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1、 1-1.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值 ,试分别指出它们的绝对误差限,相对误差限和有效数字的位数. x1=5.420,x2=0.5420,x3=0.00542,x4=6000,x5=0.6105.一一. .习题习题1 1（第（第1010页）页） 解解 绝对误差限分别为: 1=0.510-3,2=0.510-4,3=0.510-5,4=0.5,5=0.5104 . 相对误差限分别为: r1=0.510-3/5.420=0.00923%, r2=0.00923%,r3=0.0923%,4=0.0083%,5=8.3%. 有效数位分别为: 4位,4位,3位,4位,1位. 1-2.下列近似值的
2、绝对误差限都是0.005,试问它们有几位有效数字. a=-1.00031,b=0.042,c=-0.00032 解解 有效数位分别为: 3位,1位,0位. 1-3.为了使101/2的相对误差小于0.01%,试问应取几位有效数字? 解解 因为101/2=3.162=0.316210,若具有n位有效数字,则其绝对误差限为0.5 101-n ,于是有 r=0.5101-n/3.1620.5101-n/30.01% 因此只需n=5.即取101/2=3.1623 解解 x1=28+27.982=55.982,x2=1/x1=0.017863 1-4.求方程x2-56x+1=0的两个根,使它们至少具有四位
3、有效数字 2-2(1).用列主元Gauss消元法解方程组 解解 二二.习题习题2 (第第50页页)回代得解: x3=1, x2=-1, x1=0 2-3(1).对矩阵A A进行LULU分解,并求解方程组Ax=bAx=b,其中 解解 ，所以 2-4.对矩阵A A进行LDMLDM分解和Crout分解，其中 解解 2-5.对矩阵A A进行LDLLDLT T分解和GGGGT分解，并求解方程组Ax=bAx=b，其中 解解 2-6(1).给定方程组 a.用Cramer法则求其精确解. b.用Gauss消元法和列主元Gauss消元法求解,并比较结果.(用两位浮点计算). 解解 a.x=-1/-0.99=1.
4、010101,y=-0.98/-0.99=0.989899 b.用Gauss消元法 2-8.用追赶法求解方程组:回代得解: y=1, x=0. 再用列主元Gauss消元法回代得解: y=1, x=1. 解解 2-10.证明下列不等式: (1)x-yx-z+z-y; (2)|x-y|x-y; 证明证明 (1)x-y=(x-z)+(z-y)x-z+z-y (2) 因为 x=(x-y)+yx-y+y 所以 x-yx-y ,同理可证 y-xx-y 于是有 |x-y|x-y . 2-11.设为一向量范数,P P为非奇异矩阵,定义x xp= PxPx, 证明x xp 也是一种向量范数. 证明证明 (1)x
5、 xp=PxPx0,而且PxPx=0PxPx=0 0x x=0 0 (3)x x+y yp=P P(x+yx+y)=PxPx+ +PyPyPxPx+PyPy=x xp+y yp (2)x xp=P P(x x)=PxPx=|PxPx=|x xp所以x xp是一种向量范数. 2-12.设A为对称正定矩阵,定义x xA= ,证明A是一种向量范数. 证明证明 由Cholesky分解有A=GGA=GGT T,所以x xA=GTx2,由上题结果知x xA是一向量范数. 2-16.对任意矩阵范数,求证: 证明证明 (1)因为A A=AEAEA AE E ,所以E E1. (2)1E E=AAAA-1-1A
6、 AA A-1-1 ,故 2-17.证明: (1)如果A为正交矩阵,则Cond2(A)=1; (2)如果A为对称正定矩阵,则Cond2(A)=1/n,1和n分别为A的最大和最小特征值. 证明证明 (1)A正交,则ATA=AAT=E,Cond2(A)=A A2A A- -1 12=1. (2)A对称正定,ATA=A2, A A2=1. A A-1-12=1/n. (3)A A-1-1-B-B-1-1=A A-1-1(B-A)B(B-A)B-1-1A A-1-1B B-1-1A-BA-B三三.习题习题3 (第第75页页) 3-2.讨论求解方程组Ax=bAx=b的J迭代法和G-S迭代法的收敛性.其中
7、 解解 (1) J迭代法的迭代矩阵为 得(2+5/4)=0, 即1=0,2= ,3= , 故(B)= 所以J迭代法不收敛. (2)类似可得(B B)=0,(G G)=2, 故J迭代法收敛,G-S迭代法不收敛.所以,(G G)=1/2, 故G-S迭代法收敛. G-SG-S迭代法的迭代矩阵为: , 得(2+1)2=0,故(G)=1/2. 3-3.用J迭代法和G-S迭代法求解方程组J迭代法有x(1)=(1.2,1.5,2)T, x x(1)(1)-x-x(0)(0)=2取初始近似x(0)=(0,0,0)T,问各需迭代多少次才能使误差x x(k)(k)-x-x* *10-6. 解解 J迭代法和G-S迭
