经济时间序列的季节调整解和平滑方法

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1、 第二章第二章 经济时间序列的经济时间序列的 季节调整、分解与平滑季节调整、分解与平滑 本章主要介绍经济时间序列的分解和平滑方本章主要介绍经济时间序列的分解和平滑方法。时间序列分解方法包括季节调整和趋势分解，法。时间序列分解方法包括季节调整和趋势分解，指数平滑是目前比较常用的时间序列平滑方法。指数平滑是目前比较常用的时间序列平滑方法。1 经济指标的经济指标的月度或季度月度或季度月度或季度月度或季度时间序列包含时间序列包含4种变动要素：长期种变动要素：长期趋势要素趋势要素T、循环要素循环要素C、季节变动要素季节变动要素S 和不规则要素和不规则要素I。长期趋势要素长期趋势要素长期趋势要素长期趋势要

2、素 ( (T T ): ): 代表经济时间序列长期的趋势特性。代表经济时间序列长期的趋势特性。循环要素循环要素循环要素循环要素 ( (C C ): ): 是以数年为周期的一种周期性变动。是以数年为周期的一种周期性变动。季节要素季节要素季节要素季节要素 ( (S S ): ): 是每年重复出现的循环变动，以是每年重复出现的循环变动，以12个月或个月或4个季度为周期的周期性影响，由温度、降雨、每年中的假期和个季度为周期的周期性影响，由温度、降雨、每年中的假期和政策等因素引起。季节要素和循环要素的区别在于季节变动是政策等因素引起。季节要素和循环要素的区别在于季节变动是固定间距（如季或月）中的自我循环

3、，而循环要素是从一个周固定间距（如季或月）中的自我循环，而循环要素是从一个周期变动到另一个周期，间距比较长且不固定的一种周期性波动。期变动到另一个周期，间距比较长且不固定的一种周期性波动。不规则要素不规则要素不规则要素不规则要素 ( (I I ): ): 又称随机因子、残余变动或噪声，其变又称随机因子、残余变动或噪声，其变动无规则可循，这类因素是由偶然发生的事件引起的，如罢工、动无规则可循，这类因素是由偶然发生的事件引起的，如罢工、意外事故、地震、水灾、恶劣气候、战争、法令更改和预测误意外事故、地震、水灾、恶劣气候、战争、法令更改和预测误差等。差等。 一、经济时间序列的分解2图图图图1 1 我

4、国工业总产值的时间序列我国工业总产值的时间序列我国工业总产值的时间序列我国工业总产值的时间序列 Y Y 图形图形图形图形 图图图图2 2 工业总产值的趋势工业总产值的趋势工业总产值的趋势工业总产值的趋势 循环要素循环要素循环要素循环要素 TC TC 图形图形图形图形 图图图图3 3 工业总产值的季节变动要素工业总产值的季节变动要素工业总产值的季节变动要素工业总产值的季节变动要素 S S 图形图形图形图形 图图图图4 4 工业总产值的不规则要素工业总产值的不规则要素工业总产值的不规则要素工业总产值的不规则要素 I I 图形图形图形图形 3二、季节调整的概念 季节性变动的发生，不仅是由于气候的直接

5、影响，而季节性变动的发生，不仅是由于气候的直接影响，而且社会制度及风俗习惯也会引起季节变动。经济统计中的且社会制度及风俗习惯也会引起季节变动。经济统计中的月度和季度数据或大或小都含有季节变动因素，月度和季度数据或大或小都含有季节变动因素，以月份或以月份或季度作为时间观测单位的经济时间序列通常具有一年一度季度作为时间观测单位的经济时间序列通常具有一年一度的周期性变化，这种周期变化是由于季节因素的影响造成的周期性变化，这种周期变化是由于季节因素的影响造成的，在经济分析中称为季节性波动。经济时间序列的季节的，在经济分析中称为季节性波动。经济时间序列的季节性波动是非常显著的，它往往遮盖或混淆经济发展中

6、其他性波动是非常显著的，它往往遮盖或混淆经济发展中其他客观变化规律，以致给经济增长速度和宏观经济形势的分客观变化规律，以致给经济增长速度和宏观经济形势的分析造成困难和麻烦。因此，在进行经济增长分析时，必须析造成困难和麻烦。因此，在进行经济增长分析时，必须去掉季节波动的影响，将季节要素从原序列中剔除，这就去掉季节波动的影响，将季节要素从原序列中剔除，这就是所谓的是所谓的“季节调整季节调整” (Seasonal Adjustment)。 42.12.1 移动平均方法移动平均方法移动平均方法移动平均方法 移动平均法移动平均法(Moving Averages)的基本思路是很简单的基本思路是很简单的，是

7、算术平均的一种。它具有如下特性：的，是算术平均的一种。它具有如下特性： 1. 周期（及其整数倍）与移动平均项数相等的周周期（及其整数倍）与移动平均项数相等的周期性变动基本得到消除期性变动基本得到消除; 2. 互相独立的不规则变动得到平滑。互相独立的不规则变动得到平滑。 这两条特性可以证明。这两条特性可以证明。 52.1.12.1.1 简单的移动平均公式简单的移动平均公式简单的移动平均公式简单的移动平均公式 时间序列数据时间序列数据 y = y1, y2, , yT ，T 为样本长度，在时为样本长度，在时点点 t 上的上的2k+1项移动平均值项移动平均值 MAt 的的一般表示为一般表示为(2.1

8、.1)式中的式中的k为正整数，此时移动平均后的序列为正整数，此时移动平均后的序列MA的始端和末端的始端和末端各欠缺各欠缺k项值，需要用插值或其它方法补齐。项值，需要用插值或其它方法补齐。 6 例如，常用的三项移动平均例如，常用的三项移动平均 (2.1.2) 两端补欠项：两端补欠项：(2.1.3) (2.1.4) 1.1.21.1.2 中心化移动平均中心化移动平均中心化移动平均中心化移动平均 考虑消除季节变动时，最简单的方法是对月度数据进行考虑消除季节变动时，最简单的方法是对月度数据进行12个月移动平均。此时，由于项数是偶数，故常常进行所谓个月移动平均。此时，由于项数是偶数，故常常进行所谓“移移

9、动平均的中心化动平均的中心化”，即取连续的两个移动平均值的平均值作为，即取连续的两个移动平均值的平均值作为该月的值。该月的值。 7 (2.1.5) 因为因为12是偶数，通过求平均值可以达到中心化，即中心化是偶数，通过求平均值可以达到中心化，即中心化移动平均值为移动平均值为 (2.1.6) 中心化移动平均的一般公式为中心化移动平均的一般公式为 (2.1.7)8 需要指出的是由于采用需要指出的是由于采用12个月中心化移动平均后，序列的个月中心化移动平均后，序列的两端各有两端各有6个欠项值，需要用插值或其它数值计算方法将其补个欠项值，需要用插值或其它数值计算方法将其补齐。齐。 2.1.32.1.3加

10、权移动平均加权移动平均加权移动平均加权移动平均 上面介绍的上面介绍的12个月中心化移动平均是二次移动平均，也个月中心化移动平均是二次移动平均，也可以用一次移动平均可以用一次移动平均(2.1.7)式表示，这种移动平均方法就叫式表示，这种移动平均方法就叫做加权平均，其中每一期的权数不相等，下面介绍几种常用做加权平均，其中每一期的权数不相等，下面介绍几种常用的加权移动平均方法。的加权移动平均方法。 9 除了上述移动平均方法外，除了上述移动平均方法外，X-11季节调整法中还采季节调整法中还采用亨德松用亨德松(Henderson)的的5, 9, 13和和23项加权移动平均。选项加权移动平均。选择特殊的移

11、动平均法是基于数列中存在的随机因子，随择特殊的移动平均法是基于数列中存在的随机因子，随机因子越大，求移动平均的项数应越多。机因子越大，求移动平均的项数应越多。101. 1. 1. 1. 季节调整方法的发展季节调整方法的发展季节调整方法的发展季节调整方法的发展 1954年美国商务部国势普查局年美国商务部国势普查局(Bureau of Census，Depart- ment of Commerce)在美国全国经济研究局在美国全国经济研究局(NBER)战前研究的战前研究的移动平均比法移动平均比法(The Ratio-Moving Average Method)的基础上，的基础上，开发了关于季节调整的

