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1、柯 西 不 等 式二维形式的柯西不等式 柯西(Cauchy,Augustin-Louis, 1789-1857)是法国数学家、力学家。 27岁成为巴黎综合工科学校教授， 并当选为法国科学院 院士. 柯西对高等数学的贡献包括：无穷级数的敛散性，实变和复变函数论,微分方程，行列式，概率和数理方程等方面的研究 目前我们所学的极限和连续性的定义，导数的定义，以及微分、定积分用无穷多个无穷小的和的极限定义，实质上都是柯西给出的。设设 为任意实数为任意实数. .联联 想想研究一下(a2+b2)(c2+d2)的不等关系二维形式的柯西不等式二维形式的柯西不等式定理：二维形式的柯西不等式定理：若a,b,c,d都
2、是实数,则 (a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2当且仅当ad=bc时,等号成立.仔细观察上述定理，概括它的特点平方平方的和的乘积的和的乘积不小于不小于乘积的和乘积的和的平方的平方例例1：已知：已知a,b为实数，求证为实数，求证 分清（找准）a,b,c,d补全a,b,c,d证明思路2：(构造向量法)柯西不等式的几何意义“=”何时成立柯西不等式的几何意义变变形变变形,可得下面不等式可得下面不等式: :例例2.求函数求函数 的最大值变形，使之出现常数变形，使之出现条件中的表达式或表达式的倍数练习2不等式不等式：不等式不等式：灵活对调前后项2、二维形式的柯西不等式的变式、二维形式的柯西不等式的变式小 结思 考?l定理3：(二维形式的三角不等式)l证明思路1：(几何法)l证明思路2：(代数法)OxyP1(x1,y1)P2(x2,y2)OxyP1(x1,y1)P2(x2,y2)小小 结结思 考
