数图第6章小波变换ppt课件

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1、数字图像处置根底数字图像处置根底 Digital Image Processing第六章第六章 小波变换小波变换小波小波wavelete变换：变换： 上一世纪上一世纪80年代以来开展起来的一种部分化时频域分析方法，年代以来开展起来的一种部分化时频域分析方法， 具有傅立叶变换、具有傅立叶变换、Gabor变换等所不具备的优良特性：变换等所不具备的优良特性： 如多尺度分解性、时频结合分析、方向选择、对象的自顺应性等。如多尺度分解性、时频结合分析、方向选择、对象的自顺应性等。 以多尺度分解为中心特性，和人的视觉特性非常类似。以多尺度分解为中心特性，和人的视觉特性非常类似。主要内容：主要内容： 从傅里叶

2、变换、短时傅里叶变换到小波变换的演化；从傅里叶变换、短时傅里叶变换到小波变换的演化； 信号空间实际和多分辨率分析实际；信号空间实际和多分辨率分析实际； 三种根本方式：延续小波变换三种根本方式：延续小波变换(CWT)、小波级数展开和离散小波变换、小波级数展开和离散小波变换(DWT)； 将一维小波变换推行到二维；将一维小波变换推行到二维； 小波变换在图像处置中的几种运用。小波变换在图像处置中的几种运用。第第1 1节节 从傅立叶变换到小波变换从傅立叶变换到小波变换 1傅立叶傅立叶变换的局限的局限1傅立叶傅立叶积分分变换：对延延续非周期函数非周期函数f(x) (6.1) (6.2) 2傅立叶傅立叶级数

3、展开：数展开：对延延续周期周期为L的函数的函数f(t) (6.3) (6.4)3离散傅立叶离散傅立叶变换：对周期周期为N的离散序列函数的离散序列函数f(n) (6.5) (6.6) 傅立叶傅立叶变换是一种映射，将是一种映射，将时域信号映射到域信号映射到频域，域，构成傅立叶构成傅立叶频谱， 确立了信号波形确立了信号波形f(t)和信号和信号频谱F()之之间的的严厉对应关系，关系， 有能有能够将将时域内域内难以以显现的特征在的特征在频域中非常清楚域中非常清楚地凸地凸显出来。出来。频域域离散化，离散化，频域域积分分换为求和运算，求和运算，时域积分换为求和运算，时域积分换为求和运算，时域离散化，时域离散

4、化，傅立叶傅立叶变换的缺乏之的缺乏之处：1 1时频分分别 傅立叶傅立叶变换的的f(t)f(t)与与F()F()间的彼此相的彼此相对独立，没有将独立，没有将时、频信息信息组合合在一个域：在一个域： 频谱函数函数F()F()中恣意一个中恣意一个频率分量是全体率分量是全体时域函数域函数f(t)f(t)的的积分奉献，分奉献， 时域函数域函数f(t)f(t)中恣意一个中恣意一个时间分量是全体分量是全体频谱函数函数F()F()的的积分奉献。分奉献。 在在频谱中不容易得到它的中不容易得到它的时间信息，在信息，在时域波形中不容易得到它的域波形中不容易得到它的频谱信息。信息。2 2基函数非基函数非紧支支 在在线

5、性性变换中，中，变换系数系数，表示，表示f(t)f(t)和和h(t)h(t)的的类似程似程度。度。 在傅立叶在傅立叶变换的基函数的基函数为复正弦波曲复正弦波曲线，从，从+到到-，非，非紧支集支集not not compactcompact；不能有效地表示部分的、短；不能有效地表示部分的、短暂的的时变语音信号、音信号、图像信号、地像信号、地震信号等。震信号等。(2(2 时频时频分析分析 为为抑制傅立叶抑制傅立叶时频时频分析相分析相对对独立性的缺陷，独立性的缺陷， 在傅立叶在傅立叶变换变换中加上中加上宽宽度度较较窄的窄的“窗函数，如窗函数，如HanningHanning窗、窗、GaborGabor

6、窗等。窗等。 随着随着时间时间窗的挪窗的挪动动，频频域出域出现现的是的是这这一窗内信号的一窗内信号的频频率分量，率分量， 傅立叶傅立叶频频域自然就域自然就带带上了上了时间时间信息，构成了信息，构成了时间时间和和频频率的二率的二维维表示。表示。频率频率时间时间图图6.2 五线谱的时频表示五线谱的时频表示音乐五线谱表示，音乐五线谱表示，一个生动的时频变化信号。一个生动的时频变化信号。时频分析例如时频分析例如t1t2t时窗时窗低频分量多低频分量多时窗时窗高频分量多高频分量多f(t)F()12t2t10对应对应t1t1时窗时窗图图6.1 傅立叶时频分析表示图傅立叶时频分析表示图对应对应t2t2时窗时窗

7、3Gabor变换 可挪可挪动的窗函数的窗函数g(t-)和信号和信号f(t)相乘，得到加窗后信号的傅相乘，得到加窗后信号的傅立叶立叶频谱。 (6.7) 窗口函数窗口函数g(t)有多种有多种选择，如，如选高斯函数，那么高斯函数，那么为 Gabor变换， 信号信号f(t)的的Gabor变换实践上是践上是f(t)g(t-)的傅立叶的傅立叶变换： (6.8) Gabor反反变换： (6.9)2t tg(t)2 G()图图6.3 Gabor窗口函数的时域和频域波形窗口函数的时域和频域波形 信号的信号的Gabor变换： 实践上是践上是f(t)中以中以为中心、中心、宽度度为2t 的部分的部分时间内的内的频谱特

8、性，特性， 窗口窗口宽度度2t 决决议了了Gabor变换的的时间分辨率；分辨率； 窗口窗口频宽2决决议了了Gabor变换的的频域分辨率。域分辨率。 Gabor变换特性特性: 经过窗函数可以反映信号在恣意部分范窗函数可以反映信号在恣意部分范围内的内的频域特性。域特性。 Gabor变换中：中： 信号的信号的时间分辨率和分辨率和频率分辨率，它是由窗口函数决率分辨率，它是由窗口函数决议的，的， 一旦窗函数一旦窗函数选定，其定，其时窗窗宽度度t和和频窗窗宽度度就已确定，就已确定， 既不随既不随时间挪挪动改改动，也不随，也不随频率率高低而改高低而改动。4时宽与与频宽 在在时频分析中，希望加分析中，希望加强

