能量法与超静定ppt课件

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1、 第五讲第五讲 能量法与超静定能量法与超静定. 资料力学料力学的主要内容的主要内容 一、能量法一、能量法 二、超静定二、超静定 三、动载荷三、动载荷.考点考点根本实际与运用根本实际与运用知识掌握与才干知识掌握与才干.10-1 10-1 能量法概述能量法概述一、根本概念一、根本概念 二、根本实际二、根本实际 三、根本方法三、根本方法 四、典型例题四、典型例题. 1、构造的、构造的变形分析形分析 2、超静定构造分析、超静定构造分析 3、构造的、构造的稳定性分析定性分析 4、杆件的冲、杆件的冲击分析分析 五、能量法的运用五、能量法的运用.一、根本概念一、根本概念1 1、能量法、能量法 利用功和能的原

2、理求解利用功和能的原理求解变变形固体的形固体的位移、位移、变变形和内力等的方法称形和内力等的方法称为为能量法。能量法。2 2、变变形能形能 在在线弹线弹性范性范围围内，内，弹弹性体在外力作性体在外力作用下用下发发生生变变形而在体内形而在体内储储蓄的能量，称蓄的能量，称为为弹弹性性变变形能或称形能或称应变应变能。能。. 二、根本实际二、根本实际1 1、功能原理；、功能原理； 2 2、克隆原理；、克隆原理； 3 3、虚位移原理；、虚位移原理；4 4、虚功原理；、虚功原理； 5 5、虚力原理；、虚力原理； 6 6、互等定理；、互等定理； 7 7、卡氏定理；、卡氏定理； 8 8、莫尔定理。、莫尔定理。

3、 .三、根本方法三、根本方法1 1、能量法、能量法2 2、求导法、求导法3 3、单位载荷法、单位载荷法4 4、图乘法、图乘法.重点：功能原理、单位载荷法。重点：功能原理、单位载荷法。 难点：虚位移、虚功、虚功原理、虚力原难点：虚位移、虚功、虚功原理、虚力原 理、虚位移原理。理、虚位移原理。考点：变形能的概念，能量法在超静定、考点：变形能的概念，能量法在超静定、 冲击中的运用。冲击中的运用。.10-2 10-2 弹弹性杆件的性杆件的变变形能形能一、一、轴向拉伸和向拉伸和紧缩.二、改二、改动.三、弯曲三、弯曲纯弯曲：弯曲：横力弯曲：横力弯曲：.杆件根本变形的变形能杆件根本变形的变形能一、轴向拉伸和

4、紧缩一、轴向拉伸和紧缩二、改动二、改动三、横力弯曲三、横力弯曲.杆件组合变形的变形能杆件组合变形的变形能式中：式中：K剪切外形系数。剪切外形系数。矩形矩形K=6/5; 圆形形K=10/9; 圆环K=2。.10-3 10-3 克隆原理克隆原理 线弹性体的性体的变形能等于每一外力与形能等于每一外力与其相其相应位移乘位移乘积的二分之一的的二分之一的总和。和。. 一切的广义力均以静力方式，按一定比例由一切的广义力均以静力方式，按一定比例由O添加至最终添加至最终值。任一广义位移值。任一广义位移 与整个力系有关，但与其相应的广义力与整个力系有关，但与其相应的广义力 呈线性关系。呈线性关系。.式中：式中：K

5、剪切外形系数。剪切外形系数。矩形矩形K=6/5; 圆形形K=10/9; 圆环K=2。内力表示的克隆原理内力表示的克隆原理.重要根本概念重要根本概念1、广、广义位移用位移用表示表示线位移位移: 程程度位移度位移ix ; 竖向位移向位移iy ; 角位移角位移i ; 相相对位移：一位移：一对力引起的位移。力引起的位移。AB. 2、广义力用F表示 广义外力F、R。 广义内力N、Q、T、。3、实位移和虚位移 实位移位移是由作功的力本身引起的。虚位移位移不是由作功的力本身引起的. 例例10-1：试求图示悬臂梁的变形能，并利用功能原理求自在端：试求图示悬臂梁的变形能，并利用功能原理求自在端B的挠度。的挠度。

6、F F解：解：.例例10-2：悬臂梁在自在端接受集中力：悬臂梁在自在端接受集中力F及集中力偶及集中力偶矩矩M0作用。设作用。设EI为常数，试求梁的变形能。为常数，试求梁的变形能。LFMeAB 弯矩方程弯矩方程 变形能形能解：方法一解：方法一 内力表达式内力表达式.LFM0AB当当F和和M0分分别作用作用时克隆定理方法二克隆定理方法二 外力表达式外力表达式.关于变形能的讨论关于变形能的讨论1 1、上述各能量式、上述各能量式仅仅适用于适用于线弹线弹性性资资料杆件在料杆件在小小变变形下的形下的变变形能的形能的计计算。算。2 2、变变形能可以形能可以经过经过外力功外力功计计算，也可以算，也可以经过经过

