状态的基本量是变形可能位移描述变
14、形可能状态的基本量是变形可能位移 和变形可能应变和变形可能应变 。 36基本概念和术语Chapter 10.1经典能量原理中的可能状态有两类：经典能量原理中的可能状态有两类： n可能位移：应连续，且满足给定的可能位移：应连续，且满足给定的位移边界条件位移边界条件；n可能应变：和可能位移应满足可能应变：和可能位移应满足几何方程几何方程。n变形可能状态有无穷多个，其中只有一个能同时满变形可能状态有无穷多个，其中只有一个能同时满足弹性力学全部基本关系，它就是足弹性力学全部基本关系，它就是真实变形状态真实变形状态。n真实变形状态是由物体所受载荷引起的，变形可能真实变形状态是由物体所受载荷引起的，变形可
15、能状态则与给定载荷没有必然的因果关系。状态则与给定载荷没有必然的因果关系。37基本概念和术语Chapter 10.1虚位移：虚位移：从某一可能位移到相邻的另一可能位移的从某一可能位移到相邻的另一可能位移的微小位移变化微小位移变化 ，记作，记作38基本概念和术语Chapter 10.1静力可能状态：静力可能状态：满足静力关系（满足静力关系（平衡方程和给定的平衡方程和给定的力边界条件力边界条件），而不管它是否满足变形关系和本构），而不管它是否满足变形关系和本构关系的任何平衡状态。关系的任何平衡状态。n用右上角加用右上角加(s)的符号表示，如的符号表示，如n静力可能状态也有无穷多个，其中只有一个能同
16、时静力可能状态也有无穷多个，其中只有一个能同时满足弹性力学全部基本关系，它就是满足弹性力学全部基本关系，它就是真实状态真实状态。n虚应力虚应力：可能应力场的变分：可能应力场的变分41基本概念和术语Chapter 10.1 变形功、可能功与虚功广广广广义义义义力力力力：某某某某个个个个按按按按同同同同一一一一比比比比例例例例加加加加载载载载的的的的力力力力系系系系（如如如如：弯弯弯弯矩矩矩矩、扭矩）扭矩）扭矩）扭矩）广广广广义义义义位位位位移移移移：与与与与所所所所作作作作用用用用的的的的广广广广义义义义力力力力求求求求内内内内积积积积等等等等于于于于功功功功的的的的几几几几何何何何量（如：转角
17、、扭角）量（如：转角、扭角）量（如：转角、扭角）量（如：转角、扭角）42基本概念和术语Chapter 10.1 变变变变形形形形功功功功：载载载载荷荷荷荷在在在在其其其其本本本本身身身身所所所所引引引引起起起起的的的的物物物物体体体体准准准准静静静静态态态态弹弹弹弹性性性性变变变变形上所做的功。形上所做的功。形上所做的功。形上所做的功。 线弹性情况：线弹性情况：线弹性情况：线弹性情况： 可可可可能能能能功功功功和和和和虚虚虚虚功功功功：载载载载荷荷荷荷在在在在任任任任何何何何运运运运动动动动可可可可能能能能位位位位移移移移（或或或或虚虚虚虚位位位位移）上所做的功。移）上所做的功。移）上所做的功
18、。移）上所做的功。43载荷载荷载荷载荷 P P 在其本身所引起的在其本身所引起的在其本身所引起的在其本身所引起的 挠度挠度挠度挠度 w w 上所做的变形功为：上所做的变形功为：上所做的变形功为：上所做的变形功为：假设梁产生一个变形可能位移，在假设梁产生一个变形可能位移，在假设梁产生一个变形可能位移，在假设梁产生一个变形可能位移，在A A点出的挠度值为点出的挠度值为点出的挠度值为点出的挠度值为 ，则载荷，则载荷，则载荷，则载荷 P P 在可能挠度在可能挠度在可能挠度在可能挠度 上所做的可能功为：上所做的可能功为：上所做的可能功为：上所做的可能功为：基本概念和术语Chapter 10.1wA44基
19、本概念和术语Chapter 10.1 弹性应变能和弹性应变余能U 和和 Uc 分别是物体应变场和应力场的分别是物体应变场和应力场的单值泛函单值泛函，与，与变形历史无关。变形历史无关。45基本概念和术语Chapter 10.1 真实状态的真实状态的 W 和和 Wc 满足如下互余关系满足如下互余关系 应力应变关系：应力应变关系： 线弹性体：线弹性体：46总势能定义为：弹性体的总势能定义为：弹性体的应变能和载荷系统的外力应变能和载荷系统的外力势之和势之和 ，即，即 基本概念和术语Chapter 10.1 弹性系统的势能弹性系统的势能50基本概念和术语Chapter 10.1应变能 体力势 面力势 外