9、时域和域和频域的局部分析才干，即域的局部分析才干，即t 和和尽量小。但尽量小。但选定了固定的窗函数后，定了固定的窗函数后，Gabor分析遭到分析遭到Heisenberg 测不准原理限制：不准原理限制： (6.10) 固定固定时窗限制了窗限制了频窗窗变窄，在整个窄，在整个时频面上，面上，时窗和窗和频窗的窗的宽度度不不变。 要抑制要抑制这一限制，做到自一限制，做到自顺应改改动可挪可挪动的窗函数的的窗函数的宽度：度： 分析高分析高频信号信号时，时域域变化猛烈，可采用窄化猛烈，可采用窄时窗，窗，频域窗口域窗口较宽，提高提高频域分辨力；域分辨力； 分析低分析低频信号信号时，时域域变化化缓慢，可采用慢，可

10、采用宽时窗，窗，频域窗口域窗口较宽，提高，提高时域分辨力。域分辨力。 这样的思的思绪，实践上就是引起小波践上就是引起小波变换的最根本的的最根本的动因。因。5小波小波变换(Wavelet Transform) 用用“小波小波基替代傅立叶小波小波基替代傅立叶变换的的“大波正弦基。大波正弦基。 小波基函数种小波基函数种类多，有多，有频率的率的变化，有位置的化，有位置的变化，化，顺应各种各种瞬瞬时信号。信号。 小波的两个特征，小波的两个特征，“小与小与“波。波。 “小具有快衰减性，在小具有快衰减性，在时间域上具有域上具有紧支集支集compact或近似或近似紧支集；支集； “波具有波具有动摇性，其振幅正

11、性，其振幅正负相相间的震的震荡方式，方式，频谱的的直流分量直流分量为零。零。 经过伸伸缩和平移运算和平移运算对信号逐信号逐渐进展多尺度展多尺度细化：化： 到达高到达高频处时间细分，低分，低频处时间粗分，自粗分，自动顺应时频信号信号分析的要求，分析的要求， 可聚焦到信号的恣意可聚焦到信号的恣意细节，小波，小波变换称称为“数学数学显微微镜。(a) 正弦基函数正弦基函数(b) 小波基函数小波基函数图图6.4 傅立叶和小波基函数的对比傅立叶和小波基函数的对比第第2 2节节 信号空间信号空间 1.间间隔空隔空间间 空空间间两元素之两元素之间间间间隔的定隔的定义义： 设设集合集合X中恣意两个元素中恣意两个

12、元素x与与y都都对应对应一个一个实实数数 ，且，且满满足足下面下面3个条件：个条件： 非非负负性：性： 对对称性：称性： 三角不等式：三角不等式： 那么那么 为为x与与y之之间间的的间间隔，称隔，称X是以是以 为间为间隔的隔的间间隔空隔空间间。间间隔是隔是标标量。量。 常常见见的几种的几种间间隔定隔定义义如下，它如下，它们们都符合都符合间间隔定隔定义义的三的三项项要求：要求： 1 n 维实维实数空数空间间R n 中欧氏中欧氏间间隔：隔： (6.11)2n 维实数空间维实数空间R n 中最大绝对间隔定义：中最大绝对间隔定义： (6.12)3 延续函数空间延续函数空间Ca,b中的间隔定义：中的间隔

13、定义： (6.13)4 平方可积函数空间中的间隔定义：平方可积函数空间中的间隔定义： (6.14)5 平方可和离散序列空间平方可和离散序列空间 中间隔定义：中间隔定义： (6.15)以上式中以上式中x、y皆为皆为n 维矢量维矢量2.线线性空性空间间 设设X为为一非空集合，假一非空集合，假设设在在X中中规规定了定了线线性运算性运算 元素元素的加法和元素的乘法的加法和元素的乘法 ，且，且满满足相足相应应的加法的的加法的结结合律及合律及数乘的分配律，那么称数乘的分配律，那么称X为为一一线线性空性空间间。 1 线线性性赋赋范空范空间间 在在线线性空性空间间中定中定义义“长长度度 范数，范数，norma

14、l 概念，使其概念，使其可度量：可度量： 设设X为线为线性空性空间间，假，假设对设对于恣意于恣意 有一确定的有一确定的非非负实负实数数 与之与之对应对应，且，且满满足：足： 非非负负性：性： 常数相乘：常数相乘： 三角不等式：三角不等式： 那么称那么称 为为 x 的范数，的范数，X为线为线性性赋赋范空范空间间。如在如在Rn空空间，几种常，几种常见范数范数 1范数范数 2范数范数 范数范数 由范数可以由范数可以诱导间隔，令隔，令 ，因此，因此线性性赋范空范空间一定是一定是间隔隔空空间。2巴拿赫空巴拿赫空间Banach 假假设空空间X中任一柯西中任一柯西(Cauchy)序列都有极限，且此极限都在序

15、列都有极限，且此极限都在X中，中， 那么那么该空空间是完是完备的的(completed)，完，完备的的线性性赋范空范空间称之称之为巴拿赫空巴拿赫空间。 柯西序列柯西序列 是指当是指当 时， 。(Euclid范数范数)3内内积空空间 在在线性性赋范空范空间引入内引入内积 “角度角度 概念，定概念，定义如下：如下： 设X为复数域复数域C上的上的线性空性空间，假，假设在在Descartes积空空间XX中定中定义一个一个 实函数函数 ， 对恣意恣意 ，都有独一的，都有独一的 与之与之对应，且，且满足：足： 非非负性：性： 对称性：称性： 分配性：分配性： 那么称函数那么称函数 为X 中的内中的内积，定

16、，定义了内了内积的空的空间X 称之称之为内内积空空间。延续函数内积：延续函数内积： 离散序列内积：离散序列内积： 在内积空间中，假设定义范数为在内积空间中，假设定义范数为 ，那么是由内积诱导的范数；，那么是由内积诱导的范数； 假设定义间隔为假设定义间隔为 ，那么此内积空间必为线，那么此内积空间必为线性性 赋范空间。赋范空间。4希尔伯特空间希尔伯特空间Hilbert完备的内积空间称之为希尔伯特空间：完备的内积空间称之为希尔伯特空间：假设内积空间假设内积空间X按范数按范数 完备，那么称完备，那么称X为为Banach空间。空间。3.正交基和框架正交基和框架 1正交基正交基 1函数序列张成的空间函数序