7、杆件微段上的内力功等于微段上的杆件微段上的内力功等于微段上的变变形能形能计计算，然后算，然后积积分求得整个杆件的分求得整个杆件的变变形能。形能。3 3、变变形能形能为为内力内力 或外力或外力 的二次函数，故叠的二次函数，故叠加原理在加原理在变变形能形能计计算中不能运用。只需当杆算中不能运用。只需当杆件上任一件上任一载载荷在其他荷在其他载载荷引起的位移上不作荷引起的位移上不作功功时时，才可运用叠加原理。，才可运用叠加原理。.关于变形能的讨论关于变形能的讨论两个以上两个以上载荷引起同一种根本荷引起同一种根本变形的形的变形能，不等于各个形能，不等于各个载荷引起的荷引起的变形形能的叠加。与当杆件能的叠

8、加。与当杆件发生两种或两种生两种或两种以上的根本以上的根本变形形时，杆件的，杆件的总变形能形能等于各个根本等于各个根本变形的形的变形能的和。的形能的和。的概念容易混淆，概念容易混淆，应留意了解。留意了解。.关于变形能的讨论关于变形能的讨论4 4、变变形能是恒形能是恒为为正的正的标标量，与坐量，与坐标轴标轴的的选择选择无关，在杆系构造中，各杆可独立无关，在杆系构造中，各杆可独立地地选择选择坐坐标标系。系。5 5、弹弹性体所受的外力从零性体所受的外力从零缓缓慢慢 逐逐渐渐 添添加到最加到最终值终值。6 6、变变形能大小与加形能大小与加载过载过程的先后次序无程的先后次序无关，而只决关，而只决议议于于

9、载载荷及其相荷及其相应应的位移的的位移的最最终值终值。.关于变形能的讨论关于变形能的讨论7 7、对于普通构造剪切变形能比较小通、对于普通构造剪切变形能比较小通常略去不计。假设剪切变形能比较大，常略去不计。假设剪切变形能比较大，不能略去时其计算公式：不能略去时其计算公式：式中式中K K是与截面外形系数。矩形：是与截面外形系数。矩形： K=6/5K=6/5 圆形：圆形： K=10/9K=10/9 .讨论题讨论题11弹弹性体在外力作用下因性体在外力作用下因弹弹性性变变形而形而储储存存的能量，称的能量，称为弹为弹性性变变形能形能 。2 2、弹弹性体在内力作用下因性体在内力作用下因弹弹性性变变形而形而储

10、储存存的能量，称的能量，称为弹为弹性性变变形能形能 。3 3、在、在线弹线弹性情况下，力与位移呈性情况下，力与位移呈线线性关系，性关系，其其变变形能随力在做功。不思索能量形能随力在做功。不思索能量损损失的失的情况，力与位移的三角形阴影部分的面情况，力与位移的三角形阴影部分的面积积就等于就等于变变形能形能 。4 4、弹弹性性变变形的大小等于广形的大小等于广义义力与相力与相对应对应的的广广义义位移乘位移乘积积的一半的一半 。.讨论题讨论题5 5、广、广义义力可以是一个集中力、一个集中力力可以是一个集中力、一个集中力偶、一偶、一对对集中力、一集中力、一对对集中力偶集中力偶 6 6、广、广义义位移可以

11、是一点的位移可以是一点的线线位移、一个截位移、一个截面的角位移、两点面的角位移、两点间间的相的相对对位移、两个截位移、两个截面的相面的相对对角位移角位移 。7 7 、广、广义义力与广力与广义义位移的位移的对应对应关系，一个集关系，一个集中力中力对应对应的广的广义义位移与位移与该该力作用点沿力作用点沿该该力力作用方向的位移作用方向的位移 。.讨论题讨论题8 8、对线弹对线弹性构造，位移可以叠加，其性构造，位移可以叠加，其变变形形能也可以叠加能也可以叠加 。9 9、对线弹对线弹性构造，位移可以叠加，其性构造，位移可以叠加，其变变形形能不可以叠加能不可以叠加 。1010、非、非线弹线弹性构造，位移和