20、力势51总余势能定义为：弹性体总余势能定义为：弹性体的应变余能和支承系统的的应变余能和支承系统的余能之和余能之和 ，即，即 基本概念和术语Chapter 10.1 弹性系统的余能弹性系统的余能54能量原理Chapter 10 泛函的极值和变分 基本概念和术语 可能功原理，功的互等定理 虚功原理和余虚功原理 最小势能原理和最小余能原理 弹性力学变分问题的欧拉方程 弹性力学变分问题的直接解法55 可能功原理可能功原理 & 功的互等定理Chapter 10.2第一状态(s)第二状态(k)58可能功原理 & 功的互等定理Chapter 10.2考虑状态考虑状态( (s) )中的体力、面力和可能应力在状
21、态中的体力、面力和可能应力在状态( (k) )的的相应可能位移和可能应变上所做的功，分别为：相应可能位移和可能应变上所做的功，分别为：利用边界条件和高斯积分定理，把面力功利用边界条件和高斯积分定理，把面力功 Ap 改写成改写成59可能功原理 & 功的互等定理Chapter 10.2 可能功原理即：61可能功原理 & 功的互等定理Chapter 10.2uu 物理意义物理意义物理意义物理意义 外外外外力力力力与与与与内内内内力力力力构构构构成成成成自自自自平平平平衡衡衡衡力力力力系系系系，它它它它们们们们在在在在可可可可能能能能位位位位移移移移上上上上做做做做的总功为零的总功为零的总功为零的总功
22、为零uu 适用性适用性适用性适用性 静力可能状态和几何可能状态是完全独立的；静力可能状态和几何可能状态是完全独立的；静力可能状态和几何可能状态是完全独立的；静力可能状态和几何可能状态是完全独立的； 与本构关系无关，适用于任何连续介质与本构关系无关，适用于任何连续介质与本构关系无关，适用于任何连续介质与本构关系无关，适用于任何连续介质 可能应力和位移不要求是微小量，但要求可能应力和位移不要求是微小量，但要求可能应力和位移不要求是微小量，但要求可能应力和位移不要求是微小量，但要求62可能功原理 & 功的互等定理Chapter 10.2 功的互等定理（功的互等定理（Betti 互等互等定理）定理）把
23、可能功原理用于线弹性体就可导出把可能功原理用于线弹性体就可导出把可能功原理用于线弹性体就可导出把可能功原理用于线弹性体就可导出功的互等定理功的互等定理功的互等定理功的互等定理。第二状态(2)第一状态(1)64可能功原理 & 功的互等定理Chapter 10.2先把第一状态选作状态先把第一状态选作状态先把第一状态选作状态先把第一状态选作状态( (s s) )，第二状态选作状态，第二状态选作状态，第二状态选作状态，第二状态选作状态( (k k) )，则根据可能功原理有：，则根据可能功原理有：，则根据可能功原理有：，则根据可能功原理有：再把第二状态选作状态再把第二状态选作状态再把第二状态选作状态再把
24、第二状态选作状态( (s s) )，第一状态选作状态，第一状态选作状态，第一状态选作状态，第一状态选作状态( (k k) )，同理有：，同理有：，同理有：，同理有：65可能功原理 & 功的互等定理Chapter 10.2对于线弹性体，由弹性张量的对称性得对于线弹性体，由弹性张量的对称性得对于线弹性体，由弹性张量的对称性得对于线弹性体，由弹性张量的对称性得这称为这称为这称为这称为内功互等定理内功互等定理内功互等定理内功互等定理。这称为这称为这称为这称为外功互等定理外功互等定理外功互等定理外功互等定理或或或或BettiBetti互等定理互等定理互等定理互等定理。 66可能功原理 & 功的互等定理C