12、最初的电子计算机程序，开始大规模地开发了关于季节调整的最初的电子计算机程序，开始大规模地对经济时间序列进行季节调整。此后，季节调整方法不断改进，对经济时间序列进行季节调整。此后，季节调整方法不断改进，每次改进都以每次改进都以X再加上序号表示。再加上序号表示。1960年，发表了年，发表了X-3方法，方法，X-3方法和以前的程序相比，特异项的代替方法和季节要素的方法和以前的程序相比，特异项的代替方法和季节要素的计算方法略有不同。计算方法略有不同。1961年，国势普查局又发表了年，国势普查局又发表了X-10方法。方法。X-10方法考虑到了根据不规则变动和季节变动的相对大小来选方法考虑到了根据不规则变

13、动和季节变动的相对大小来选择计算季节要素的移动平均项数。择计算季节要素的移动平均项数。1965年年10月发表了月发表了X-11方法，方法，这一方法历经几次演变，已成为一种相当精细、典型的季节调这一方法历经几次演变，已成为一种相当精细、典型的季节调整方法整方法 2.2 经济时间序列的季节调整方法11 X-11方法是基于移动平均法的季节调整方法。它的特方法是基于移动平均法的季节调整方法。它的特征在于除了能适应各种经济指标的性质，根据各种季节调征在于除了能适应各种经济指标的性质，根据各种季节调整的目的，选择计算方式外，在不作选择的情况下，也能整的目的，选择计算方式外，在不作选择的情况下，也能根据事先

14、编入的统计基准，按数据的特征自动选择计算方根据事先编入的统计基准，按数据的特征自动选择计算方式。在计算过程中可根据数据中的随机因素大小，采用不式。在计算过程中可根据数据中的随机因素大小，采用不同长度的移动平均，随机因素越大，移动平均长度越大。同长度的移动平均，随机因素越大，移动平均长度越大。X-11方法是通过几次迭代来进行分解的，每一次对组成因方法是通过几次迭代来进行分解的，每一次对组成因子的估算都进一步精化。正因为如此，子的估算都进一步精化。正因为如此，X-11方法受到很高方法受到很高的评价，已为欧美、日本等国的官方和民间企业、国际机的评价，已为欧美、日本等国的官方和民间企业、国际机构构(I

15、MF)等采用，成为目前普遍使用的季节调整方法。等采用，成为目前普遍使用的季节调整方法。12 美国商务部国势普查局的美国商务部国势普查局的X12季节调整程序是在季节调整程序是在X11方方法的基础上发展而来的，包括法的基础上发展而来的，包括X11季节调整方法的全部功季节调整方法的全部功能，并对能，并对X11方法进行了以下方法进行了以下3方面的重要改进：方面的重要改进： (1) 扩展了贸易日和节假日影响的调节功能，增加了扩展了贸易日和节假日影响的调节功能，增加了季节、趋势循环和不规则要素分解模型的选择功能；季节、趋势循环和不规则要素分解模型的选择功能； (2) 新的季节调整结果稳定性诊断功能；新的季

16、节调整结果稳定性诊断功能； (3) 增加增加X12-ARIMA模型的建模和模型选择功能。模型的建模和模型选择功能。 13 X12季节调整方法的核心算法是扩展的季节调整方法的核心算法是扩展的X11季节调整程序。季节调整程序。共包括共包括4种季节调整的分解形式：乘法、加法、伪加法和对数种季节调整的分解形式：乘法、加法、伪加法和对数加法模型。注意采用乘法、伪加法和对数加法模型进行季节调加法模型。注意采用乘法、伪加法和对数加法模型进行季节调整时，时间序列中不允许有零和负数。整时，时间序列中不允许有零和负数。 加法模型加法模型 (2.2.1) 乘法模型：乘法模型： (2.2.2) 对数加法模型：对数加法

17、模型： (2.2.3) 伪加法模型：伪加法模型： (2.2.4) 2 2季节调整的模型选择季节调整的模型选择季节调整的模型选择季节调整的模型选择14 设设Yt 表示一个无奇异值的月度时间序列，通过预测表示一个无奇异值的月度时间序列，通过预测和回推来扩展序列使得在序列的尾端不需要对季节调和回推来扩展序列使得在序列的尾端不需要对季节调整公式进行修改。把整公式进行修改。把Yt 分解为趋势循环项分解为趋势循环项TCt 、季节项、季节项St 和不规则要素和不规则要素It 。现以加法模型为例，介绍。现以加法模型为例，介绍X12季节季节调整方法的核心算法（为叙述简便而不考虑补欠项的调整方法的核心算法（为叙述

18、简便而不考虑补欠项的问题）。共分为三个阶段：问题）。共分为三个阶段：3 3X12X12季节调整方法的核心算法季节调整方法的核心算法季节调整方法的核心算法季节调整方法的核心算法15 通过中心化通过中心化12项移动计算平均趋势循环要素的初始估计项移动计算平均趋势循环要素的初始估计 (2.2.5) 计算计算SI项的初始估计项的初始估计 (2.2.6) 通过通过33移动平均计算季节因子移动平均计算季节因子S的初始估计的初始估计 (2.2.7) 消除季节因子中的残余趋势消除季节因子中的残余趋势 (2.2.8) 季节调整结果的初始估计季节调整结果的初始估计 (2.2.9)第一阶段第一阶段第一阶段第一阶段

19、季节调整的初始估计季节调整的初始估计季节调整的初始估计季节调整的初始估计16 利用利用Henderson移动平均公式计算暂定的趋势循环要素移动平均公式计算暂定的趋势循环要素 (2.2.10) 计算暂定的计算暂定的SI项项 (2.2.11) 通过通过35项移动平均计算暂定的季节因子项移动平均计算暂定的季节因子 (2.2.12) 计算最终的季节因子计算最终的季节因子 (2.2.13) 季节调整的第二次估计结果季节调整的第二次估计结果 (2.2.14)第二阶段第二阶段第二阶段第二阶段 计算暂定的趋势循环要素和最终的季节因子计算暂定的趋势循环要素和最终的季节因子计算暂定的趋势循环要素和最终的季节因子计

20、算暂定的趋势循环要素和最终的季节因子17 利用利用Henderson移动平均公式计算最终的趋势循环要素移动平均公式计算最终的趋势循环要素 (2.2.15) 计算最终的不规则要素计算最终的不规则要素 (2.2.16) 第三阶段第三阶段第三阶段第三阶段 计算最终的趋势循环要素和最终的不规则要素计算最终的趋势循环要素和最终的不规则要素计算最终的趋势循环要素和最终的不规则要素计算最终的趋势循环要素和最终的不规则要素18 本节主要介绍利用本节主要介绍利用EViews软件对一个月度或季度时间序软件对一个月度或季度时间序列进行季节调整的操作方法。在列进行季节调整的操作方法。在EViews工作环境中，打开一工

21、作环境中，打开一个月度或季度时间序列的工作文件，双击需进行数据处理的个月度或季度时间序列的工作文件，双击需进行数据处理的序列名，进入这个序列对象，在序列窗口的工具栏中单击序列名，进入这个序列对象，在序列窗口的工具栏中单击Proc按钮将显示菜单：按钮将显示菜单： 2. 2.2. 2.4 4 季节调整相关操作季节调整相关操作季节调整相关操作季节调整相关操作 ( (EViewsEViews软件软件软件软件) )19 一、一、一、一、 X11X11方法方法方法方法 X-11法是美国商务部标准的季节调整方法法是美国商务部标准的季节调整方法(乘法模型、加法乘法模型、加法模型模型)，乘法模型适用于序列可被分

22、解为季节调整后序列（趋势，乘法模型适用于序列可被分解为季节调整后序列（趋势循环循环不规则要素项）与季节项的乘积，加法模型适用于序列不规则要素项）与季节项的乘积，加法模型适用于序列可被分解为季节调整后序列与季节项的和。乘法模型只适用于可被分解为季节调整后序列与季节项的和。乘法模型只适用于序列值都为正的情形。序列值都为正的情形。 20 如如果果在在季季节节调调整整对对话话框框中中选选择择X-11选选项项，调调整整后后的的序序列列及及因因子子序序列列会会被被自自动动存存入入EViews工工作作文文件件中中，在在过过程程的的结尾结尾X-11简要的输出及错误信息也会在序列窗口中显示。简要的输出及错误信息