12、性构造，位移和变变形能都可以形能都可以叠加叠加 。1111、非、非线弹线弹性构造，位移和性构造，位移和变变形能都不可形能都不可以叠加以叠加 。.讨论题讨论题1212、当某一种根本、当某一种根本变变形的形的变变形能由两个以上的形能由两个以上的载载荷共同引起荷共同引起时时，该变该变形能不等于形能不等于这这些些载载荷荷单单独独作用作用时时引起的引起的变变形能的叠加形能的叠加 。1313、当杆件、当杆件发发生两种或两种以上根本生两种或两种以上根本变变形形时时，杆，杆件的件的总变总变形能等于各个根本形能等于各个根本变变形的形的变变形能的和形能的和 。1414、在小、在小变变形情况下，每一根本形情况下，每

13、一根本变变形下的内力分形下的内力分量量对对其他根本其他根本变变形并不做功形并不做功 。1515、变变形能可以形能可以经过经过外力功外力功计计算，也可以算，也可以经过经过杆杆件微段上的内力功等于微段上的件微段上的内力功等于微段上的变变形能形能计计算，算，然后然后积积分求得整个杆件的分求得整个杆件的变变形能形能 。.讨论题讨论题1616、变变形能形能为为内力内力 或外力或外力 的二次函数，故叠加原理的二次函数，故叠加原理在在变变形能形能计计算中不能运用。只需当杆件上任一算中不能运用。只需当杆件上任一载载荷荷在其他在其他载载荷引起的位移上不作功荷引起的位移上不作功时时，才可运用叠加，才可运用叠加原理

14、原理 。1717、两个以上、两个以上载载荷引起同一种根本荷引起同一种根本变变形的形的变变形能，不形能，不等于各个等于各个载载荷引起的荷引起的变变形能的叠加形能的叠加 。1818、变变形能是恒形能是恒为为正的正的标标量，与坐量，与坐标轴标轴的的选择选择无关，无关，在杆系构造中，各杆可独立地在杆系构造中，各杆可独立地选择选择坐坐标标系系 。1919、变变形能大小与加形能大小与加载过载过程的先后次序无关，而只决程的先后次序无关，而只决议议于于载载荷及其相荷及其相应应的位移的最的位移的最终值终值 。.作业作业P105P105 习题：习题：13.113.1、13.3 13.3 、13.413.4。 .1

15、0-4 变变形体的虚功原理形体的虚功原理一、根本概念一、根本概念1、广、广义位移用位移用表示表示线位移位移: 程程度位移度位移iX竖向位移向位移iy角位移角位移i 相相对位移：一位移：一对力引起的位移。力引起的位移。AB. 2、广义力用F表示 广义外力F、R。 广义内力N、Q、T、。3、实位移和虚位移 实位移位移是由作功的力本身引起的。虚位移位移不是由作功的力本身引起的.4 4、实实功和虚功功和虚功 实实功功力在力在实实位移上作的功。位移上作的功。 虚功虚功力在虚位移上作的功。力在虚位移上作的功。5 5、虚功中力和位移的性、虚功中力和位移的性质质：力和位移彼此独立无：力和位移彼此独立无关的两种

16、形状。关的两种形状。6 6、求解静定构造位移的根本、求解静定构造位移的根本实际实际变变形体的虚功原理：外力的虚功等于内力的虚功形体的虚功原理：外力的虚功等于内力的虚功 W W外外W W内内虚功原理的两种方式：虚功原理的两种方式：1 1 虚位移原理：虚位移原理：实实力形状，虚位移形状。力形状，虚位移形状。2 2 虚力原理：虚力原理： 实实位移形状，虚力形状。位移形状，虚力形状。.二、求解静定构造位移的根本方法二、求解静定构造位移的根本方法 单位荷位荷载法法 ：积分法，分法，图乘法乘法三、三、变形体的虚功原理形体的虚功原理 外力的虚功等于内力的虚功。外力的虚功等于内力的虚功。 W W外外W W内内

17、.关于虚功原理的讨论关于虚功原理的讨论1 1、虚位移是在平衡位置上再添加的位移，杆件、虚位移是在平衡位置上再添加的位移，杆件原有外力和内力原有外力和内力坚坚持不持不变变，且一直是平衡的。，且一直是平衡的。2 2、虚位移、虚位移应满应满足足边边境条件和延境条件和延续续条件且符合小条件且符合小变变形要求。形要求。3 3、虚功是杆件上的力在虚位移上所作的功。、虚功是杆件上的力在虚位移上所作的功。4 4、虚功是杆件上的虚力在、虚功是杆件上的虚力在实实位移上所作的功。位移上所作的功。5 5、虚位移表示其他要素呵斥的杆件位移，与杆、虚位移表示其他要素呵斥的杆件位移，与杆件的外力和件的外力和实实践位移无关。