17、列张成的空间 设设 为一函数序列，为一函数序列，X表示表示 一切能够一切能够的线性组合张成的集合，即的线性组合张成的集合，即 6.16 称称X为由函数序列为由函数序列 张成的线性空间，对恣意张成的线性空间，对恣意函数函数 ，都有，都有 6.17 2基底基底basis 假设假设 是线性无关的，使得对恣意是线性无关的，使得对恣意 ，上，上式中系数式中系数 取独一值，取独一值， 那么我们称那么我们称 为空间为空间X的一个基底。的一个基底。3 完完备规备规范正交基范正交基假假设设内内积积空空间间X中，中，对对恣意恣意 ，假，假设设 ，那么称，那么称 为为正正交的，交的，用用 表示表示 。依次。依次类类

18、推，假推，假设设内内积积空空间间X中的基底中的基底满满足足 ，当，当c=1时时， 6.18 那么称那么称 为为X中的中的规规范范 归归一化一化 正交基。正交基。进进一步：一步：对对于于X中的中的规规范正交基范正交基 ，假，假设设 ， ，n=1,2,n，那么，那么必有必有 。换换言之，言之，X 中不再存在非中不再存在非0元素，它与一切的元素，它与一切的 正交，正交， 那么称那么称 为为 X 中的完中的完备规备规范正交基。范正交基。4双正交基双正交基 有时有时X中的基底中的基底 之间并不满足正交关系，可引入对偶基之间并不满足正交关系，可引入对偶基 ： 6.19 基底和其对偶基元素之间相互正交，对恣

19、意基底和其对偶基元素之间相互正交，对恣意 ，可用它们展开：，可用它们展开： 6.20 正交性存在于基正交性存在于基 和对偶基和对偶基 之间双正交基。之间双正交基。e1=(1, 0)x2e2=(2, 3)g2=(0, 1/3)g1=(1, -2/3)x1图图6.5 二维空间的双正交基例如二维空间的双正交基例如2框架框架frame 对一函数序列一函数序列 ，如各个元素互不独立，那么称之，如各个元素互不独立，那么称之为“框架；框架； 框架展开系数有一个能量限制，必需框架展开系数有一个能量限制，必需满足下述定足下述定义： 设Hilbert空空间H中的一个函数序列中的一个函数序列 ，假，假设对于恣意于恣

20、意 ， 存在存在实数数 ，使得下述不等式成立：，使得下述不等式成立： 6.21 那么称那么称 为框架，框架，A、B为框架的上下界。框架的上下界。 (6.22) 紧框架普通并非正交，当框架普通并非正交，当A=B=1时，紧框架退化框架退化为规范正交范正交基。基。假设假设A=B，为紧框架为紧框架函数函数g(t)的框架的框架展开不是独一的。展开不是独一的。第第3 3节节 多分辨率分析多分辨率分析 多分辨率分析多分辨率分析MRA，Multi-Resolution Analysis 现代信号处置中的一个重要的概念。现代信号处置中的一个重要的概念。 例如，不同比例的地图就构成了一套典型的多分辨率图形：例如，

21、不同比例的地图就构成了一套典型的多分辨率图形： 全国地图，可以分辨地形地貌山川、湖泊等的主要特征，但无法分辨全国地图，可以分辨地形地貌山川、湖泊等的主要特征，但无法分辨细节；细节； 城市地图，可以分清部分细节街道、广场和公园等，但无法看到大特城市地图，可以分清部分细节街道、广场和公园等，但无法看到大特征。征。 再如，照相机镜头不同拉伸再如，照相机镜头不同拉伸zoom时构成的一套多分辨率照片：时构成的一套多分辨率照片： 当镜头拉远时，我们看到的大局面，可以分辨大的特征，但看不清细节；当镜头拉远时，我们看到的大局面，可以分辨大的特征，但看不清细节； 当镜头拉近时，可以看清细节，但看不清大特征。当镜

22、头拉近时，可以看清细节，但看不清大特征。小波基函数：小波基函数： a1时，时域变宽，便于表现大特征；时，时域变宽，便于表现大特征；a1时时，波形拉，波形拉宽宽，当，当0a1时时，波形，波形缩缩窄。窄。 b为为平移因子，平移因子，标标度波形在程度方向平移的位置。度波形在程度方向平移的位置。 平移因子平移因子b的存在，使得在小波的存在，使得在小波变换变换以后在以后在变变换换域中也保管了域中也保管了时间标时间标注。注。【例【例6.4】Marr小波基函数，小波基函数，又称墨西哥草帽函数，实践上是高斯函数的二阶导数。又称墨西哥草帽函数，实践上是高斯函数的二阶导数。0.867 -2 -1 0 1 2 x0

23、 sFT图图6. 10 Marr小涉及其频谱小涉及其频谱 2一维延续小波变换一维延续小波变换CWT 一维一维CWT ： 6.54 a 表示伸缩，表示伸缩，1/a相当于频率的概念，相当于频率的概念，b 表示平移，相当于时间的表示平移，相当于时间的概念。概念。 一维的函数经小波变换以后，变为二维的小波系数函数，是一维的函数经小波变换以后，变为二维的小波系数函数，是a、b的函数。的函数。 一维延续小波反变换一维延续小波反变换ICWT： 6.55 式中式中 相当于频率的增量。相当于频率的增量。 在小波变换中，正反变换核一样。在小波变换中，正反变换核一样。3二维延续小波变换二维延续小波变换 2D-CWT

24、： 6.56 2D-ICWT： 二维根本小波，二维根本小波， bx、by分别表示在分别表示在x方向和方向和y方向的位移。方向的位移。4延续小波变换的性质延续小波变换的性质 1线性叠加线性叠加 假设假设 ，那么，那么 6.57 2时移不变时移不变 假设假设f(x)的的CWT为为 ，那么，那么f(x-x0)的的CWT为为 6.58 3尺度转换尺度转换 假设假设f(x)的的CWT为为 ，那么，那么 的小波变换为的小波变换为 6.59 4内积定理内积定理Moyal 定理定理 假设假设f1(x)和和g(x)的的CWT分别为分别为 和和 ， 那么两个函数的内积为那么两个函数的内积为 6.60 2. 金字塔