23、也会在序列窗口中显示。 关关于于调调整整后后的的序序列列的的名名字字。EViews在在原原序序列列名名后后加加SA，但但也也可可以以改改变变调调整整后后的的序序列列名名，这这将将被被存存储储在在工工作作文文件件中。中。 需要注意，季节调整的观测值的个数是有限制的。需要注意，季节调整的观测值的个数是有限制的。X-11只作用于含季节数据的序列，需要至少只作用于含季节数据的序列，需要至少4整年的数据，最整年的数据，最多能调整多能调整20年的月度数据及年的月度数据及30年的季度数据。年的季度数据。 21 图图图图2.1 2.1 社会消费品零售总额的社会消费品零售总额的社会消费品零售总额的社会消费品零售

24、总额的TCI TCI 序列序列序列序列 ( (季节调整后序列季节调整后序列季节调整后序列季节调整后序列) )22 图图图图2.2 2.2 社会消费品零售总额的社会消费品零售总额的社会消费品零售总额的社会消费品零售总额的原序列原序列原序列原序列( ( ( (蓝线蓝线蓝线蓝线) ) ) )和和和和 季节调整后序列季节调整后序列季节调整后序列季节调整后序列 ( (TCI TCI 序列序列序列序列, , 红线红线红线红线) )23 二、二、二、二、Census X12Census X12方法方法方法方法 EViews是是将将美美国国国国势势调调查查局局的的X12季季节节调调整整程程序序直直接接安安装装

25、到到EViews子子目目录录中中，建建立立了了一一个个接接口口程程序序。 EViews进进行季节调整时将执行以下步骤：行季节调整时将执行以下步骤： 1给出一个被调整序列的说明文件和数据文件；给出一个被调整序列的说明文件和数据文件； 2利用给定的信息执行利用给定的信息执行X12程序；程序； 3返返回回一一个个输输出出文文件件，将将调调整整后后的的结结果果存存在在EViews工工作文件中。作文件中。 X12的的EViews接口菜单只是一个简短的描述，接口菜单只是一个简短的描述，EViews还还提供了一些菜单不能实现的接口功能，更一般的命令接口程提供了一些菜单不能实现的接口功能，更一般的命令接口程序

26、。序。 24 调用调用X12季节调整过程，在序列窗口选择季节调整过程，在序列窗口选择Procs/Seasonal Adjustment / Census X12，打开一个对话框：打开一个对话框： X12方法有方法有5种选择框，下面分别介绍。种选择框，下面分别介绍。25 1. 1. 季节调整选择季节调整选择季节调整选择季节调整选择（Seasonal Seasonal AjustmentAjustment Option Option） X11X11方法方法方法方法（X11 MethodX11 Method） 这这一一部部分分指指定定季季节节调调整整分分解解的的形形式式：乘乘法法；加加法法；伪伪加加

27、法法（此此形形式式必必须须伴伴随随ARIMA说说明明）；对对数数加加法法。注注意意乘乘法法、伪加法和对数加法不允许有零和负数。伪加法和对数加法不允许有零和负数。 季节滤波季节滤波季节滤波季节滤波(Seasonal Filter)(Seasonal Filter) 当当估估计计季季节节因因子子时时，允允许许选选择择季季节节移移动动平平均均滤滤波波（月月别别移移动动平平均均项项数数），缺缺省省是是X12自自动动确确定定。近近似似地地可可选选择择(X11 default)缺缺省省选选择择。需需要要注注意意如如果果序序列列短短于于20年年，X12不不允允许许指定指定315的季节滤波。的季节滤波。 26

28、 存调整后的分量序列名存调整后的分量序列名存调整后的分量序列名存调整后的分量序列名（Component Series to saveComponent Series to save） X12将将被被调调整整的的序序列列名名作作为为缺缺省省列列在在Base name框框中中，可可以以改改变变序序列列名名。在在下下面面的的多多选选钮钮中中选选择择要要保保存存的的季季节节调调整整后分量序列，后分量序列，X12将加上相应的后缀存在工作文件中：将加上相应的后缀存在工作文件中： 最终的季节调整后序列（最终的季节调整后序列（SA）；）； 最终的季节因子（最终的季节因子（SF）；）； 最终的趋势最终的趋势循环

29、序列（循环序列（TC）；）； 最终的不规则要素分量（最终的不规则要素分量（IR）；）； 季节季节/贸易日因子（贸易日因子（D16）；）； 假日假日/贸易日因子（贸易日因子（D18）；）； 趋势滤波趋势滤波趋势滤波趋势滤波（Trend Filter (Henderson)Trend Filter (Henderson)） 当当估估计计趋趋势势循循环环分分量量时时，允允许许指指定定亨亨德德松松移移动动平平均均的的项项数数，可可以以输输入入大大于于1和和小小于于等等于于101的的奇奇数数，缺缺省省是是由由X12自动选择。自动选择。27例例例例2.1a 2.1a 利用利用利用利用X12X12加法模型进

30、行季节调整加法模型进行季节调整加法模型进行季节调整加法模型进行季节调整 图图图图2.3a 2.3a 社会消费品零售总额原序列社会消费品零售总额原序列社会消费品零售总额原序列社会消费品零售总额原序列 图图图图2.3b 2.3b 社会消费品零售总额的社会消费品零售总额的社会消费品零售总额的社会消费品零售总额的TCI TCI 序列序列序列序列 图图图图2.3c 2.3c 社会消费品零售总额的社会消费品零售总额的社会消费品零售总额的社会消费品零售总额的TCTC序列序列序列序列 28 图图图图2.3d 2.3d 社会消费品零售总额社会消费品零售总额社会消费品零售总额社会消费品零售总额 I I 序列序列序

31、列序列 图图图图2.3e 2.3e 社会消费品零售总额的社会消费品零售总额的社会消费品零售总额的社会消费品零售总额的 S S 序列序列序列序列 29例例例例2.1b 2.1b 利用利用利用利用X12X12乘法模型进行季节调整乘法模型进行季节调整乘法模型进行季节调整乘法模型进行季节调整 图图图图2.4a 2.4a 工业总产值原序列工业总产值原序列工业总产值原序列工业总产值原序列 图图图图2.4b 2.4b 工业总产值的工业总产值的工业总产值的工业总产值的TCI TCI 序列序列序列序列 图图图图2.4c 2.4c 工业总产值的工业总产值的工业总产值的工业总产值的TCTC序列序列序列序列 30 图

32、图图图2.4d 2.4d 工业总产值的工业总产值的工业总产值的工业总产值的 I I 序列序列序列序列 图图图图2.4e 2.4e 工业总产值的工业总产值的工业总产值的工业总产值的 S S 序列序列序列序列 31 X12方法是基于移动平均法的季节调整方法。它的一个方法是基于移动平均法的季节调整方法。它的一个主要缺点是在进行季节调整时，需要在原序列的两端补欠项，主要缺点是在进行季节调整时，需要在原序列的两端补欠项，如果补欠项的方法不当，就会造成信息损失。如果补欠项的方法不当，就会造成信息损失。X12 - ARIMA方法是由方法是由X12方法和时间序列模型组合而成的季节调整方法。方法和时间序列模型组

33、合而成的季节调整方法。通过用通过用ARIMA模型模型 (autoregressive integrated moving Average) 延长原序列，弥补了移动平均法末端项补欠值的问延长原序列，弥补了移动平均法末端项补欠值的问题。题。 建立建立ARIMA(p, d, q)模型，需要确定模型的参数，包括单模型，需要确定模型的参数，包括单整阶数整阶数d；自回归模型自回归模型(AR)的延迟阶数的延迟阶数p；动平均模型动平均模型(MA)的的延迟阶数延迟阶数q。也可以在模型中指定一些外生回归因子，建立也可以在模型中指定一些外生回归因子，建立ARIMAX模型。对于时间序列中的一些确定性的影响（如节模型。

34、对于时间序列中的一些确定性的影响（如节假日和贸易日影响），应在季节调整之前去掉。假日和贸易日影响），应在季节调整之前去掉。 2. 2. ARIMAARIMA选择选择选择选择（ARIMA OptionARIMA Option） 32 点击点击ARIMA Option标签，可出现下列对话框标签，可出现下列对话框： X12允许在季节调允许在季节调整前对被调整序列建整前对被调整序列建立一个合适的立一个合适的ARIMA模型。模型。33 (1) (1) 数据转换（数据转换（数据转换（数据转换（Data TransformationData Transformation） 在配备一个合适的在配备一个合适的A