8、代法的迭代矩阵分别为 G-S迭代法有x(1)=(1.2,1.35,2.11)T, x x(1)(1)-x-x(0)(0)=2.11 B B=1/3=0.33333 , G G=1/4=0.25易得:(B B)=|,(G G)=2.故当|1 ,(G G)=31. 3-8.判定求解下列方程组的SOR方法的收敛性. 解解 直接可验证系数矩阵A是负定矩阵,所以-A是对称正定矩阵,故当00, (1)=-sin10,故方程在0,1内有根,又(x)=-1-cosx0, x0,1,所以方程在0,1内仅有一个根. 可见,需要计算14步. 由于 ,所以k4/log2=13.29 4-3.比较使用下述方法求方程ex
9、+10x-2=0的正根，准确到三位小数所需要的计算量: (1) 在区间0,1内用二分法; (2) 用迭代法 ,取x0=0. 解解 (1) (1)由 (2) 迭代法的迭代函数为(x)=(2-ex)/10, |(x)|= ex/10e/101,取L=e/10,且x1=0.1,由 k3/log2=9.97 ,所以需要计算10步. ,可得所以,只需迭代5步.可得 若取L=e0.1/10,可得k2.46,所以只需迭代3次. 4-4.设(x)=cosx,证明:任取x0,迭代式xk+1=(xk),k= 0,1,2,均收敛于方程x=(x)的根 . 证明证明 因为对任意x0,都有x1=cosx0-1,1,所以只
10、需证明迭代式在区间-1,1收敛. 因为(x)=cosx连续可导,|(x)|=|sinx|sin11,所以(x)是区间-1,1上的压缩映射,因此结论成立.这里迭代函数(x)= 解解 记(x)=x3+2x-5C0,2,且(0)=-50, 所以方程在区间0,2内有根,建立迭代格式 4-5.4-5.验证区间0,2是方程x3+2x-5=0的有根区间,并建立一个收敛的迭代格式,使对任何初值x00,2都收敛,并说明理由. ,由于 01(x) 所以(x)是区间0,2上的压缩映射,故迭代式收敛. 证明证明 这里(x)=x-(x),由于对任意(0,2/M)均收敛于(x)=0的根 . 4-7.4-7.给定函数(x)
11、,设对一切x,(x)存在且0m(x) M,证明对任意(0,2/M),迭代式 2 , x0,2 且 |(x)|= 2/31 , x0,2 -1=1-2(x)=1-(x)1所以|()|1,试问如何将x=(x)化为适于迭代的形式?将x=tanx化为适于迭代的形式,并求在x=4.5附近的根.由于|-1(x)|=1/|(x)|1/k 0),分别导出求 的迭代公式,并求 由于 解解 迭代格式分别为 所以对(1)有 4-13.4-13.证明迭代公式：xk+1=xk(xk2+3a)/(3xk2+a),k=0, 1,2,是求 ,对(2)有 证明证明 设 的三阶方法. ,则有: =(2+3a)/(32+a) 故
12、2=a , 即又由于 所以有因此是三阶方法.五五.习题习题5 (第第131页页) 5-1.用Gerschgorin圆盘定理估计下列矩阵的特征值. 解解 (1)三个圆盘为|-1|0.2,|-2|0.4,|-3|0.3.是相互独立的,因此,三个特征值分别为;(2)三个圆盘为|-4|2,|-2|1,|-9|2.前两个圆盘连通,后一个独立,因此, 1,2,落在前两个圆盘的连通区域内, 7311. 0.811.2 , 1.622.4 , 2.733.3 5-5.求矩阵A按模最大和最小特征值.其中 解解 用幂法求A的按模最大特征值,计算公式为: v v(k)=AuAu(k-1) k=max(v v(k)
13、u u(k)=v v(k)/k ,k=1,2,.取初值u u(0)= =(1,1,1)T,计算结果如下:取17=19.301 k01234567u1(k)11111111u2(k)10.51850.71270.64870.67480.66590.66930.6681u3(k)10.37040.50110.43660.45630.44820.45100.4499k2717.148220.135818.979819.398419.244619.301 解解 用反幂法求A A的按模最小特征值,计算公式为: AvAv(k)=u u(k-1) k=max(v v(k) u u(k)=v v(k)/k ,