25、分解金字塔分解 在小波在小波变换变换和三个方面技和三个方面技术术：金字塔分解，：金字塔分解，带带通通滤滤波波器器组组，子，子带滤带滤波。波。 拉普拉斯金字塔拉普拉斯金字塔图图像分析：像分析： 将将MM原原图图像像(V0层层)首先分解首先分解为为(M/2M/2)的的V1层图层图像，像， V1层图层图像分解像分解为为(M/4M/4)的的V2层图层图像，像，不断，不断分解到最后一分解到最后一层层 一个像素一个像素 。 金字塔分解金字塔分解实实践上就是践上就是图图像的多分辨率分析，每一像的多分辨率分析，每一层层图图像都表示某一个分辨率：像都表示某一个分辨率： 越小越小 高高层层 的的图图像分辨率越粗，

26、像分辨率越粗，细节细节成分越少，表成分越少，表征征图图像的大特征；像的大特征； 越大越大 低低层层 的的图图像分辨率越像分辨率越细细，细节细节成分越多，表成分越多，表征征图图像的小特征。像的小特征。 金字塔方式分解在下采金字塔方式分解在下采样样之前，采用之前，采用G-LPF对图对图像像进进展展滤滤波，限制波，限制滤滤波后波后图图像像带宽带宽。 一幅一幅图图像的金字塔分解的像的金字塔分解的结结果果为为f0 + f1 + f2 +， 分解后分解后总总的容量的容量为为： 金字塔分解表示图金字塔分解表示图f0 10241024f1 512512f2 256256f3 1281282:1行列行列下采样下

27、采样易找到易找到大特征大特征易找到易找到细节细节图图6.11 金字塔分解例如金字塔分解例如V0V1V2V3 二级分解二级分解/综合方法：和小波变换的多尺度分解综合方法：和小波变换的多尺度分解/综合方法的思绪一致，综合方法的思绪一致， 导致了一种小波变换的快速算法。导致了一种小波变换的快速算法。G-LPF2：1G-LPF2：1f 0f 0Hf 0Lf 1f 1Hf 1Lf 2图图6.12 拉普拉斯金字塔图像分解过程拉普拉斯金字塔图像分解过程3.滤滤波器族波器族 1 小波小波变换变换的的带带通等效通等效 小波基函数小波基函数 共共轭轭翻翻转转函数函数 6.61 CWT 6.62 小波小波变换变换

28、小波基函数小波基函数 * 共共轭轭翻翻转转函数函数 “小波小波变换变换变变成了成了“带带通通滤滤波波组组。 a=1，2，n 时滤时滤波器波器组组合在一同构成了小波合在一同构成了小波变换变换。图图6.13 一维带通滤波器组一维带通滤波器组2二维滤波器组二维滤波器组2-D filter banks 2D-CWT可用一组二维带通滤波器组来替代，可用一组二维带通滤波器组来替代， 滤波器组的一切的输出组成了的二维小波变换的结果，滤波器组的一切的输出组成了的二维小波变换的结果， 2D-CWT的结果是三维函数，存在冗余度，主要价值在图像的分的结果是三维函数，存在冗余度，主要价值在图像的分解和分析。解和分析。

29、 带通滤波器带通滤波器的冲激呼应的冲激呼应输入图像输入图像滤波输出滤波输出叠层叠层图图6.14 二维滤波器组二维滤波器组4.子带滤波子带滤波 子带滤波最初用于音频，后来开展运用到图像处置领子带滤波最初用于音频，后来开展运用到图像处置领域。域。 信号频谱低带信号频谱低带+高带高带 分别处置分别处置 处置后信号频谱处置后信号频谱低带低带ed+高带高带ed。 分别针对信号不同频带的特点进展处置，比对整体信分别针对信号不同频带的特点进展处置，比对整体信号进展处置有效。号进展处置有效。 分解以后的子带还可以进一步再分解，如此进展下去，分解以后的子带还可以进一步再分解，如此进展下去，就是小波分解方法。就是

30、小波分解方法。1子带分解和综合子带分解和综合图图6.15 双子带编码和重建双子带编码和重建2:1G0(z)分解分解G0 (z)1:2G1 (z)半长度半长度2:1G1(z)1:2H0(z)F (z)H1(z)Y (z)K1(z)K0(z)综合综合G0 (z)G1 (z) x(i)的的2抽取信号抽取信号 x(i)的的2插值信号插值信号 6.63 6.64 可得：可得： 6.65 6.66 输入和输出的关系参照图输入和输出的关系参照图6.15： 6.6712 Z变变换换 Z变变换换要使要使F(z)= Y(z)，方法之一是，方法之一是6.67式中以下式中以下2条件同条件同时成立：成立： 第第2项：

31、，保，保证没有没有频谱混叠；混叠； 第第1项： ，保，保证重建信号重建信号为F(z)。正交正交镜像像滤波器波器QMF，Quadrature Mirror Filter，在，在0sN区区间满足：足： 和和SN/2对称对称s0sN /2H1sNH0图图6.16 镜像滤波器镜像滤波器第第2项项0第第1项项2H0和和H1之间之间为镜像的关系为镜像的关系f (i)1D-FWT分解分解N点点1D-IFWT综合综合h0(i)2:1h1(i)2:1h0(i)2:1h1(i)2:1h0(i)2:1h1(i)2:1h0(i)1:2h1(i)1:2h0(i)1:2h1(i)1:2h0(t)1:2h1(i)1:2g1

32、(2i )g1(4i )g1(8i )f (i)低低 N/2点点低低 N/4点点低低N/8点点高高N/2点点高高N/4点点高高N/8点点图图6.17 Mallat快速小波变换算法快速小波变换算法2从子从子带滤波到小波波到小波变换 Mallat定定义了一种采用双子了一种采用双子带编码的快速小波的快速小波变换算法算法FWT， 如上如上图，又称，又称为“鱼骨算法骨算法herring bone algorithm。第第5 5节节 离散小波变换离散小波变换 1.参数的离散化参数的离散化 1离散小波变换离散小波变换 DWT，Discret Wavelet Transform 对小波延续变换的参数对小波延续