25、hapter 10.2BettiBetti互等定理互等定理互等定理互等定理：若线弹性体受两组不同的力作用，则第一组力在第二若线弹性体受两组不同的力作用，则第一组力在第二若线弹性体受两组不同的力作用，则第一组力在第二若线弹性体受两组不同的力作用，则第一组力在第二组力引起的位移上所做的功等于第二组力在第一组力组力引起的位移上所做的功等于第二组力在第一组力组力引起的位移上所做的功等于第二组力在第一组力组力引起的位移上所做的功等于第二组力在第一组力引起的位移上所做的功。引起的位移上所做的功。引起的位移上所做的功。引起的位移上所做的功。 优点优点优点优点：可以避免求解物体内应力、应变和位移场的复：可以避
26、免求解物体内应力、应变和位移场的复：可以避免求解物体内应力、应变和位移场的复：可以避免求解物体内应力、应变和位移场的复杂过程，而直接从整体变形的角度来处理问题。杂过程，而直接从整体变形的角度来处理问题。杂过程，而直接从整体变形的角度来处理问题。杂过程，而直接从整体变形的角度来处理问题。适用性适用性适用性适用性：线弹性体线弹性体线弹性体线弹性体 67可能功原理 & 功的互等定理Chapter 10.2例68能量原理Chapter 10 基本概念和术语 可能功原理，功的互等定理 虚功原理和余虚功原理 最小势能原理和最小余能原理 弹性力学变分问题的欧拉方程 弹性力学变分问题的直接解法69虚功原理和余
27、虚功原理Chapter 10.3对对对对可能位移可能位移可能位移可能位移取变分，即假想发生一个约束允许的、无取变分，即假想发生一个约束允许的、无取变分，即假想发生一个约束允许的、无取变分，即假想发生一个约束允许的、无限小的虚位移，根据限小的虚位移，根据限小的虚位移，根据限小的虚位移，根据可能功原理可能功原理可能功原理可能功原理，有，有，有，有 虚功原理（虚位移原理）或其中:70uu正正正正定定定定理理理理：外外外外力力力力在在在在虚虚虚虚位位位位移移移移上上上上所所所所做做做做的的的的虚虚虚虚功功功功等等等等于于于于应应应应力力力力在在在在虚应变上所做的虚功，即虚应变上所做的虚功，即虚应变上所
28、做的虚功，即虚应变上所做的虚功，即uu逆逆逆逆定定定定理理理理：凡凡凡凡是是是是总总总总能能能能满满满满足足足足虚虚虚虚功功功功原原原原理理理理的的的的应应应应力力力力场场场场，必必必必定定定定是是是是与与与与外外外外力力力力相相相相平平平平衡衡衡衡，且且且且满满满满足足足足力力力力边边边边界界界界条条条条件件件件的的的的静静静静力力力力可可可可能能能能应应应应力力力力场场场场。（满满满满足足足足虚虚虚虚功功功功原原原原理理理理与与与与满满满满足足足足平平平平衡衡衡衡方方方方程程程程和和和和力力力力边边边边界条件是等价的）界条件是等价的）界条件是等价的）界条件是等价的）虚功原理和余虚功原理Ch
29、apter 10.3p 虚功原理的两种叙述方式虚功原理的两种叙述方式虚功原理的两种叙述方式虚功原理的两种叙述方式71虚功原理和余虚功原理Chapter 10.3u用虚功原理解题的步骤用虚功原理解题的步骤：假设可能位移场假设可能位移场 ，它包含，它包含n个待定参数。个待定参数。由几何方程和本构方程得到由由几何方程和本构方程得到由 对应的应对应的应力力 把把 求求变变分分，得得到到虚虚位位移移 和和虚虚应应变变 。由虚功原理解出各待定参数。由虚功原理解出各待定参数。72虚功原理和余虚功原理Chapter 10.3uu例例例例2 2：求：求：求：求简支梁的挠度简支梁的挠度简支梁的挠度简支梁的挠度取：
30、取：取：取：对位移变分：对位移变分：对位移变分：对位移变分：73虚功原理和余虚功原理Chapter 10.3求内力：求内力：求内力：求内力：74虚功原理和余虚功原理Chapter 10.3代入虚功方程，求待定系数：代入虚功方程，求待定系数：代入虚功方程，求待定系数：代入虚功方程，求待定系数：得到问题的解得到问题的解得到问题的解得到问题的解: :75虚功原理和余虚功原理Chapter 10.3时精确解：时精确解：0.07%0.020818230.23%0.020785421.45%0.02053191n76虚功原理和余虚功原理Chapter 10.3 余虚功原理余虚功原理 可能功有两种变分形式可
