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1、一、球面坐标系一、球面坐标系三重积分在球坐标系下的计算三重积分在球坐标系下的计算 二、典型例题二、典型例题0xz yM(r, , )r Nyxz.一、球面坐标系一、球面坐标系. SrM yz x0r =常数常数: =常数常数:球面球面S动点动点M(r, , )球面坐标的坐标面球面坐标的坐标面 C Cr =常数常数: =常数常数:S S球面球面S半半平面平面P动点动点M(r, , )M yz x0 P P =常数常数:锥面锥面C.球面坐标的坐标面球面坐标的坐标面 r drd rsin xz y0圆锥面圆锥面 rd 球面r圆锥面圆锥面 +d 球面球面r+d r元素区域由六个坐标面围成：元素区域由六
2、个坐标面围成：d rsin d 16.16. 球面坐标下的体积元素球面坐标下的体积元素半平面半平面 及及 +d ； 半径为半径为r及及r+dr的球面；的球面；圆锥面圆锥面 及及 +d r drd xz y0 d rd 元素区域由六个坐标面围成：元素区域由六个坐标面围成：rsin d 16.16. 球面坐标下的体积元素球面坐标下的体积元素.半平面半平面 及及 +d ； 半径为半径为r及及r+dr的球面；的球面；圆锥面圆锥面 及及 +d r 2sin drd d sin drd d r 2rcos )把三重积分的变量从直角坐把三重积分的变量从直角坐标变换为球面坐标的公式标变换为球面坐标的公式二、典
3、型例题适用范围适用范围1) 积分域积分域表面用球面坐标表示时表面用球面坐标表示时方程简单方程简单;2) 被积函数被积函数用球面坐标表示时用球面坐标表示时变量互相分离变量互相分离0xz yrR 对对r: 从从0R积分积分,得半径得半径任取球体内一点任取球体内一点10xz yMr R对对r: 从从0R积分积分,得半径得半径任取球体内一点任取球体内一点对对 : 从从0 积分，积分，.1对对r: 从从0R积分积分,得半径得半径任取球体内一点任取球体内一点对对 : 从从0 积分，积分， R对对 : 从从0 积分，得球体积分，得球体 .10xz y得锥面得锥面0xz yR .对对r: 从从0R积分积分,得
4、半径得半径任取球体内一点任取球体内一点对对 : 从从0 积分，积分，对对 : 从从0 积分，得球体积分，得球体 0得锥面得锥面I=V当当 f =1,.1球系下确定积分限练习球系下确定积分限练习1 为全球体为全球体2 为空心球体为空心球体3 为上半球体为上半球体4 为右半球体为右半球体5 为球体的第一、二卦限部分为球体的第一、二卦限部分.2z 0xya化为球系下的方程化为球系下的方程化为球系下的方程化为球系下的方程r=2a cos .M.r 3 3P164.10.(2)例例4:解解1:解解2 2在柱面坐标系中计算在柱面坐标系中计算例例5. 计算三重积分计算三重积分解解: 在球面坐标系下在球面坐标
5、系下所围立体.其中其中 与球面机动 目录 上页 下页 返回 结束 P165.10.(1)例例6.6.计算计算解解: : 的表达式中含的表达式中含x2+y2+z2,可用球面坐标求积分可用球面坐标求积分. x = r sin cos , y=rsin sin , z=rcos .且两球面方程分别为r=b和r=a,(ab).0ar=azyxbr=bP165.11,(4)0ar=azyxbr=b由由 的的形状知形状知,a r b,0 , 0 2 .解解例例7如图，如图，计算三重积分应注意的问题计算三重积分应注意的问题1.1.适当地选取坐标系适当地选取坐标系： 当积分区域当积分区域是柱体（或其一部分），
6、是柱体（或其一部分），或或在某坐标面上投影为圆域（或一部分），在某坐标面上投影为圆域（或一部分），要不然被积函数为要不然被积函数为 型时采用柱面坐标，一般先对型时采用柱面坐标，一般先对Z Z次对次对p p后对后对积分。积分。 当当为球域（或其一部分）或被积函数为球域（或其一部分）或被积函数 采用球面坐标，否则采用直角坐标。采用球面坐标，否则采用直角坐标。2.三重积分化为三次定积分，无论选三重积分化为三次定积分，无论选择什么坐标系和积分次序择什么坐标系和积分次序最里层积分上下限一般是外面两层积分变量的函数，最里层积分上下限一般是外面两层积分变量的函数，中层积分上下限是外层积分变量函数，中层积分上
7、下限是外层积分变量函数，最外层上下限一定是常数，无论哪层上限必大于下限。最外层上下限一定是常数，无论哪层上限必大于下限。 3 3。关于最里层积分的定限。关于最里层积分的定限：若积分变量是若积分变量是dxdx一用平行一用平行x x轴直线轴直线若积分变量是若积分变量是dydy一用平行一用平行y y轴直线轴直线 若积分变量是若积分变量是dzdz一用平行一用平行z z轴直线轴直线穿过穿过，观察穿入，观察穿入穿出的情况定限穿出的情况定限。若积分变量是若积分变量是dp时一定要从原点出发发出射线时一定要从原点出发发出射线穿过区域观察穿进穿出情况定限。穿过区域观察穿进穿出情况定限。 内容小结内容小结积分区域积分区域多由坐标面多由坐标面被积函数被积函数形式简洁形式简洁, 或或坐标系坐标系 体积元素体积元素 适用情况适用情况直角坐标系直角坐标系柱面坐标系柱面坐标系球面坐标系球面坐标系变量可分离变量可分离.围成围成 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束