18、践位移无关。 .10-5 10-5 互等定理互等定理位移位移发生点生点荷载作用点荷载作用点F1F2F1F2F1.F2F1.功的互等定理：功的互等定理：位移互等定理：位移互等定理：. 例例10-3 求图示简支梁求图示简支梁C截面的挠度。截面的挠度。.F. 例例10.4求图示悬臂梁中点求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移处的铅垂位移 。.F.1 1、在功的互等定理公式的两边可以是、在功的互等定理公式的两边可以是不同类的力和位移，如一边是力和不同类的力和位移，如一边是力和线位移的乘积，另一边是力偶和角线位移的乘积，另一边是力偶和角位移的乘积。位移的乘积。 2 2、位移互等定理公式的两边，一边是、位移互等定

19、理公式的两边，一边是线位移，另一边可以是角位移。线位移，另一边可以是角位移。 关于互等定理的讨论关于互等定理的讨论.关于互等定理的讨论关于互等定理的讨论3、功的互等定理与位移互等定理的、功的互等定理与位移互等定理的两边，也可以是同一点的不同类型两边，也可以是同一点的不同类型的力和位移的力和位移 。4、功的互等定理可以推行到弹性体、功的互等定理可以推行到弹性体的两种应力形状，即第一种应力形的两种应力形状，即第一种应力形状在第二种应力形状引起位移上做状在第二种应力形状引起位移上做的功等于第二种应力形状在第一种的功等于第二种应力形状在第一种应力形状引起位移上做的功。应力形状引起位移上做的功。 .作业

20、作业P106 习题：习题：13.5。 .10-6 10-6 卡氏定理卡氏定理 卡氏定理是描画卡氏定理是描画变形能与位移之形能与位移之间关关系的一个重要定理，是由意大利学者阿系的一个重要定理，是由意大利学者阿卡斯提里安卡斯提里安诺于于1879年提出的。主要有年提出的。主要有卡氏第一定理和卡氏第二定理。卡氏第一定理和卡氏第二定理。 卡氏定理第一定理：卡氏定理第一定理： 弹性杆件的性杆件的变形能形能对于杆件上任一位于杆件上任一位移的偏移的偏导数，等于与数，等于与该位移相位移相应的的载荷。荷。.10-6 10-6 卡氏定理卡氏定理卡氏第一定理：卡氏第一定理： 弹性杆件的变形能对于杆件上任一位移弹性杆件

21、的变形能对于杆件上任一位移的偏导数，等于与该位移相应的载荷。的偏导数，等于与该位移相应的载荷。.10-6 10-6 卡氏定理卡氏定理卡氏第二定理：卡氏第二定理： 弹性杆件的变形能对于杆件上任弹性杆件的变形能对于杆件上任一载荷一载荷F i 的偏导数，等于载荷的偏导数，等于载荷Fi作作用点沿用点沿Fi方向的相应位移方向的相应位移 。. 10-6 10-6 卡氏定理卡氏定理假假设只只给 以增量以增量 ，其他不，其他不变，在，在 作用下，原各力作用点作用下，原各力作用点将将产生位移生位移变形能的添加量：形能的添加量：.略去二略去二阶小量，那小量，那么：么：假设把原有诸力看成第一组力，把假设把原有诸力看

22、成第一组力，把 看作第二组力，根据互等看作第二组力，根据互等定理：定理：所以：所以：变形能对任一载荷变形能对任一载荷Fi 的偏导数，等于的偏导数，等于Fi作用点沿作用点沿Fi方向的位移方向的位移卡氏第二定理卡氏第二定理.卡氏第二定理求位移的运用卡氏第二定理求位移的运用横力弯曲：横力弯曲：桁架杆件受拉桁架杆件受拉压：轴受扭矩作用：.组合变形的卡氏第二定理组合变形的卡氏第二定理.关于卡氏第二定理的讨论关于卡氏第二定理的讨论1 1、由于、由于变变形能是形能是对对截面截面X X积积分，而卡氏第二定理是分，而卡氏第二定理是对对荷荷载载F F求求偏偏导导数，因偏数，因偏导导数与数与积积分号无关，故在分号无

23、关，故在计计算中可以先求后算中可以先求后积积分。分。2 2、适用于、适用于线弹线弹性构造在小性构造在小变变形情况下构造位移形情况下构造位移计计算算3 3、假、假设计设计算算结结果果为为正，表示正，表示与与 F F，的方向一，的方向一样样；假；假设为负设为负，表示表示与与 F F方向相反。方向相反。 4 4、式中、式中为为相相应应于广于广义义力力F F的广的广义义位移，假位移，假设设欲求位移欲求位移处处没有没有相相应应的的载载荷，那么可以在构造上施加于欲求位移相荷，那么可以在构造上施加于欲求位移相应应的的载载荷，求得偏荷，求得偏导导后，再令所加后，再令所加载载荷荷为为零零 通常称通常称为为零零载