31、能功有两种变分形式可能功有两种变分形式可能功有两种变分形式: : 它对位移它对位移它对位移它对位移( (应变应变应变应变) )的变分称的变分称的变分称的变分称为为为为虚功虚功虚功虚功，对力，对力，对力，对力( (应力应力应力应力) )的变分则称为的变分则称为的变分则称为的变分则称为余虚功余虚功余虚功余虚功。 把可能功原理对可能应力取变分，即假定应力发生把可能功原理对可能应力取变分，即假定应力发生把可能功原理对可能应力取变分，即假定应力发生把可能功原理对可能应力取变分，即假定应力发生在一个静力允许的、无限小的虚变化。则可导出在一个静力允许的、无限小的虚变化。则可导出在一个静力允许的、无限小的虚变
32、化。则可导出在一个静力允许的、无限小的虚变化。则可导出 称为称为称为称为余虚功原理余虚功原理余虚功原理余虚功原理或或或或虚应力原理虚应力原理虚应力原理虚应力原理。77虚功原理和余虚功原理Chapter 10.3p 余虚功原理的两种叙述方式余虚功原理的两种叙述方式余虚功原理的两种叙述方式余虚功原理的两种叙述方式uu正正正正定定定定理理理理：位位位位移移移移边边边边界界界界上上上上的的的的虚虚虚虚反反反反力力力力在在在在给给给给定定定定位位位位移移移移上上上上做做做做的的的的余虚功等于虚应力在可能应变上做的余虚功。余虚功等于虚应力在可能应变上做的余虚功。余虚功等于虚应力在可能应变上做的余虚功。余虚
33、功等于虚应力在可能应变上做的余虚功。uu逆逆逆逆定定定定理理理理：凡凡凡凡是是是是能能能能满满满满足足足足余余余余虚虚虚虚功功功功原原原原理理理理的的的的变变变变形形形形状状状状态态态态，必必必必定定定定是是是是满满满满足足足足位位位位移移移移边边边边界界界界条条条条件件件件的的的的协协协协调调调调的的的的变变变变形形形形状状状状态态态态。（满满满满足足足足余余余余虚虚虚虚功功功功原原原原理理理理与与与与满满满满足足足足协协协协调调调调方方方方程程程程和和和和位位位位移移移移边边边边界界界界条条条条件件件件是是是是等价的。）等价的。）等价的。）等价的。）78虚功原理和余虚功原理Chapter
34、10.3例例 求双跨梁求双跨梁求双跨梁求双跨梁B B点处的反力点处的反力点处的反力点处的反力R R。 假设一个与外载相平衡的假设一个与外载相平衡的假设一个与外载相平衡的假设一个与外载相平衡的静力可能反力内力系静力可能反力内力系静力可能反力内力系静力可能反力内力系 相应梁内弯矩为相应梁内弯矩为相应梁内弯矩为相应梁内弯矩为( (左段左段左段左段) )：79虚功原理和余虚功原理Chapter 10.3 令每个力参数相互独立地发生微小变化，相应的令每个力参数相互独立地发生微小变化，相应的令每个力参数相互独立地发生微小变化，相应的令每个力参数相互独立地发生微小变化，相应的梁内虚弯矩为：梁内虚弯矩为：梁内
35、虚弯矩为：梁内虚弯矩为： 用本构关系求用力参数表示的静力可能广义应变。用本构关系求用力参数表示的静力可能广义应变。用本构关系求用力参数表示的静力可能广义应变。用本构关系求用力参数表示的静力可能广义应变。静力可能曲率为静力可能曲率为静力可能曲率为静力可能曲率为 80虚功原理和余虚功原理Chapter 10.3在位移边界上给定三个支点的位移为在位移边界上给定三个支点的位移为在位移边界上给定三个支点的位移为在位移边界上给定三个支点的位移为对每个力参数的微小变化可由与虚功原理导出一对每个力参数的微小变化可由与虚功原理导出一对每个力参数的微小变化可由与虚功原理导出一对每个力参数的微小变化可由与虚功原理导
36、出一个方程，共得个方程，共得个方程，共得个方程，共得m m个余虚功方程。个余虚功方程。个余虚功方程。个余虚功方程。由由由由m m个余虚功方程解出力参数：个余虚功方程解出力参数：个余虚功方程解出力参数：个余虚功方程解出力参数：82能量原理Chapter 10 基本概念和术语 可能功原理，功的互等定理 虚功原理和余虚功原理 最小势能原理和最小余能原理 弹性力学变分问题的欧拉方程 弹性力学变分问题的直接解法83 最小势能原理最小势(余)能原理Chapter 10.4假设该假设该假设该假设该弹性弹性弹性弹性系统是系统是系统是系统是保守保守保守保守系统，存在总势能。系统，存在总势能。系统，存在总势能。系