35、RMA模型之前允许转换序列：模型之前允许转换序列： (1) 缺省是不转换；缺省是不转换； (2) Auto选选择择是是根根据据计计算算出出来来的的AIC准准则则自自动动确确定定是是不做转换还是进行对数转换；不做转换还是进行对数转换； (3) Logistic选选择择将将序序列列 y 转转换换为为 log(y/(1-y)， y序序列列的值要求在的值要求在0和和1之间；之间； (4) Box-Cox power选选择择要要求求提提供供一一个个参参数数 ，做做下下列列转换：转换：34 (2)(2) ARIMAARIMA说明说明说明说明(ARIMA Spec)(ARIMA Spec) 允许在允许在2种

36、不同的方法中选择种不同的方法中选择ARIMA模型。模型。 Specify in-line Specify in-line 选择选择选择选择 要求提供要求提供ARIMA模型阶数的说明（模型阶数的说明（p d q）(P D Q) p 非季节的非季节的AR阶数阶数 d 非季节的差分阶数非季节的差分阶数 q 非季节的非季节的MA阶数阶数 P 季节季节AR阶数阶数 D 季节差分阶数季节差分阶数 Q 季节季节MA阶数阶数 35 缺省的指定是缺省的指定是“(0 1 1)(0 1 1)”是指季节的是指季节的IMA模型：模型： (2.5.2)L是是滞滞后后算算子子，这这里里季季节节差差分分是是指指 (1 Ls

37、)yt = yt yt s ，季季度数据时度数据时s =4；月度数据时月度数据时s =12。下面是一些例子：下面是一些例子：(1 0 0) (0 1 1) (1 0 1)(1 0 0) 注意在模型中总的注意在模型中总的AR、MA、和差分的系数不超过和差分的系数不超过25；AR或或MA参数的最大延迟为参数的最大延迟为24；在；在ARIMA因子中的最大差分阶数因子中的最大差分阶数不超过不超过3。 36 Select from file Select from file 选择选择选择选择 X12将将从从一一个个外外部部文文件件提提供供的的说说明明集集合合中中选选择择ARIMA模模型型。EViews将

38、将利利用用一一个个包包含含一一系系列列缺缺省省模模型型指指定定说说明明的的文文件件（X12A.MDL）：）： (0 1 1)(0 1 1) * (0 1 2)(0 1 1) X (2 1 0)(0 1 1) X (0 2 2)(0 1 1) X (2 1 2)(0 1 1) 缺缺省省说说明明用用“*”表表示示，除除最最后后一一个个外外，中中间间的的用用“X”结结尾。有尾。有2个选择：个选择： Select best 检检验验列列表表中中的的所所有有模模型型，选选一一个个最最小小预预测测误误差的模型，缺省是第一个模型。差的模型，缺省是第一个模型。 Select by out-of-sample-

39、fit 对对模模型型的的评评价价用用外外部部样样本本误误差，缺省是用内部样本预测误差。差，缺省是用内部样本预测误差。37 (3) (3) 回归因子选择（回归因子选择（回归因子选择（回归因子选择（RegressorsRegressors） 允允许许在在ARIMA模模型型中中指指定定一一些些外外生生回回归归因因子子，利利用用多多选选钮钮可可选选择择常常数数项项，或或季季节节虚虚拟拟变变量量，事事先先定定义义的的回回归归因因子子可以捕捉贸易日和节假日的影响。可以捕捉贸易日和节假日的影响。38 由每天经济活动的总和组成的月度时间序列受该月各由每天经济活动的总和组成的月度时间序列受该月各周的影响，这种影

40、响称为贸易日影响（或周工作日影响）。周的影响，这种影响称为贸易日影响（或周工作日影响）。例如，对于零售业在每周的星期一至星期五的销售额比该例如，对于零售业在每周的星期一至星期五的销售额比该周的星期六、星期日要少得多。因此，在某月如果多出的周的星期六、星期日要少得多。因此，在某月如果多出的星期天数是一周的前五天，那么该月份销售额将较低；如星期天数是一周的前五天，那么该月份销售额将较低；如果多出的星期天数是一周的星期六、星期日，那么该月份果多出的星期天数是一周的星期六、星期日，那么该月份销售额将较高。又如，在流量序列中平均每天的影响将产销售额将较高。又如，在流量序列中平均每天的影响将产生生“月长度

41、月长度”影响。因为在每年中二月份的长度是不相同影响。因为在每年中二月份的长度是不相同的，所以这种影响不可能完全被季节因素承受。二月份残的，所以这种影响不可能完全被季节因素承受。二月份残留的影响被称为润年影响。留的影响被称为润年影响。 3. 3. 贸易日和节假日影响贸易日和节假日影响贸易日和节假日影响贸易日和节假日影响 （1 1）贸易日影响）贸易日影响）贸易日影响）贸易日影响39 Young(1965)讨论了浮动贸易日的影响，讨论了浮动贸易日的影响，Cleveland and Grupe(1983)讨论了固定贸易日的影响。贸易日影响和季节讨论了固定贸易日的影响。贸易日影响和季节影响一样使得比较各

42、月的序列值变得困难，而且不利于研究影响一样使得比较各月的序列值变得困难，而且不利于研究序列间的相互影响。由于这个原因，当贸易日影响的估计在序列间的相互影响。由于这个原因，当贸易日影响的估计在统计上显著时，通常在季节调整之前先把贸易日的影响从序统计上显著时，通常在季节调整之前先把贸易日的影响从序列中剔除。在调整的内容中，形成了又一个分解要素：贸易列中剔除。在调整的内容中，形成了又一个分解要素：贸易日要素日要素 D。 在在X12季节调整中，假设贸易日影响要素包含在不规则季节调整中，假设贸易日影响要素包含在不规则要素中，即不规则要素的形式是要素中，即不规则要素的形式是 ID，假设已从原序列假设已从原

43、序列 Y 中中分解出分解出 ID。然后用回归分析求出星期一，星期二，然后用回归分析求出星期一，星期二，星期日的相应权重，从而可以将星期日的相应权重，从而可以将 ID 分解为真正的不规则要分解为真正的不规则要素素 I 和贸易日要素和贸易日要素 D。 40 美国的圣诞节、复活节及感恩节等节假日对经济时间序美国的圣诞节、复活节及感恩节等节假日对经济时间序列也会产生影响。例如，圣诞节的影响可以增加当周或前一列也会产生影响。例如，圣诞节的影响可以增加当周或前一周商品的零售额，或者是降低特定工厂在圣诞节前几天的产周商品的零售额，或者是降低特定工厂在圣诞节前几天的产量。在量。在X12方法中，贸易日和节假日影

44、响可以从不规则要素方法中，贸易日和节假日影响可以从不规则要素中同时估计得到。在中同时估计得到。在X12方法中，可以对不规则要素建立方法中，可以对不规则要素建立ARIMAX模型，包括贸易日和节假日影响的回归变量，而且模型，包括贸易日和节假日影响的回归变量，而且还可以指明奇异值的影响，并在估计其他回归影响的同时消还可以指明奇异值的影响，并在估计其他回归影响的同时消除它们。注意除它们。注意EViews中的节假日调整只针对美国，不能应用中的节假日调整只针对美国，不能应用于其他国家。于其他国家。 （2 2）节假日影响的调整）节假日影响的调整）节假日影响的调整）节假日影响的调整41 可可以以在在进进行行季

45、季节节调调整整和和利利用用ARIMA模模型型得得到到用用于于季季节节调调整整的的向向前前/向向后后预预测测值值之之前前，先先去去掉掉确确定定性性的的影影响响（例例如如节节假假日日和和贸贸易易日日影影响响）。首首先先要选择要选择:（Ajustment Option）是是否否进进行行这这项项调调整整？，确确定定在在那那一一个个步步骤骤里里调调整整：在在ARIMA步步骤骤，还是还是X-11步骤？步骤？ 贸易日和节假日影响操作贸易日和节假日影响操作贸易日和节假日影响操作贸易日和节假日影响操作42 Trading Day Effects消消除除贸贸易易日日影影响响有有2种种选选择择，依依赖赖于于序序列列

46、是是流流量量序序列列还还是是存存量量序序列列（诸诸如如存存货货）。对对于于流流量量序序列列还还有有2种种选选择择，是是对对周周工工作作日日影影响响进进行行调调整整还还是是对对仅仅对对周周日日-周周末末影影响响进进行行调调整整。存存量量序序列列仅仅对对月月度度序序列列进进行行调调整整，需需给给出出被被观观测序列的月天数。测序列的月天数。 Holiday effects 仅仅对对流流量量序序列列做做节节假假日日调调整整。对对每每一一个个节日，必须提供一个数，是到这个节日之前影响的持续天数。节日，必须提供一个数，是到这个节日之前影响的持续天数。 Easter 复活节复活节 Labor 美国、加拿大的