24、载荷法荷法 。5 5、假、假设设构造上作用于不同点的假构造上作用于不同点的假设设干个力符号一干个力符号一样样 如两个力如两个力均均为为F F ，求偏，求偏导时应导时应将各将各载载荷加以荷加以标标志，以示区分。志，以示区分。. 例例10-5 利用卡氏定理，试求图示悬臂梁自在端利用卡氏定理，试求图示悬臂梁自在端 B的挠度。的挠度。F F解：解：(1)(2)解得：解得：B = FL3/ 3EI. 例例10-6 教材教材P95例例13.12 利用卡氏定理，利用卡氏定理，试求求刚架架自在端自在端A的的铅垂位移和截面垂位移和截面 B的的转角角B。.作业作业 P87 例题例题 13.7； P107 习题习题

25、 13.9。 .10-7 10-7 单单位位载载荷法荷法 莫莫尔尔积积分分单位荷载法的证明有三个方法。单位荷载法的证明有三个方法。1、虚功原理；、虚功原理； 2、能量法；、能量法； 3、卡氏定理。、卡氏定理。.莫莫尔定理定理莫莫尔积分分.例例10-7 试用单位试用单位荷载法计算图荷载法计算图(a)所示悬臂梁自在所示悬臂梁自在端端B的挠度和转的挠度和转角。角。. 例例10-8 教材教材P95例例13.12 利用利用单位位载荷法，荷法，试求求刚架自在端架自在端A的的铅垂位移和截面垂位移和截面 B的的转角角B。.作业作业 P107 习题习题 13.9。 .10-8 10-8 计计算莫算莫尔尔积积分的

26、分的图图乘法乘法 在运用莫在运用莫尔定理求位移定理求位移时，需，需计算以下方算以下方式的式的积分：分：对于等直杆的于等直杆的EI，可以提到，可以提到积分号外，故只需分号外，故只需计算算积分分.直杆的直杆的M0(x)图必定是直必定是直线或折或折线。.10-8 10-8 计计算莫算莫尔尔积积分的分的图图乘法乘法 式中A是(x图形的面积；yc 是图形中与 图形的形心C对应的纵坐标。.运运用用图乘乘法法的的条条件件：用用图乘乘法法计算算位位移移时，梁梁和和刚架架的的杆杆件件必必需需满足足以以下条件：下条件：1 1杆段的弯曲杆段的弯曲刚度度 EI EI为常数。常数。2 2杆段的杆段的轴线为直直线。3 3

27、各各杆杆段段的的 (x(x图和和 图中至少有一个中至少有一个为直直线图形。形。.运用运用图乘法乘法时应留意：留意：(1)(1)在在图乘乘前前要要先先对图形形进展展分分段段处置置，保保证两个两个图形中至少有一个是直形中至少有一个是直线图形。形。(2) (2) A A与与yCyC是是分分别取取自自两两个个弯弯矩矩图，竖标yCyC必需取自直必需取自直线图形。形。(3) (3) 当当A A与与yCyC在在杆杆的的同同侧时，乘乘积AyCAyC取取正正号号；A A与与yCyC在在杆杆的的异异侧时，乘乘积AyCAyC取取负号。号。.下下面面给给出出了了图图乘乘运运算算中中几几种种常常见见图图形形的的面面积积

28、及及其其形形心心位位置置。在在运运用用图图示示抛抛物物线线图图形形的的公公式式时时，必必需需留留意意曲曲线线在在顶顶点点处处的的切切线线应应与基线平行，即在顶点处剪力为零。与基线平行，即在顶点处剪力为零。.图乘法的技巧：图乘法的技巧： 在图乘运算中，经常会遇到一些不规那么的复杂图形，这些图形的面积和形心位置不易确定，在这种情况下，可采用图形分块或分段的方法，将复杂图形分解为几个简单图形，以方便计算。 .讨论题讨论题. 例例10-9 试用图乘法求所示悬臂梁自在端试用图乘法求所示悬臂梁自在端B的挠度和转角。的挠度和转角。LF FF解解1 1求自在端的挠度求自在端的挠度.Fm=1(2) (2) 求自