37、统，存在总势能。 84最小势(余)能原理Chapter 10.4真实状态的总势能为真实状态的总势能为真实状态的总势能为真实状态的总势能为 变形可能状态由变形可能状态由变形可能状态由变形可能状态由 和和和和 描述，仅满足变形关描述，仅满足变形关描述，仅满足变形关描述，仅满足变形关系系系系 它的总势能为它的总势能为它的总势能为它的总势能为85最小势(余)能原理Chapter 10.4两种状态的总势能之差为两种状态的总势能之差为两种状态的总势能之差为两种状态的总势能之差为利用可能功原理，有：利用可能功原理，有：利用可能功原理，有：利用可能功原理，有：86最小势(余)能原理Chapter 10.4只要
38、应变能函数只要应变能函数 W 是凸函数，则有：是凸函数，则有：最小势能原理最小势能原理：在一切变形可能的状态：在一切变形可能的状态 中，真实状态的总势能最小。中，真实状态的总势能最小。87最小势(余)能原理Chapter 10.4 可以是有限量，并没有引进无限可以是有限量，并没有引进无限小位移变分小位移变分u的概念，所以最小势能原理是一个的概念，所以最小势能原理是一个大范围极值原理大范围极值原理。 88最小势(余)能原理Chapter 10.4这也是虚功原理在弹性保守系统中的特殊形式。这也是虚功原理在弹性保守系统中的特殊形式。 最小势能原理的变分形式： 90 最小余能原理真实状态真实状态 ui
39、，ij，ij 满足弹性力学基本关系和用余能满足弹性力学基本关系和用余能表示的逆弹性关系表示的逆弹性关系它的总余能为它的总余能为 最小势(余)能原理Chapter 10.491最小势(余)能原理Chapter 10.4静力可能状态静力可能状态仅满足静力关系仅满足静力关系它的总余能为：它的总余能为：在V 内在Su 内在S 内92最小势(余)能原理Chapter 10.4两种状态的总余能之差为：两种状态的总余能之差为：利用可能功原理，则有：利用可能功原理，则有：93最小势(余)能原理Chapter 10.4只要应变余能函数只要应变余能函数Wc是凸函数，必有是凸函数，必有最小余能原理最小余能原理：在一
40、切静力可能状态中，：在一切静力可能状态中，真实状态的总余能最小。真实状态的总余能最小。94最小势(余)能原理Chapter 10.4以上证明适用于小变形弹性力学范围内的任何静以上证明适用于小变形弹性力学范围内的任何静力可能状态，真实的是大范围内的极小值。力可能状态，真实的是大范围内的极小值。 这也是虚余功原理在弹性保守系统中的特殊形式。这也是虚余功原理在弹性保守系统中的特殊形式。 最小余能原理的变分形式： 95 两个原理的关系对于真实状态有：对于真实状态有：最小势(余)能原理Chapter 10.4由可得96最小势(余)能原理Chapter 10.4于是有：于是有：101能量原理Chapter
41、 10 基本概念和术语 可能功原理，功的互等定理 虚功原理和余虚功原理 最小势能原理和最小余能原理 弹性力学变分问题的欧拉方程 弹性力学变分问题的直接解法107变分问题的欧拉方程Chapter 10.5例例 2 2 柱形杆扭转问题柱形杆扭转问题解：剪应力和扭转的应力函数表解：剪应力和扭转的应力函数表达式为达式为108变分问题的欧拉方程Chapter 10.5应变余能为应变余能为系统总余能为系统总余能为109变分问题的欧拉方程Chapter 10.5110变分问题的欧拉方程Chapter 10.5于是，可得欧拉方程：于是，可得欧拉方程：应力函数表示的协调方程于是于是 c 表达式中的线积分项自然为零。表达式中的线积分项自然为零。对于单连通域对于单连通域(实心杆实心杆)，可在边界，可在边界 上指定上指定111变分问题的欧拉方程Chapter 10.5对于多连通域情况，只能在一条边界上指定约束条件对于多连通域情况，只能在一条边界上指定约束条件而在其他边界上，而在其他边界上， 取为待定常数：取为待定常数：112变分问题的欧拉方程Chapter 10.5这就是用应力函数表示的这就是用应力函数表示的位移单值条件位移单值条件。113Chapter 10谢谢！