47、劳工节，九月第一个星期一美国、加拿大的劳工节，九月第一个星期一 Thanksgiving 感感恩恩节节（在在美美国国为为11月月第第4个个星星期期4；加加拿拿大大为为10月第月第2个星期个星期1） Christmas 圣诞节圣诞节 注意这些节日只针对美国，不能应用于其他国家。注意这些节日只针对美国，不能应用于其他国家。43 外部影响调整包括附加的外部冲击外部影响调整包括附加的外部冲击(addtive outlier，AO)和水平变换和水平变换(level shift，LS)。附加的外部冲击附加的外部冲击(AO)调整是指调整是指对序列中存在的奇异点数据进行调整，水平变换对序列中存在的奇异点数据进

48、行调整，水平变换(LS)是指对是指对水平上发生突然变化的序列的处理。水平上发生突然变化的序列的处理。4. 4. 外部影响外部影响外部影响外部影响(Outlier Effects)(Outlier Effects)图图图图2.5 2.5 经济时间序列水平变换示意图经济时间序列水平变换示意图经济时间序列水平变换示意图经济时间序列水平变换示意图 44通过对通过对ARIMAX模型中的回归方程添加外部冲击和水平变模型中的回归方程添加外部冲击和水平变换回归变量，可以处理奇异点数据和在水平上发生突然变化的换回归变量，可以处理奇异点数据和在水平上发生突然变化的序列。在对序列进行预调整的同时得到外部影响调整是序

49、列。在对序列进行预调整的同时得到外部影响调整是X12-ARIMA模型的特殊能力。模型的特殊能力。 在奇异点在奇异点t0的外部冲击变量：的外部冲击变量： (2.2.26) 在水平位移点在水平位移点t0的水平变换变量：的水平变换变量： (2.2.27) 45 外部影响操作外部影响操作外部影响操作外部影响操作 外部影响调整也是分别在外部影响调整也是分别在ARIMA步骤和步骤和X11步骤中进行。步骤中进行。然而，必须在然而，必须在X11步骤中作了贸易日步骤中作了贸易日/节日调整，才能在节日调整，才能在X11步骤中做外部调整，而且只能做附加的外部调整；步骤中做外部调整，而且只能做附加的外部调整；46 在

50、在ARIMA步骤中有步骤中有4种外部调整：种外部调整： 附加的外部调整；附加的外部调整； 水平变换；水平变换； 暂时的水平变化；暂时的水平变化； 弯道影响。弯道影响。 47 5. 5. 诊断诊断诊断诊断（DiagnosticsDiagnostics）48 这项选择提供了各种诊断：这项选择提供了各种诊断： 季季季季节节节节因因因因素素素素的的的的稳稳稳稳定定定定性性性性分分分分析析析析（Stability Analysis of Seasonals） Sliding spans 移移动动间间距距 检检验验被被调调整整序序列列在在固固定定大大小小的移动样本上的变化；的移动样本上的变化； Histo

51、rical revisions 历历史史修修正正检检验验被被调调整整序序列列增增加加一一个新观测值，即增加一个样本时的变化。个新观测值，即增加一个样本时的变化。 其他诊断其他诊断其他诊断其他诊断（Other Diagnostics） 还可以选择显示各种诊断输出。还可以选择显示各种诊断输出。49三、三、三、三、 移动平均方法移动平均方法移动平均方法移动平均方法 X-11法与移动平均法的最大不同是：法与移动平均法的最大不同是：X-11法中季节法中季节因子年与年有可能不同，而在移动平均法中，季节因子因子年与年有可能不同，而在移动平均法中，季节因子被假设为是一样的。被假设为是一样的。 50 TRAMO

52、(Time Series Regression with ARIMA Noise, Missing Observation, and Outliers)用来估计和预测具有缺失用来估计和预测具有缺失观测值、非平稳观测值、非平稳ARIMA误差及外部影响的回归模型。它能够误差及外部影响的回归模型。它能够对原序列进行插值，识别和修正几种不同类型的异常值，并对原序列进行插值，识别和修正几种不同类型的异常值，并对工作日变化及复活节等特殊回归因素及假定为对工作日变化及复活节等特殊回归因素及假定为ARIMA过程过程的误差项的参数进行估计。的误差项的参数进行估计。 SEATS(Signal Extraction

53、 in ARIMA Time Series)是基于是基于ARIMA模型来对时间序列中不可观测成分进行估计。模型来对时间序列中不可观测成分进行估计。 这两个程序往往联合起来使用，先用这两个程序往往联合起来使用，先用TRAMO对数据进对数据进行预处理，然后用行预处理，然后用SEATS将时间序列分解为趋势要素、循环将时间序列分解为趋势要素、循环要素、季节要素及不规则要素要素、季节要素及不规则要素4个部分。这两个程序是由个部分。这两个程序是由Victor Gomez 和和Agustin Maravall 开发的。开发的。四、四、四、四、tramotramo/Seats/Seats方法方法方法方法 51

54、tramotramo/Seats/Seats方法操作方法操作方法操作方法操作 当当选选择择了了Pross/Seasonal Adjustment/Tramo Seats 时时，EViews执执行行外外部部程程序序，将将数数据据输输给给外外部部程程序序，然然后后将将结结果果返返回回EViews。 522.3 趋势分解趋势分解 本章第本章第2节介绍的季节调整方法可以对经济时间序列进节介绍的季节调整方法可以对经济时间序列进行分解，但在季节调整方法中，趋势和循环要素视为一体不行分解，但在季节调整方法中，趋势和循环要素视为一体不能分开。本节专门讨论如何将趋势和循环要素进行分解的方能分开。本节专门讨论如何

55、将趋势和循环要素进行分解的方法。测定长期趋势有多种方法，比较常用的方法有回归分析法。测定长期趋势有多种方法，比较常用的方法有回归分析方法、移动平均法、阶段平均法方法、移动平均法、阶段平均法(phase average，PA方法方法)、HP滤波方法和频谱滤波方法（滤波方法和频谱滤波方法（frequency (band-pass) filer， BP滤波）。本节主要介绍滤波）。本节主要介绍HP滤波方法和滤波方法和BP滤波方法。滤波方法。 532.3.1 2.3.1 HodrickHodrick-Prescott-Prescott（HPHP）滤波滤波滤波滤波 在宏观经济学中，人们非常关心序列组成成分

56、中的长期在宏观经济学中，人们非常关心序列组成成分中的长期趋势，趋势，Hodrick-Prescott滤波是被广泛使用的一种方法。该滤波是被广泛使用的一种方法。该方法在方法在Hodrick and Prescott(1980) 分析战后美国经济周期的分析战后美国经济周期的论文中首次使用。我们简要介绍这种方法的原理。论文中首次使用。我们简要介绍这种方法的原理。设设Yt是包含趋势成分和波动成分的经济时间序列，是包含趋势成分和波动成分的经济时间序列，YtT是是其中含有的趋势成分，其中含有的趋势成分， YtC是其中含有的波动成分。则是其中含有的波动成分。则 (2.3.1) 计算计算HP滤波就是从滤波就是

57、从Yt中将中将YtT 分离出来分离出来 。54 一般地，时间序列一般地，时间序列Yt中的不可观测部分趋势中的不可观测部分趋势YtT常被定常被定义为下面最小化问题的解：义为下面最小化问题的解： (2.3.2)其中：其中：c(L)是延迟算子多项式是延迟算子多项式 (2.3.3) 将式将式(2.3.3)代入式代入式(2.3.2)，则，则HP滤波的问题就是使下滤波的问题就是使下面损失函数最小，即面损失函数最小，即 (2.3.4)55 最小化问题用最小化问题用c(L)YtT2 来调整趋势的变化，并随着来调整趋势的变化，并随着 的增的增大而增大。这里存在一个权衡问题，要在趋势要素对实际序列大而增大。这里存

58、在一个权衡问题，要在趋势要素对实际序列的跟踪程度和趋势光滑度之间作一个选择。的跟踪程度和趋势光滑度之间作一个选择。 = 0 时，满足最小时，满足最小化问题的趋势等于序列化问题的趋势等于序列Yt； 增加时，估计趋势中的变化总数增加时，估计趋势中的变化总数相对于序列中的变化减少，即相对于序列中的变化减少，即 越大，估计趋势越光滑；越大，估计趋势越光滑； 趋趋于无穷大时，估计趋势将接近线性函数。一般经验地，于无穷大时，估计趋势将接近线性函数。一般经验地， 的取的取值如下：值如下： 56 HP滤滤波波的的运运用用比比较较灵灵活活，它它不不象象阶阶段段平平均均法法那那样样依依赖赖于于经经济济周周期期峰峰