33、变换的参数a、b离散化，如离散化，如 a=a0j，b=ka0jb0 。 离散化小波函数：离散化小波函数： 6.68 离散小波变换为：离散小波变换为： 6.69 离散小波反变换为：离散小波反变换为： 6.702二进小波二进小波Dyadic Wavelet 设设a0=2，那么，那么a=2j，设，设b0=1，那么，那么b=2 jk，构成二进制平移和，构成二进制平移和伸缩。伸缩。 二进小波函数：二进小波函数： 6.71 二进小波变换：二进小波变换： 6.72 二进小波反变换：二进小波反变换： 6.73二进小波基函数的例如二进小波基函数的例如 b=4b=4b=3b=2b=2b=1b=0b=0b=0a=1

34、a=1/2a=1/2a=1/2a=1/4a=1/4a=1/4a=1/4a=1/4j=0-k=0j=-1-k=0j=-1-k=4j=-1-k=8j=-2-k=0j=-2-k=4j=-2-k=8j=-2-k=12j=-2-k=16x0 1 2 3 4 5图图6.18 二进小波表示图二进小波表示图3正交二进小波正交二进小波 假设二进小波函数假设二进小波函数 满足：满足： 6.74 那么称为正交小波集。那么称为正交小波集。 假设任一函数假设任一函数 f(x)，可由正交小波基的线性组合表示，也可称作，可由正交小波基的线性组合表示，也可称作小波级数：小波级数： 6.75f(x)的小波系数的小波系数3正交小

35、波基几例正交小波基几例 1Haar正交小波基正交小波基: 6.76 2Meyer正交小波基，其傅里叶变换为：正交小波基，其傅里叶变换为： 6.77 3二阶二阶Marr正交小波基正交小波基: 6.78 4Morlet复正交小波基复正交小波基: 6.79 频谱频谱 6.80 2.二维多分辨率分析二维多分辨率分析 用一维张量乘积构造的二维尺度空间，各维变量是相用一维张量乘积构造的二维尺度空间，各维变量是相互独立的。互独立的。 二维二维j 尺度空间为：尺度空间为： 6.81 假设假设 是是 Vj 的规范正交基，的规范正交基， 那么那么 是是 的规范正交基。的规范正交基。 6.82对应的尺度和小波函数由

36、由 构成的张量积二维构成的张量积二维MRA：12 6.843 6.854 图图6.19 二维二维MRA空间表示图空间表示图6.866.833.二维离散小波变换二维离散小波变换 二维尺度向量二维尺度向量 二维尺度函数二维尺度函数 可可分别分别 一维尺度函数一维尺度函数 小波函数小波函数 4个根本小波个根本小波: 由此可建立二维二进小波函数集：由此可建立二维二进小波函数集： 6.871二二维小波正小波正变换 NN的的图像像f1(x,y)，N=2 i ，二，二维离散小波离散小波变换的第一的第一层分解分解j=1如下：如下： 6.88 6.89 6.90 6.91 当当j=2时，可以不断分解下去。，可以

37、不断分解下去。 详细运算运算时，在行和列两个方向上的，在行和列两个方向上的间隔抽隔抽样后依次做下去。后依次做下去。【例【例6.6】图像的三层小波分解实践过程如图】图像的三层小波分解实践过程如图6.20所示。所示。 (a) 一层小波分解的计算一层小波分解的计算h0(-x)h1(-x)h0(-x)h1(-x)h0(-x)h1(-x)f1(x,y)W10(x,y)W11(x,y)W12(x,y)W13(x,y) 列处置列处置 丢奇数行丢奇数行行处置行处置 丢奇数列丢奇数列2:12：12：1图图6.20 图像小波分解的例如图像小波分解的例如2：12：1W20 W12 W11 W13 W22 W21 W

38、23 j=2层次层次W40 W12 W11 W13 W22 W21 W23 j=3层次层次(b) 三层小波分解的表示图三层小波分解的表示图f1(x,y)W10 W12 W11 W13 j=1层次层次2：1原图像原图像 图图6.20 6.20 图像小波分解的例如图像小波分解的例如(c) 二层小波分解结果二层小波分解结果2二维小波逆变换二维小波逆变换 二维小波逆变换二维小波逆变换IDWT过程和正变换相反，其中一层的计算如过程和正变换相反，其中一层的计算如图图6.21所示。所示。4f1(x,y)W10(m,n)列插列插0行插行插0卷积行卷积行卷积列卷积列图图6.21一次小波反变换表示图一次小波反变换

39、表示图h0(m)h1(m)h0(m)h1(m)h0(n)h1(n)W11(m,n)W12(m,n)W13(m,n)1:21:21:21:21:21:24.双正交小波变换双正交小波变换 可以证明：除了可以证明：除了Haar小波外，不存在实的、规范正交小波外，不存在实的、规范正交的小波函数，的小波函数， 同时具有紧支性以及对同时具有紧支性以及对称、反对称性。称、反对称性。 在小波变换中，看重小波函数的紧支性和对称性，宁在小波变换中，看重小波函数的紧支性和对称性，宁可适当牺牲正交性，可适当牺牲正交性， 往往采用双正交小波替代正交小波。往往采用双正交小波替代正交小波。 小波正变换用小波基小波正变换用小

40、波基 反变换用对偶基反变换用对偶基 小波分解小波分解 ，小波重建，小波重建 小波分解小波分解 ，小波重建，小波重建两者之间双正交两者之间双正交两种两种方法方法任选任选1一维双正交小波变换一维双正交小波变换 一维双正交小波变换，一维双正交小波变换，4个离散滤波器，滤波器需满足下述条件：个离散滤波器，滤波器需满足下述条件： 6.92 6.93用用4个滤波器实现个滤波器实现f(x)双正交小波变换中的一次分解与重建的过程。双正交小波变换中的一次分解与重建的过程。2个高通个高通滤波器滤波器2个低通个低通滤波器滤波器分解分解 重建重建 f(x)f(x) 图图6.22 双正交变换表示图双正交变换表示图2二维