29、在端的转角求自在端的转角.例例10-10 试用图乘法求所示简支梁的最大挠度和最大试用图乘法求所示简支梁的最大挠度和最大转角。转角。qM解解1简支梁的最大挠度简支梁的最大挠度.2求最大转角求最大转角最大转角发生在两个支座处最大转角发生在两个支座处. 例例10-11 试用图乘法求所示简支梁试用图乘法求所示简支梁C截面的截面的挠度和挠度和A、B截面的转角。截面的转角。CL12TU34.解：解：. 例例10-12 试用图乘法求所示悬臂梁自在端试用图乘法求所示悬臂梁自在端B的挠度和转角。的挠度和转角。CL12TU35.解：解：. 例例10-13 试用图乘法求图示悬臂梁中点试用图乘法求图示悬臂梁中点C处的

30、铅垂位移。处的铅垂位移。CL12TU36.解：解：. 例例10-14 图示梁，抗弯刚度为图示梁，抗弯刚度为EI，接受均，接受均布载荷布载荷q及集中力及集中力X作用。用图乘法求：作用。用图乘法求： (1)集中力作用端挠度为零时的集中力作用端挠度为零时的X值；值； (2)集中力作用端转角为零时的集中力作用端转角为零时的X值。值。CL12TU37F.解：解：(1)F.(2). 例：图示梁的抗弯刚度为例：图示梁的抗弯刚度为EI，试求，试求D点的点的铅垂位移。铅垂位移。CL12TU38.解：解：. 例例10-15 图示开口示开口刚架，架，EI=const。求。求A、B两截面的相两截面的相对角位移角位移

31、AB 和沿和沿P力作用力作用线方向的相方向的相对线位移位移 AB 。CL12TU39.解：解：. 例例10-16 用图乘法求图示阶梯状梁用图乘法求图示阶梯状梁A截面截面的转角及的转角及E截面的挠度。截面的挠度。CL12TU40.解：解：. 例例10-17 图示示刚架，架，EI=const。求。求A截面截面的程度位移的程度位移 AH 和和转角角A 。CL12TU41.解：解：.例例 计算刚架计算刚架B截面的程度位移，知刚架的抗弯刚度截面的程度位移，知刚架的抗弯刚度EI = 常数。常数。.作业作业 P107 习题习题 13.9。 .第十一章第十一章 超静定构造超静定构造.第十一章第十一章 超静定构

32、造超静定构造11-1 11-1 概述概述11-2 11-2 变形比较法变形比较法11-3 11-3 力法求解超静定构造力法求解超静定构造11-4 11-4 对称及反对称性质的利用对称及反对称性质的利用目录.11-1 11-1 概述概述目录一、超静定构造的概念一、超静定构造的概念 构造的构造的约束反力或内力束反力或内力仅用独立的平衡方用独立的平衡方程不能全部求解，程不能全部求解，该构造称构造称为超静定构造。超静定构造。.二、超静定构造的类型二、超静定构造的类型 外力超静定，内力超静定，混合超静定。外力超静定，内力超静定，混合超静定。_. 三、超静定构造的次数三、超静定构造的次数 1、外力超静定：

33、位置、外力超静定：位置约束反力个数束反力个数独立静独立静力平衡方程数力平衡方程数=超静定构造的次数。超静定构造的次数。 2、 内力超静定：内力超静定： 一个平面封一个平面封锁框架框架为三次内力超静定；三次内力超静定； 平面桁架的内力超静定构造的次数等于杆数加平面桁架的内力超静定构造的次数等于杆数加三减两倍三减两倍节点数。点数。.三、超静定构造的次数三、超静定构造的次数 3、混合超静定：需综合思索。、混合超静定：需综合思索。 4、构造有中间铰的超静定次数的断定：、构造有中间铰的超静定次数的断定： 构造中加一个中间铰，构造减少一次构造中加一个中间铰，构造减少一次超静定次数。超静定次数。四、求解超静

34、定构造的方法四、求解超静定构造的方法 1、变形比较法；、变形比较法；2、力法；、力法；3、位移法。、位移法。.11-2 11-2 变形比较法求解超静定构造变形比较法求解超静定构造 典型题典型题1 如下图杆件，两端固定，在横截面如下图杆件，两端固定，在横截面C处受轴处受轴向载荷向载荷F作用。试求杆两端的支座反力。作用。试求杆两端的支座反力。 解：(一)静力平衡方程(a)两个未知力，一个平衡方程，故为一次超静定。两个未知力，一个平衡方程，故为一次超静定。( (二二) )变形协调方程变形协调方程 (b). ( (三三) )物理方程物理方程 (c) (d)(四四)补充方程补充方程 ( (五五) )求解