59、和和谷谷的的确确定定。它它把把经经济济周周期期看看成成宏宏观观经经济济波波动动对对某某些些缓缓慢慢变变动动路路径径的的偏偏离离，这这种种路路径径在在期期间间内内单单调调地地增增长长，所所以以称称之之为为趋趋势势。HP滤滤波增大了经济周期的频率，使周期波动减弱。波增大了经济周期的频率，使周期波动减弱。 57 使用使用Hodrick-Prescott滤波来平滑序列，选择滤波来平滑序列，选择Procs/ Hodrick Prescott Filter出现下面的出现下面的HP滤波对话框：滤波对话框： 首先对平滑后的序列给一个名字，首先对平滑后的序列给一个名字，EViews将默认一个名字，也可填将默认一

60、个名字，也可填入一个新的名字。然后给定平滑参数的值，年度数据取入一个新的名字。然后给定平滑参数的值，年度数据取100，季度和月度，季度和月度数据分别取数据分别取1600和和14400。不允许填入非整数的数据。点击。不允许填入非整数的数据。点击OK后，后，EViews与原序列一起显示处理后的序列。注意只有包括在当前工作文件与原序列一起显示处理后的序列。注意只有包括在当前工作文件样本区间内的数据才被处理，平滑后序列区间外的数据都为样本区间内的数据才被处理，平滑后序列区间外的数据都为NA。 58图图图图2.6 2.6 蓝线表示社会消费品零售总额蓝线表示社会消费品零售总额蓝线表示社会消费品零售总额蓝线

61、表示社会消费品零售总额TCTC序列、序列、序列、序列、 红线表示趋势红线表示趋势红线表示趋势红线表示趋势T T序列序列序列序列 、绿线表示循环、绿线表示循环、绿线表示循环、绿线表示循环C C序列序列序列序列 例例例例2.3 2.3 利用利用利用利用HPHP滤波方法求经济时间序列的趋势项滤波方法求经济时间序列的趋势项滤波方法求经济时间序列的趋势项滤波方法求经济时间序列的趋势项T T 先做季节调整得到趋势先做季节调整得到趋势-循环要素序列，记为循环要素序列，记为TC，然，然后后利用利用HP滤波方法求中国社会消费品零售总额月度时间序滤波方法求中国社会消费品零售总额月度时间序列列(1990:12007

62、:6)59图图图图2.7 2.7 蓝线表示社会消费品零售总额、蓝线表示社会消费品零售总额、蓝线表示社会消费品零售总额、蓝线表示社会消费品零售总额、 红线表示趋势红线表示趋势红线表示趋势红线表示趋势T T序列序列序列序列 60 首先对季度首先对季度GDP做季节调整，然后对得到的趋势做季节调整，然后对得到的趋势-循环序循环序列列GDP.TC序列序列利用利用HP滤波方法求中国滤波方法求中国GDP季度时间序列的季度时间序列的趋势项趋势项(1997:12007:6)。图图图图2.8 2.8 蓝线表示蓝线表示蓝线表示蓝线表示GDPGDP序列、序列、序列、序列、 红线表示趋势红线表示趋势红线表示趋势红线表示

63、趋势T T序列、序列、序列、序列、 绿线表示循环绿线表示循环绿线表示循环绿线表示循环 C C 序列序列序列序列61图图图图2.9 2.9 蓝线表示蓝线表示蓝线表示蓝线表示GDPGDP序列、序列、序列、序列、 红线表示趋势红线表示趋势红线表示趋势红线表示趋势T T序列序列序列序列62 例例例例2.4 2.4 利用利用利用利用HPHP滤波方法求潜在产出和产出缺口滤波方法求潜在产出和产出缺口滤波方法求潜在产出和产出缺口滤波方法求潜在产出和产出缺口 设设Yt为我国的季度为我国的季度GDP指标指标(1997年年1季度季度2007年年4季度季度)，利用季节调整方法将，利用季节调整方法将GDP中的季节因素和

64、不规则因素去掉，中的季节因素和不规则因素去掉，得到得到GDP_TC序列。本例的潜在产出序列。本例的潜在产出Y*，即趋势利用即趋势利用HP滤波计滤波计算出来的算出来的YtT来代替，来代替，GDP的循环要素的循环要素Yt序列由式序列由式(2.3.6)计算：计算：(2.3.6)图图图图2.6 2.6 蓝线表示蓝线表示蓝线表示蓝线表示 GDP_TC GDP_TC 、 红线表示趋势序列红线表示趋势序列红线表示趋势序列红线表示趋势序列GDP_TGDP_T图图图图2.7 2.7 GDPGDP的循环要素的循环要素的循环要素的循环要素 序列序列序列序列 63 图图2.7显示的显示的GDP的循环要素的循环要素Yt

65、C序列实际上就是围绕趋序列实际上就是围绕趋势线上下的波动，称为势线上下的波动，称为GDP缺口序列。它是一个绝对量的产缺口序列。它是一个绝对量的产出缺口。也可以用相对量表示产出缺口，本例用出缺口。也可以用相对量表示产出缺口，本例用Gapt来表示相来表示相对产出缺口，可由下式计算得到：对产出缺口，可由下式计算得到： (2.3.7) 图图图图2.8 2.8 通货膨胀率通货膨胀率通货膨胀率通货膨胀率 ( (蓝线蓝线蓝线蓝线) ) 产出缺口产出缺口产出缺口产出缺口Gap (Gap (红线红线红线红线) ) 64 2.3.2 2.3.2 频谱滤波（频谱滤波（频谱滤波（频谱滤波（BPBP滤波）方法滤波）方法

66、滤波）方法滤波）方法 20世世纪纪以以来来，利利用用统统计计方方法法特特别别是是时时间间序序列列分分析析方方法法研研究究经经济济时时间间序序列列和和经经济济周周期期的的变变动动特特征征得得到到越越来来越越广广泛泛的的应应用用。自自时时间间序序列列分分析析产产生生以以来来，一一直直存存在在两两种种观观察察、分分析析和和解解释释时时间间序序列列的的方方法法。第第一一种种是是直直接接分分析析数数据据随随时时间间变变化化的的结结构构特特征征，即即所所谓谓时时域域（time domain）分分析析法法，使使用用的的工工具具是是自自相相关关（或或自自协协方方差差）函函数数和和差差分分方方程程；另另一一种种

67、方方法法是是把把时时间间序序列列看看成成不不同同谐谐波波的的叠叠加加，研研究究时时间间序序列列在在频频率率域域（frequency domain）里里的的结结构构特特征征，由由于于这这种种分分析析主主要要是是用功率谱的概念进行讨论，所以通常称为谱分析。用功率谱的概念进行讨论，所以通常称为谱分析。65 谱谱分分析析的的基基本本思思想想是是：把把时时间间序序列列看看作作是是互互不不相相关关的的周周期期（频频率率）分分量量的的叠叠加加，通通过过研研究究和和比比较较各各分分量量的的周周期期变变化化，以以充充分分揭揭示示时时间间序序列列的的频频域域结结构构，掌掌握握其其主主要要波波动动特特征征。因因此此

68、，在在研研究究时时间间序序列列的的周周期期波波动动方方面面，它具有时域方法所无法企及的优势。它具有时域方法所无法企及的优势。 661. 1. 经济时间序列的功率谱经济时间序列的功率谱经济时间序列的功率谱经济时间序列的功率谱 设设时时间间序序列列数数据据 X=(x1, x2, , xT)，T 为为样样本本长长度度。谱谱分分析析（spectral analysis）的的实实质质是是把把时时间间序序列列 X 的的变变动动分分解解成成不不同同的的周周期期波波动动之之和和。考考虑虑时时间间序序列列 X 由由对对应应于于不不同同频频率率的的多多个个周周期期变变动动的的和和构构成成，假假定定存存在在n个个频

69、频率率 1, 2, , n，则则这里，这里，uj ，vj 是是随机变量。随机变量。 （对所有的对所有的i，j） （对所有的（对所有的 i j） 67 可以计算得到可以计算得到 X 的方差：的方差： 在在这这里里很很有有趣趣的的是是，X 的的方方差差可可以以由由n个个方方差差 j2 的的和和来来表表示示。 j2是是对对应应于于频频率率 j 的的循循环环变变动动 uj cos j t+vj sin j t 的的方方差差，表表示示了了对对随随机机过过程程全全变变动动的的贡贡献献，下下图图是是对对应应于于频频率率的的方差图。方差图。68 频率频率 和周期和周期 p 有如下关系：有如下关系：频率频率 周