41、双正交小波变换二维双正交小波变换 将一维双正交变换的方法直接推行到二维：将一维双正交变换的方法直接推行到二维： 正变换采用的正变换采用的4个二维小波基函数个二维小波基函数 反变换采用的反变换采用的4个二个二维对偶基函数维对偶基函数第第6 6节节 小波的选取及运用小波的选取及运用 1.1.小波的小波的选选取取 小波基函数的小波基函数的选择选择： 小波小波变换变换不是固定基函数的不是固定基函数的变换变换，不一定是正交，不一定是正交变变换换，不，不强强求是求是“单单正交基；正交基； 只需符合一定的条件就可以用作小波只需符合一定的条件就可以用作小波变换变换的基函的基函数，其数，其选择选择具有很大的灵敏

42、性；具有很大的灵敏性； 并非一切的小波基都适宜于并非一切的小波基都适宜于图图像像处处置，不同的基置，不同的基函数函数对处对处置的效果有很大影响。置的效果有很大影响。 选择选择思索：思索： 思索待思索待处处置信号本身的特点：置信号本身的特点：图图像，像，视频视频， 思索到运用的思索到运用的场场所：所：紧缩紧缩，去噪，恢复，交融，去噪，恢复，交融，检测检测，1 1正交性正交性 小波变换：原始图像与小波基函数、尺度函数的内积运算。小波变换：原始图像与小波基函数、尺度函数的内积运算。 如如MallatMallat算法，小波基际上就是正交或双正交镜像算法，小波基际上就是正交或双正交镜像滤波器滤波器(QM

43、F )(QMF )。 规范正交小波基，图像多尺度分解得到的各子带数据分别落在规范正交小波基，图像多尺度分解得到的各子带数据分别落在相互正交的子相互正交的子 空间，此特性有利于小波分解系数的准确重空间，此特性有利于小波分解系数的准确重构。构。 但大部分正交小波基是不是紧支的，不利于滤波计算，但大部分正交小波基是不是紧支的，不利于滤波计算， 因此，在图像处置中常选用双正交小波基：因此，在图像处置中常选用双正交小波基： 双正交只需求两个小波系之间正交，要求放宽，范围加大，双正交只需求两个小波系之间正交，要求放宽，范围加大，不添加计算负担。不添加计算负担。 如如MallatMallat方法，双正交是指

44、：低通分析滤波器方法，双正交是指：低通分析滤波器 和和 高通重建高通重建滤波器滤波器 正交，正交， 低通重建滤波器低通重建滤波器 和和 高通分析滤波器高通分析滤波器 正交。正交。2 2紧支集支集 紧支集：小波基函数支集：小波基函数(t)(t)在有限区域外皆在有限区域外皆为0 0； 急降：当急降：当tt时， (t) (t)快速衰减或具有指数快速衰减或具有指数规律衰减。律衰减。 紧支性的益支性的益处： 紧支支宽度越窄或衰减越快，小波的部分化特性越好；度越窄或衰减越快，小波的部分化特性越好； 紧支小波分解可以用支小波分解可以用FIRFIR滤波器波器实现，运算精度，运算精度较高。高。 非非紧支撑小波在

45、运算支撑小波在运算时必需截短。必需截短。 但：一个函数不能但：一个函数不能够在在时域和域和频域都是域都是紧支的，支的， 最多在一个域是最多在一个域是紧支的，另一个域是急衰的。支的，另一个域是急衰的。 普通希望小波基可以在普通希望小波基可以在时域上具有域上具有紧支性。支性。3 3对称性对称性 人类视觉系统对图像的边缘比较敏感，希望滤波器是紧支、对人类视觉系统对图像的边缘比较敏感，希望滤波器是紧支、对称或反对称；称或反对称； 非对称滤波器的非线性相位特性易导致图像边缘的错位；非对称滤波器的非线性相位特性易导致图像边缘的错位； 大多数的实践图像处置要求滤波器具备线性相位特性。大多数的实践图像处置要求

46、滤波器具备线性相位特性。 对称的滤波器：构造具有运算简单、便于边境处置的优点。对称的滤波器：构造具有运算简单、便于边境处置的优点。 但紧支集的小波普通不具有对称性：但紧支集的小波普通不具有对称性： 除除HarrHarr小波外，一切具有紧支集的规范正交小波基函数及小波外，一切具有紧支集的规范正交小波基函数及其尺度函数其尺度函数 都不能够是对称或反对称的。都不能够是对称或反对称的。 因此，往往只能放松对正交性的要求，采用双正交小波基来坚因此，往往只能放松对正交性的要求，采用双正交小波基来坚持线性相位。持线性相位。4 4正那么性正那么性regularizationregularization 正那么

47、性：函数光滑程度，函数正那么性：函数光滑程度，函数频域能量集中程度的一种度域能量集中程度的一种度量。量。 函数的正那么性的定函数的正那么性的定义： 设0101，假，假设对于恣意于恣意 t t、RR有有 (6.94)(6.94) 其中其中c c是一个与是一个与t t、无关的常数。无关的常数。 假假设(t)(t)的的N N阶导数数满足上式，且足上式，且r=N+r=N+，那么称，那么称(t)(t)的正那么性的正那么性阶数数为r r。 正那么性正那么性阶数数r r越大，意味着越大，意味着(t)(t)越光滑，其越光滑，其频域的能量越域的能量越集中。集中。 小波基的正那么性要求和小波基的正那么性要求和紧支

48、集要求相冲突：支集要求相冲突： 支撑集越大，正那么性光滑度越好；但小波基支撑集越大，正那么性光滑度越好；但小波基的部分化特性越差。的部分化特性越差。5 5消逝矩消逝矩vanishing momentsvanishing moments 对于大部分正交小波基，正那么性越高就意味着具有更高的消于大部分正交小波基，正那么性越高就意味着具有更高的消逝矩。逝矩。 (t) (t)的的k k阶矩矩: : kZ=0 kZ=0，1 1，n-n-1 (6.95)1 (6.95) 假假设(t)(t)的前的前N N阶矩都等于零，那么称矩都等于零，那么称(t)(t)的消逝矩的消逝矩为N N。 当当N= 0N= 0，有，