35、支座反力求解支座反力将式(c)和式(d)代入式(b)，即得补充方程为 (e)联立求解平衡方程(a)与补充方程(e)，于是得. 典型典型题2 2图4-17a4-17a所示等截面所示等截面圆轴ABAB，两端固定，在截面，两端固定，在截面C C处接受扭力矩接受扭力矩M M作用。作用。试求求轴两端的支反力偶矩。两端的支反力偶矩。 解：(一)静力平衡方程 (a)( (二二) )变形协调方程变形协调方程 (b).( (三三) )物理方程物理方程(四四)补充方程补充方程 将上述物理关系代入式将上述物理关系代入式(b)(b)，得变形补充方程为，得变形补充方程为 (c)( (五五) )求解支座反力求解支座反力

36、联立求解平衡方程联立求解平衡方程(a)与补充方程与补充方程(c)，于是得，于是得 .典型题典型题3 3 如下图梁如下图梁ABAB，在横截面，在横截面B B处接受轴向载荷处接受轴向载荷F F作用。试求梁作用。试求梁的支座反力。的支座反力。 解：(一)静力平衡方程Fy = 0Fy = 0， - FBy + FAy = 0 MA = 0, MA + FL/2 - FBy L = 0 (a) - FBy + FAy = 0 MA = 0, MA + FL/2 - FBy L = 0 (a)( (二二) )变形协调方程变形协调方程 = 0 (b).( (三三) )物理方程物理方程(四四)补充方程补充方程

37、 将上述物理关系代入式将上述物理关系代入式(b)(b)，得变形补充方程为，得变形补充方程为 (c) = 0( (五五) )求解支座反力求解支座反力 联立求解平衡方程联立求解平衡方程(a)与补充方程与补充方程(c)，于是得，于是得FAY = FAY = FBY =FBY =.11-3 11-3 力法求解超静定构造力法求解超静定构造 在求解超静定构造在求解超静定构造时，目录 以以“未知力未知力为未知量的求解超静定的方未知量的求解超静定的方法称法称为“力法。力法。普通先解除多余普通先解除多余约束，束，以多余以多余约束力代之，束力代之，得到根本静定系得到根本静定系统再根据再根据变形形协调条件得到关于多

38、余条件得到关于多余约束力的束力的补充方程。充方程。.该体系中多出一个外部体系中多出一个外部约束，束，为一次超静定梁一次超静定梁解除多余支座解除多余支座B，并以多余，并以多余约束束X1替代替代假设以假设以 表示表示B端沿竖直方向的位移，那么：端沿竖直方向的位移，那么：是在是在F单独作用下引起的位移单独作用下引起的位移是在是在X1单独作用下引起的位移单独作用下引起的位移目录力法正那么方程力法正那么方程. 目录对于于线弹性构造，位移与力成正比，性构造，位移与力成正比，X1是是单位力位力“1的的X1倍，故倍，故 也是也是 的的X1倍，即有倍，即有假假设：于是可求得于是可求得所以所以*式可式可变为：.

39、例例11.1：试求求图示平面示平面刚架的支座反力。知各杆架的支座反力。知各杆 EI=常数。常数。目录 解：解：. 例例11.2：两端固定的梁，跨中受集中力作用，：两端固定的梁，跨中受集中力作用，设梁的抗弯梁的抗弯刚度度 为EI，不，不计轴力影响，求梁中点力影响，求梁中点的的挠度。度。目录 解：解：.例例11.311.3：求：求图示示刚架的支反力。架的支反力。目录解：解：.目录上面我上面我们讲的是只需一个多余的是只需一个多余约束的情况！束的情况！ 那么当多余那么当多余约束不止一个束不止一个时，力法方程是，力法方程是什么什么样的呢？的呢？ .目录由叠加原理：由叠加原理：同理同理 变形形协调条件条件

40、 ： 表示表示 作用点沿着作用点沿着 方向的位移方向的位移 .目录力法正那么方程：力法正那么方程：矩矩阵方式：方式：表示沿着表示沿着 方向方向 单独作用时所产生的位移单独作用时所产生的位移 表示沿着表示沿着 方向方向 单独作用时所产生的位移单独作用时所产生的位移 表示沿着表示沿着 方向载荷方向载荷F单独作用时所产生的位移单独作用时所产生的位移 .目录那么那么 ：引起的弯矩引起的弯矩为 引起的弯矩引起的弯矩为 载荷荷F引起的弯矩引起的弯矩为 设：.力法的计算步骤：力法的计算步骤： 1选取根本构造、确定超静定次数。 (根本静定构造不是独一的) 去掉原构造的多余约束，以相应的未知力替代多余约束的作用