70、期周期 = p = 2 (2.3.8) 时间序列时间序列 X 的变动可以分解成各种不同频率波动的叠的变动可以分解成各种不同频率波动的叠加和，根据哪种频加和，根据哪种频率的波动具有更大的贡献率来解释率的波动具有更大的贡献率来解释 X 的的周期波动的成分，这就是谱分析（频率分周期波动的成分，这就是谱分析（频率分析）名称的缘由。析）名称的缘由。这就是说当具有各种周期的无数个波包含于景气变动中时，这就是说当具有各种周期的无数个波包含于景气变动中时，看看哪个周期看看哪个周期(频率频率)的波强烈地表现现实景气变动。谱分析的波强烈地表现现实景气变动。谱分析中的核心概念是功率谱密度函数（简称功率谱），它集中反

71、中的核心概念是功率谱密度函数（简称功率谱），它集中反映了时间序列中不同频率分量对功率或方差的贡献程度。映了时间序列中不同频率分量对功率或方差的贡献程度。 69 （1 1）白噪音的功率谱）白噪音的功率谱）白噪音的功率谱）白噪音的功率谱 在在随随机机过过程程ut是是白白噪噪音音的的情情形形，白白噪噪音音的的功功率率谱谱 f ( ) 可由下式表示可由下式表示 (2.3.9)其中：其中： 2是是ut的方差。如图所示，白噪音的功率谱是水平的。的方差。如图所示，白噪音的功率谱是水平的。因此，可知白噪音的功率谱的所有频率是具有同一权重的随机因此，可知白噪音的功率谱的所有频率是具有同一权重的随机过程。图的横轴

72、为频率，频率下面是对应的周期。在这里，过程。图的横轴为频率，频率下面是对应的周期。在这里，2是指以是指以2期为周期的周期变动，期为周期的周期变动，4是指以是指以4期为一周期的周期变期为一周期的周期变动。在这个功率谱图中，动。在这个功率谱图中，0， 的频率对应的周期从的频率对应的周期从 到到2期，期，（由于谱密度函数的对称性，图中只给出（由于谱密度函数的对称性，图中只给出0， 间的谱图）。间的谱图）。 70 （2 2） 一般随机过程的功率谱一般随机过程的功率谱一般随机过程的功率谱一般随机过程的功率谱 图图图图2.10 (a)2.10 (a) 一一般般的的功功率率谱谱的的例例子子如如图图2.10所

73、所示示。图图2.10a是是低低频频率率处处显显示示高高功功率率谱谱的的随随机机过过程程，因因为为长长周周期期变变动动的的比比重重高高，所所以以表表明明是是以以长长期期波波动动为为主主要要特特征征的的随随机机过过程程。而而当当 = 0时时的的功功率率谱谱有有无无限限大大的的周周期期，即即表表示示时时间间序序列列是是以以趋趋势势要要素素为为主主要要特特征征。经经济济数数据据多多数数具具有有显显著著的的上上升升趋趋势势，所所以以Granger（1996）指指出出：“经经济济变变量量的的典典型型的的谱谱形形状状是是如如图图2.10a中中所所示示的的那那样趋势性强的功率谱。样趋势性强的功率谱。” 71

74、相反地，图相反地，图2.10b是高频率处显示高功率谱的随机过程，说明主要包含是高频率处显示高功率谱的随机过程，说明主要包含短周期的波动，是比白噪音还不规则的随机过程。进一步地，图短周期的波动，是比白噪音还不规则的随机过程。进一步地，图2.10c是功是功率谱集中在某个特定的频数附近的情形，意味着这个随机过程变动的大部分率谱集中在某个特定的频数附近的情形，意味着这个随机过程变动的大部分是由这个频数所确定的周期波动。是由这个频数所确定的周期波动。 (b) (c)(b) (c)72 2. 2. 频率响应函数频率响应函数频率响应函数频率响应函数 考虑随机过程考虑随机过程 xt 的线性变换的线性变换 (2

75、.3.10)其其中中：wj 是是确确定定的的权权重重序序列列，比比如如是是 xt 的的移移动动平平均均权权重重。上面的变换可以用延迟算子表示为上面的变换可以用延迟算子表示为 (2.3.11)其中：其中：73 由由这这种种变变换换构构成成的的延延迟迟多多项项式式被被称称为为线线线线性性性性滤滤滤滤波波波波(linear filter)，或或只只称称为为滤滤波波。这这样样的的变变换换还还可可以以被被说说成成对对xt作作用用了了滤滤波波。由谱分析的知识可知，由谱分析的知识可知，yt 的功率谱可以表示为的功率谱可以表示为 (2.3.12)其其中中：fy( )和和fx( )分分别别是是yt和和xt的的功

76、功率率谱谱，关关于于e-i =cos -isin 的的指数函数指数函数W(e-i )被定义为：被定义为： (2.3.13)其中其中：i 是满足是满足i2=-1的虚数的虚数。W(e-i ) 等同于等同于W(L)中的中的 Lj 用用 e-ij 置置换的结果。换的结果。 74 w( )=W(e-i )称为称为滤波的频率响应函数滤波的频率响应函数滤波的频率响应函数滤波的频率响应函数(frequency response function)。W(e-i )是复数，它的绝对值是复数，它的绝对值 |W(e-i )| 是是实数，称为滤波的增益实数，称为滤波的增益(gain)。因此，变换后的功率谱给定为。因此，

77、变换后的功率谱给定为实数。进一步，增益的平方实数。进一步，增益的平方|W(e-i )|2称为称为滤波的功率传递函滤波的功率传递函滤波的功率传递函滤波的功率传递函数数数数(power transfer function)，或只称为，或只称为传递函数传递函数传递函数传递函数。 要想得到理想的滤波，需要无限阶移动平均。实际应用要想得到理想的滤波，需要无限阶移动平均。实际应用中，我们必须要用有限项移动平均近似理想的滤波，设截断点中，我们必须要用有限项移动平均近似理想的滤波，设截断点为为n，这时的频率响应函数为，这时的频率响应函数为(2.3.14) 75 形如式形如式(2.3.10)的线性变换被称为线性

78、滤波，是因的线性变换被称为线性滤波，是因为通过适当设计权重序列，可以使传递函数为通过适当设计权重序列，可以使传递函数 W(e-i )2 在某些频率区间内等于在某些频率区间内等于0或近似等于或近似等于0。这样根据式。这样根据式(2.3.12)就可以将输入中所有在这个频率带中的分量就可以将输入中所有在这个频率带中的分量“过滤过滤”掉，留下其他成分。根据被保留下来的频率位于掉，留下其他成分。根据被保留下来的频率位于低频处、高频处或某个中间带上，分别称为低通滤波低频处、高频处或某个中间带上，分别称为低通滤波（low-pass filters，LP）、）、高通滤波（高通滤波（high-pass filt

79、ers，HP）和和带通滤波（带通滤波（带通滤波（带通滤波（band-pass filtersband-pass filters，BPBP）。 76例例例例2.5 2.5 差分滤波的效果差分滤波的效果差分滤波的效果差分滤波的效果 现在设时间序列现在设时间序列xt有功率谱有功率谱fx( ) 。考虑取差分系列。考虑取差分系列yt (2.3.15)用延迟多项式来表示用延迟多项式来表示 (2.3.16) 因此，差分滤波的频率响应函数是因此，差分滤波的频率响应函数是 (2.3.17)77 传递函数由下式给定传递函数由下式给定 (2.3.18) 因此，因此，yt 的功率谱由下式给定的功率谱由下式给定 (2.