49、有 ，阐明明(t)(t)是是一个迅速衰减且均一个迅速衰减且均值为0 0的小波。的小波。 消逝矩的大小决消逝矩的大小决议了用小波逼近光滑函数的收了用小波逼近光滑函数的收敛程度：程度： 图像越是光滑，消逝矩越是高，像越是光滑，消逝矩越是高，导致小波系数越是小。致小波系数越是小。 消逝矩消逝矩阐明了小波明了小波变换后能量的集中程度：后能量的集中程度： 消逝越矩大的小波基，分解后消逝越矩大的小波基，分解后图像的能量就越集中，像的能量就越集中，紧缩的空的空间就越大。就越大。 结论：所：所选的小波基必需具有足的小波基必需具有足够高的消逝矩。高的消逝矩。 小小结： 在在图像像处置中，并不存在置中，并不存在对

50、任何任何图像像处置都能适用的置都能适用的“最最优小波；小波； 各各项要求之要求之间往往相互矛盾，只能根据往往相互矛盾，只能根据详细的运用要求来合理的运用要求来合理选择小波基。小波基。 1 1小波基的小波基的对称性，具有称性，具有对称性的双正交小波普通具有称性的双正交小波普通具有较好的性能，好的性能，应尽量尽量选用。用。 2 2小波基的小波基的紧支性，可以思索非支性，可以思索非对称、称、紧支、双正交小波；支、双正交小波； 3 3小波基的正那么性，正那么性小波基的正那么性，正那么性较高高对于光滑于光滑图像自然像自然图像有着像有着较好好的的处置效果。置效果。 4 4 Harr Harr小波，假小波，

51、假设图像数据跳像数据跳变成分多，也可成分多，也可选择计算算简单的的HarrHarr小波。小波。2.2.小波变换的提升算法小波变换的提升算法 (lifting) (lifting) 传统算法：基于卷积的离散小波变换计算量大，对存储传统算法：基于卷积的离散小波变换计算量大，对存储空间的要求高，空间的要求高， 如如MallatMallat的分解方法中的分解方法中 2 2：1 1 的下采样意味着卷积的下采样意味着卷积计算中有一半是无意义的。计算中有一半是无意义的。 提升算法：不依赖于提升算法：不依赖于DFTDFT，在空间域内完成了对双正交，在空间域内完成了对双正交小波滤波器的构造。小波滤波器的构造。

52、一切可以用一切可以用MallatMallat算法实现的小波都可以用提升算算法实现的小波都可以用提升算法来实现；法来实现； 可实现整数到整数的小波变换，以利于计可实现整数到整数的小波变换，以利于计算机运算。算机运算。 根本思想：经过一个根本小波，逐渐构建出一个性能更根本思想：经过一个根本小波，逐渐构建出一个性能更加良好的新小波。加良好的新小波。 根本方法：运用根本多项式插补来获取信号的高频分量根本方法：运用根本多项式插补来获取信号的高频分量di di 系数，系数， 经过构建尺度函数来获取信号经过构建尺度函数来获取信号的低频分量的低频分量fi fi 系数。系数。提升算法的三个步骤：分裂提升算法的三

53、个步骤：分裂splitsplit，预测，预测predictpredict，更新，更新updateupdate。1 1分裂：分裂： f0 f0按像素的奇偶号被分裂成两部分：按像素的奇偶号被分裂成两部分： 偶数标号的偶数标号的f0e f0e 和奇数标号的和奇数标号的f0of0o， 要求它们具有尽能够大的部分相关性。要求它们具有尽能够大的部分相关性。2 2预测：预测： 用预测函数用预测函数P P，由偶数值来预测奇数值：，由偶数值来预测奇数值： (6.93) (6.93) 预测函数预测函数P P可以是一种插值运算，可以是一种插值运算， 如由奇偶数点插出奇数点。如由奇偶数点插出奇数点。 计算奇数点和奇数

54、预测点之差，构成图像的第一层小波分量计算奇数点和奇数预测点之差，构成图像的第一层小波分量d1d1： (6.94) (6.94)分分裂裂S预预测测P更更新新U图图6.23 小波提升步骤小波提升步骤f1f 0f0ed1f0o3 更新：更新： 寻觅寻觅第一第一层层小波的概貌部分小波的概貌部分f1， 对对于某一个量度于某一个量度规规范范Q( )，使得：，使得：Q(f1)=Q( f0)。如，两者均。如，两者均值值相等，或能量相等。相等，或能量相等。 构造更新操作构造更新操作U，用曾，用曾经计经计算出来的小波算出来的小波值值d1来更新来更新 f0e ，得到，得到满满足上式的足上式的f1。 (6.95) 更

55、新的本更新的本质质就是找到奇偶数据之就是找到奇偶数据之间间的共性的共性图图像小波的低像小波的低频频成分。成分。小波第一小波第一层层分解：分解：经过经过分裂、分裂、预测预测、更新，、更新， 由原由原图图像像 f0 产产生小波低生小波低频频分量分量 f1 和小波高和小波高频频分量分量 d1 ；第二第二层层小波分解：小波分解：经过经过分裂、分裂、预测预测、更新，、更新， 由第一由第一层层分解得到的概貌分解得到的概貌图图像像 f1 产产生小波低生小波低频频分量分量 f2 和小波高和小波高频频分量分量 d2 ；经过经过反复反复n次，完成次，完成n层层小波分解。小波分解。3.3.小波小波变换变换的运用的运

56、用 1 1 图图像去噪和加像去噪和加强强 小波去噪：利用小波小波去噪：利用小波变换变换的的时频时频部分化特性，有效部分化特性，有效地消除地消除图图像中的噪声。像中的噪声。 传统传统的去噪的去噪滤滤波：信号和噪声的波：信号和噪声的频带频带重叠，信号同噪重叠，信号同噪声声难难以分开。以分开。 小波小波变换变换非非线线性性滤滤波：信号和噪声的波：信号和噪声的频谱频谱重叠，但重叠，但频频谱谱的幅度是不同的。的幅度是不同的。 小波系数的模极大小波系数的模极大值值： 信号突信号突变处产变处产生的小波系数，模极大生的小波系数，模极大值值随着尺度随着尺度的添加而逐的添加而逐渐渐添加，添加， 噪声噪声产产生的小