41、。 2建立力法典型方程。根据根本构造在去掉多余约束处的位移与原构造相应位置的位移一样的条件，建立力法方程。 .3 3计算算系系数数和和自自在在项。利利用用静静定定构构造造的的位位移移计算算公公式式，或或分分别绘出出根根本本构构造造在在单位位多多余余力力XiXi和和荷荷载作作用用下下的的弯弯矩矩图，然然后后用用图乘法乘法计算系数和自在算系数和自在项 。4 4解解方方程程求求多多余余未未知知力力。将将所所得得各各系系数数和和自自在在项代代入入力力法法方方程程，解解出出多多余余未未知知力力XiXi。 .【例】试用力法计算图示超静定刚架。 .【解】【解】 1) 建立相当系建立相当系统统。该该刚刚架架为

42、为二二次次超超静静定定构构造造，去去掉掉B支支座座处处的的两两个个约约束束，代代之之以以相相应应的的多多余余未未知知力力X1、X2，得得到到图图(b)所示根本构造。所示根本构造。 (a)原构造原构造FX1X2(b)相当系相当系统统.2) 建立力法方程。建立力法方程。由由根根本本构构造造在在多多余余未未知知力力X1、X2及及荷荷载载共共同同作作用用下下，B支支座座处处沿沿X1、X2方方向向上上的的位位移移分分别别为为零的位移条件，建立力法方程零的位移条件，建立力法方程.3) 计计算系数和自在算系数和自在项项。分分别别绘绘出出根根本本构构造造在在荷荷载载作作用用下下的的MF图图图图(c)及及在在单

43、单位位力力X11、X21作作用用下下的的 图图、 图图图图(d，e)。FABCAa.对称构造：假称构造：假设将构造将构造绕对称称轴对折后，构折后，构造在造在对称称轴两两边的部分将完全重合。的部分将完全重合。目录11-4 11-4 对称及反对称性质的利用对称及反对称性质的利用正确利用构造的正确利用构造的对称性，可以降低超静定构造的次数。称性，可以降低超静定构造的次数。.对称构造的特征对称构造的特征1 1、构造的、构造的资资料、几何外形料、几何外形对对称；称；2 2、构造的截面尺寸、构造的截面尺寸、刚刚度度EIEI对对称；称；3 3、构造的、构造的约约束条件束条件对对称。称。.对称称载荷：将荷：将

44、对称构造称构造绕对称称轴对折后，折后，对称称轴两两边的的载荷完荷完全重合即全重合即对折后折后载荷的作用点和作用方向重合，且作用力的荷的作用点和作用方向重合，且作用力的大小也相等。大小也相等。目录.反反对称称载荷：将荷：将对称构造称构造绕对称称轴对折后，折后，对称称轴两两边的的载荷荷作用点重合、作用力大小相等、但是作用方向相反。作用点重合、作用力大小相等、但是作用方向相反。目录.目录. 当当对称构造上受称构造上受对称称载荷作用荷作用时，于是正那么方程可化于是正那么方程可化为目录在在对称面上反称面上反对称内力等于零。称内力等于零。对称构造在称构造在对称称载荷作用下的情况：荷作用下的情况：用用图乘法

45、可乘法可证明明可得：可得：.对称构造在反称构造在反对称称载荷作用下的情况：荷作用下的情况：目录同同样用用图乘法可乘法可证明明当当对称构造上受反称构造上受反对称称载荷作用荷作用时，在在对称面上称面上对称内力等于零。称内力等于零。可得：可得：于是正那么方程可化于是正那么方程可化为. 对称构造在称构造在对称称载荷作用下，在荷作用下，在对称称截面上，反截面上，反对称内力剪力等于零。称内力剪力等于零。1、对称构造在对称载荷作用下的性质、对称构造在对称载荷作用下的性质2、对对称构造在反称构造在反对对称称载载荷作用下的性荷作用下的性质质 对称构造在反称构造在反对称称载荷作用下，在荷作用下，在对称截面上，称截面上，对称内力称内力轴力和弯矩都等于力和弯矩都等于零。零。. 例例11.4:平面平面刚架受力如架受力如图，各杆，各杆 EI=常数。常数。试求求C处的的约束力及束力及A、B处的支座反力。的支座反力。解：解：.例例11.511.5：等截面平面框架的受力情况如下：等截面平面框架的受力情况如下图。试求最大弯矩及其求最大弯矩及其作用位置。作用位置。解：解：载荷关于荷关于对角角线ACAC和和BDBD反反对称称由平衡条件可得：由平衡条件可得：.