80、3.19)图图图图2.11 2.11 差分滤波的图形差分滤波的图形差分滤波的图形差分滤波的图形78 像图像图2.11(a) 所示的那样，差分滤波的传递函数在所示的那样，差分滤波的传递函数在 = 0 处处取取0，然后先缓缓上升，很快就急速上升。如果原来的时间序，然后先缓缓上升，很快就急速上升。如果原来的时间序列列 xt 的功率谱如图的功率谱如图2.11 (b)，趋势很强，作为差分结果的，趋势很强，作为差分结果的 yt 的功率谱就如图的功率谱就如图2.11(c) 的形状。这样的差分处理，趋势的形状。这样的差分处理，趋势要素（要素（ = 0的功率）完全被消除，具有大幅度减少长期变动的功率）完全被消除

81、，具有大幅度减少长期变动的效果。的效果。 图图图图2.11 2.11 差分滤波的图形差分滤波的图形差分滤波的图形差分滤波的图形79 4 4带通滤波带通滤波带通滤波带通滤波 可可以以使使得得在在频频率率带带 L1| |0）, T 是是估估计计样样本本的的期期末末值值。要要开开始始递递归归，我我们们需需要要 和和 的的初初值值。EView使使用用原原来来观观测测值值的的均均值值来来开开始始递递归归。Bowermen和和OConnell（1979）建建议议 值值在在0.01到到0.03之之间间较较好好。也也可可以以让让EViews估估计计使使一一步步预预测测误误差差平平方方和和最最小小的的 值。值。

82、 97 2 2. . . .双指数平滑（一个参数）双指数平滑（一个参数）双指数平滑（一个参数）双指数平滑（一个参数） 这种方法是将单指数平滑进行两次（使用相同的参数）。这种方法是将单指数平滑进行两次（使用相同的参数）。适用于有线性趋势的序列。序列适用于有线性趋势的序列。序列 y 的双指数平滑以递归形式的双指数平滑以递归形式定义为定义为 其其中中: 0 1, St 是是单单指指数数平平滑滑后后的的序序列列，Dt 是是双双指指数数平平滑滑序列。序列。98 双指数平滑的预测如下双指数平滑的预测如下 最后一个表达式表明双指数平滑的预测有线性趋势，截距最后一个表达式表明双指数平滑的预测有线性趋势，截距为

83、为 2ST DT ，斜率为斜率为 (ST DT )/(1 )， T 是估计样本的期是估计样本的期末值。末值。99 3 3. . . .Holt-Winters Holt-Winters 无季节趋势（两个参数）无季节趋势（两个参数）无季节趋势（两个参数）无季节趋势（两个参数） 这种方法适用于具有线性时间趋势无季节变差的情形。这这种方法适用于具有线性时间趋势无季节变差的情形。这种方法与双指数平滑法一样以线性趋势无季节成分进行预测。种方法与双指数平滑法一样以线性趋势无季节成分进行预测。双指数平滑法只用了一个参数，这种方法用两个参数。双指数平滑法只用了一个参数，这种方法用两个参数。yt 平滑平滑后的序

84、列后的序列 由下式给出由下式给出 其中其中: a 表示截距；表示截距；b表示斜率表示斜率, 即趋势。即趋势。100 这两个参数由如下递归式定义这两个参数由如下递归式定义其其中中: k 0 , , 在在0-1之之间间，为为阻阻尼尼因因子子。这这是是一一种种有有两两个参数的指数平滑法。个参数的指数平滑法。 预测值计算如下预测值计算如下 这些预测值具有线性趋势，截距为这些预测值具有线性趋势，截距为 aT ，斜率为斜率为 bT ， T 是估计样本的期末值。是估计样本的期末值。 101 4 4. . . .Holt-WinterHolt-Winter加法模型（三个参数）加法模型（三个参数）加法模型（三个

85、参数）加法模型（三个参数） 该该方方法法适适用用于于具具有有线线性性时时间间趋趋势势和和加加法法模模型型的的季季节节变变差差。yt 平滑后的序列平滑后的序列 由下式给出由下式给出其中：其中：at 表示截距，表示截距，bt 表示斜率，表示斜率， at + bt k 表示趋势，表示趋势，St 为加为加法模型的季节因子，法模型的季节因子，s 表示季节周期长度，月度数据表示季节周期长度，月度数据 s =12，季度数据季度数据 s = 4。需要用简单的方法给出季节因子的第一年的需要用简单的方法给出季节因子的第一年的初值，以及截距和斜率的初值。初值，以及截距和斜率的初值。102 这三个系数由下面的递归式定

86、义这三个系数由下面的递归式定义其中：其中：k 0， ， ， 在在01之间，为阻尼因子。预测值由之间，为阻尼因子。预测值由下式计算下式计算 其中：其中：ST+k-s 用样本数据最后一年的季节因子，用样本数据最后一年的季节因子，T 是估计样本的是估计样本的期末值。期末值。 103 5 5. . . .Holt-wintersHolt-winters乘法模型（三个参数）乘法模型（三个参数）乘法模型（三个参数）乘法模型（三个参数） 这种方法适用于序列具有线性趋势和乘法季节变化。这种方法适用于序列具有线性趋势和乘法季节变化。yt 的的平滑序列平滑序列 由下式给出由下式给出其中：其中：at 表示截距，表示

87、截距，bt 表示斜率，表示斜率， at + bt k 表示趋势，表示趋势，St 为乘为乘法模型的季节因子，法模型的季节因子，s 表示季节周期长度，月度数据表示季节周期长度，月度数据 s =12，季度数据季度数据 s = 4。需要用简单的方法给出季节因子的第一年的需要用简单的方法给出季节因子的第一年的初值，以及截距和斜率的初值。初值，以及截距和斜率的初值。104这三个系数定义如下这三个系数定义如下 其中：其中：k 0， ， ， 在在01之间，为阻尼因子。预测值由下之间，为阻尼因子。预测值由下式计算式计算 其中：其中：ST+k-s 用样本数据最后一年的季节因子，用样本数据最后一年的季节因子，T 是

88、估计样本的是估计样本的期末值。期末值。105 指数平滑法操作指数平滑法操作指数平滑法操作指数平滑法操作 调调入入工工作作文文件件2_stock, 利利用用指指数数平平滑滑法法对对我我国国上上证证收收盘盘指指数数（时时间间范范围围：1991年年1月月-2003年年3月月）的的月月度度时时间间序序列列 (sh_s) 进进行行拟拟合合和和预预测测，选选择择Procs/ Exponential Smoothing 显示如下对话框显示如下对话框: 106 1 1平滑方法平滑方法平滑方法平滑方法 在在5种方法中选择一种方法。种方法中选择一种方法。 2 2平平平平滑滑滑滑参参参参数数数数 既既可可以以指指定

89、定平平滑滑参参数数也也可可以以让让EViews估估计计它它们们的的值值。要要估估计计参参数数，在在填填充充区区内内输输入入字字母母e，EViews估估计计使使误误差差平平方方和和最最小小的的参参数数值值。如如果果估估计计参参数数值值趋趋于于1，这这表表明明序序列列趋趋于于随随机机游游走走，最最近近的的值值对对估估计计将将来来值值最最有有用用。要要指指定定参参数数值值，在在填填充充区区内内输输入入参参数数值值，所所有有参参数数值值在在0-1之之间间，如如果果输输入入的的参参数数值值超超出出这这一一区区间间，EViews将将会会估估计计这个参数。这个参数。 107 3 3平平平平滑滑滑滑后后后后的

90、的的的序序序序列列列列名名名名 可可以以为为平平滑滑后后的的序序列列指指定定一一个个名名字字，EViews在原序列后加在原序列后加SM指定平滑后的序列名，也可以改变。指定平滑后的序列名，也可以改变。 4 4估估估估计计计计样样样样本本本本 必必须须指指定定预预测测的的样样本本区区间间（不不管管是是否否选选择择估估计计参参数数）。缺缺省省值值是是当当前前工工作作文文件件的的样样本本区区间间。EViews将将从样本区间末尾开始计算预测值。从样本区间末尾开始计算预测值。 5 5季季季季节节节节循循循循环环环环 可可以以改改变变每每年年的的季季节节数数（缺缺省省值值为为每每年年12个个月月、4个个季季

91、度度）。这这个个选选项项允允许许预预测测不不规规则则间间距距的的数数据据，在空白处输入循环数。在空白处输入循环数。108 例例例例2.7 2.7 指数平滑方法应用指数平滑方法应用指数平滑方法应用指数平滑方法应用 本例利用指数平滑方法对我国上证收盘指数（时间范围：本例利用指数平滑方法对我国上证收盘指数（时间范围：1991年年1月月-2003年年3月）的月度时间序列月）的月度时间序列 (sh_s) 进行拟合和预进行拟合和预测。采用五种平滑模型对测。采用五种平滑模型对1991年年1月月-2002年年9月的月的s序列数据做序列数据做指数平滑，并利用预测公式得到指数平滑，并利用预测公式得到2002年年10月月-2003年年3月半年的月半年的预测值。预测值。109110