57、波系数，由于噪声的广泛分布，其生的小波系数，由于噪声的广泛分布，其模极大模极大值值普通幅度普通幅度较较小，小， 且随着尺度的添加而逐且随着尺度的添加而逐渐渐减小。减小。 据此，据此，设设置一置一阈值阈值，对对那些模极大那些模极大值值逐逐渐渐减小的小波减小的小波系数系数进进展消除、减少。展消除、减少。 小波加小波加强： 首先，用小波首先，用小波变换，将，将图像分解像分解为大小位置和方向不同的分量；大小位置和方向不同的分量； 然后，然后，对感感兴趣的分量趣的分量进展展处置，如置，如对其中的高其中的高频分量分量进展加展加强处置；置； 最后，再最后，再进展小波反展小波反变换完成完成图像加像加强的的义务

58、。2 2图像边缘检测图像边缘检测 常规边缘检测：在空域利用图像边缘点处的灰度阶跃变化进展常规边缘检测：在空域利用图像边缘点处的灰度阶跃变化进展边缘检测，边缘检测， 当图像边缘灰度变化较弱有，或存在噪声干扰时，检测效当图像边缘灰度变化较弱有，或存在噪声干扰时，检测效果受限。果受限。 小波域边缘检测：小波系数模的极大值点对应于信号的突变点，小波域边缘检测：小波系数模的极大值点对应于信号的突变点， 可经过检测系数模极大值点来确定图像的边可经过检测系数模极大值点来确定图像的边缘。缘。 图像边缘和噪声在不同尺度上的小波系数具有不同的特性，图像边缘和噪声在不同尺度上的小波系数具有不同的特性， 在大尺度上，

59、边缘比较稳定，对噪声不敏感，但定位精度在大尺度上，边缘比较稳定，对噪声不敏感，但定位精度较差；较差； 在小尺度上，边缘细节信息丰富，定位精度较高，但对噪在小尺度上，边缘细节信息丰富，定位精度较高，但对噪声比较敏感。声比较敏感。 因此，在多尺度边缘提取中，对各尺度上的边缘图像进展综合，因此，在多尺度边缘提取中，对各尺度上的边缘图像进展综合，以得到准确的单像素宽的边缘。提高边缘检测的定位精度与抗噪以得到准确的单像素宽的边缘。提高边缘检测的定位精度与抗噪性能。性能。3 3图像交融图像交融 图像交融：将不同方法获取的同一场景的图像数据进展空间配图像交融：将不同方法获取的同一场景的图像数据进展空间配准，

60、准， 采用交融算法将各个图像的优点有机地结合起来，采用交融算法将各个图像的优点有机地结合起来，产生新图像，产生新图像， 以提高对图像的信息分析和提取才干。以提高对图像的信息分析和提取才干。 目前，基于小波变换的图像交融技术是研讨的主流。目前，基于小波变换的图像交融技术是研讨的主流。 例如，低分辨率多光谱图像和高分辨率全色图像的交融：例如，低分辨率多光谱图像和高分辨率全色图像的交融： 充分利用多光谱图像的光谱信息与全色图像的细节信充分利用多光谱图像的光谱信息与全色图像的细节信息，息， 使交融后的多光谱图像具有较高的空间细节表现才干，使交融后的多光谱图像具有较高的空间细节表现才干， 较好地坚持原始

61、多光谱图较好地坚持原始多光谱图像的光谱特性。像的光谱特性。图图6.246.24用图用图(b)(b)所示的高空间分辨率的全色图像的细节分量替代图所示的高空间分辨率的全色图像的细节分量替代图(a)(a)低空间分辨率的低空间分辨率的多光谱图像的细节小波分量，然后对多光谱图像的小波系数进展小波逆变换，得到多光谱图像的细节小波分量，然后对多光谱图像的小波系数进展小波逆变换，得到交融的多光谱图像，如图交融的多光谱图像，如图(c)(c)所示。所示。(a)多光谱图像多光谱图像 (b)高分辨率图像高分辨率图像 (c)交融后的图像交融后的图像 图图6.24 图像交融一例图像交融一例4 4数字水印数字水印 小波域水

62、印：利用小波小波域水印：利用小波变换具有具有时频部分性和多分辨部分性和多分辨率特性，率特性， 小波水印的嵌入和提取都是在小波域中小波水印的嵌入和提取都是在小波域中进展的。展的。 关关键：小波的：小波的类型、水印的型、水印的选取、水印嵌入的取、水印嵌入的强度和度和位置等，位置等， 都会影响水印系都会影响水印系统的的鲁棒性和棒性和视觉可可见性。性。 小波域水印方法的小波域水印方法的优点：点： 小波多分辨率分析与人眼小波多分辨率分析与人眼视觉特性一致，据此特性一致，据此选择适当的水印嵌入位置和适当的水印嵌入位置和强度。度。 可在可在紧缩域中直接嵌入水印，使得域中直接嵌入水印，使得JPGE-2000J

63、PGE-2000等有等有损紧缩下水印下水印难以被去除。以被去除。5 5图像紧缩图像紧缩 小波图像紧缩：小波变换可以将信号能量集中在少数小波系数小波图像紧缩：小波变换可以将信号能量集中在少数小波系数上，上， 经过量化可紧缩图像数据，高紧缩比图像质量经过量化可紧缩图像数据，高紧缩比图像质量较好。较好。 常见紧缩方法：双正交小波变换、小波域纹理模型方法、小波常见紧缩方法：双正交小波变换、小波域纹理模型方法、小波变换零树紧缩、变换零树紧缩、 小波变换提升算法等。小波变换提升算法等。 基于小波图像紧缩的优点：基于小波图像紧缩的优点： 小波变换对整幅图像进展变换，重构图像可以免除分块编码所小波变换对整幅图

64、像进展变换，重构图像可以免除分块编码所固有的方块效应；固有的方块效应； 小波变换更加符合人的视觉特性，量化、编码产生的人为噪声小波变换更加符合人的视觉特性，量化、编码产生的人为噪声较小；较小； 小波变换具有时间频定位才干，可分别图像中平稳与非平稳成小波变换具有时间频定位才干，可分别图像中平稳与非平稳成分，实现高效编码；分，实现高效编码； 小波变换的尺度由大到小变化，可方便地实现分级编码、逐渐小波变换的尺度由大到小变化，可方便地实现分级编码、逐渐显示功能。显示功能。 在图像紧缩规范在图像紧缩规范JPEG-2000JPEG-2000、MPEG-4 MPEG-4 中，小波变换已成为一项中，小波变换已成为一项主要技术。主要技术。