14、k=1,2,.取初值u u(0)= =(1,1,1)T,计算结果如下:k01234567u1(k)11-0.1318-0.6500-0.1902-0.3689-0.0590-0.2550u2(k)1-0.18920.14931-0.33231-0.58111u3(k)10.21621-0.39691-0.69171-0.9204k0.11310.1204-0.1353-0.2192-0.1659-0.2225-0.1724k89101112131415u1(k)-0.02920.19750.06170.15640.09160.13550.10580.1259u2(k)-0.7168-0.994
15、0-0.7713-0.9089-0.8119-0.8765-0.8319-0.8618u3(k)11111111k-0.23300.17940.23450.19380.21970.20160.21370.2054取n1/15=4.8686 5-7.利用带位移的反幂法计算矩阵的特征值. 解解 作位移矩阵B=A-7EB=A-7E ,建立计算公式: BvBv(k)=u u(k-1) k=max(v v(k) u u(k)=v v(k)/k ,k=1,2,.取初值u u(0)= =(1,1,1)T,计算结果如下:k01234567u1(k)11111111u2(k)10.750.72220.71620
16、.71480.71440.71430.7143u3(k)1-0.4-0.8044-0.9403-0.9828-0.9951-0.99870.9998k-2-1.125-1.0278-1.0067-1.0018-1.0004-1.0000取7+1/7=6 5-9(2)利用Jacobi方法求矩阵A的所有特征值，其中 解解 记取p=1，q=2，则有 cos=(1+t2)-1/2=0.7071, sin=tcos0.7071 类似地有所以取 17.37228 ,22.99991 ,31.62781 5-10.设矩阵H=E-2xxH=E-2xxT T,向量x x满足x xT Tx x=1,证明: (1)
17、H为对称矩阵,即H HT T=H=H; (2)H为正交矩阵,即H HT TH=EH=E; (3)H为对合矩阵,即H H2 2=E=E. 证明证明 (1)因为HT=(E-2xxT)T=E-2xxT=H,故H对称. 6-1.当x=1,-1,2时,(x)分别为0,-3,4,求(x)的二次插值多项式p2(x).(2)因为H HT TH=(E-2xxH=(E-2xxT T) )T T(E-2xx(E-2xxT T)=E-4xx)=E-4xxT T+4xx+4xxT TxxxxT T=E=E,故H H正定.(3)由(1)和(2)即得,H H是对合矩阵.六六.习题习题6 (第第180页页) 解法一解法一.
18、. 基函数法: p2(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2=-3l1(x)+4l2(x) 6-2.设l2(x)是以xk=x0+kh,k=0,1,2,3为插值节点的3次插值基函数,求 解法二解法二. . 待定系数法,设p2(x)=(x-1)(ax+b), 则有 p2(x)=-3l1(x)+4l2(x) 2(a-b)=-3, 2a+b=4 ,解得,a=5/6, b=7/3, 所以 p2(x)=1/6(x-1)(5x+14) 6-3.设l0(x),l1(x),ln(x)是以x0,x1,xn为节点的n次Lagrange插值基函数,求证: 解解 证明 (1)记(x)=xk,则yj=(xj
19、)=xjk,j=0,1,n.于是 6-4.设(x)C2a,b,且(a)=(b)=0,证明 证明证明 以a,b为节点作(x)的线性插值有L1(x)=0,故 (2)记(t)=(t-x)k,则yj=(xj)=(xj-x)k,j=0,1,n.于是取t=x,则有其中, |(x)|=|(x)-L1(x)| 6-5.利用y= 的近似值,并由误差公式给出误差界,同时与实际误差作比较. 解解 由二次Lagrange插值得: 在x=100,121,144点的函数值 ,用插值方法求 实际误差： 6-8.(x)=x5+4x4+3x+1,求差商20,21,25和20, 21,26. 解解 20,21,25= 20,21
20、,26= 0 6-9.设(x)=x5+x3+1, 取x0=-1,x1=-0.8,x2=0,x3=0.5, x4=1,作出(x)关于x0,x1,x2,x3,x4的差商表,给出(x)关于x0,x1,x2,x3的Newton插值多项式,并给出插值误差. 解解 差商表为 xk(xk)一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商x0=-1x1=-0.8x2=0x3=0.5x4=1-10.1603211.1562535.80161.04960.31253.6875-4.752-0.5673.3752.792.19-0.3Newton插值多项式为: |R3(x)|=|-1,-0.8,0,0.5,x(x+1)(x+0.8
21、)x(x-0.5)| 6-10.设(x)=x4+2x3+5, 在区间-3,2上, 对节点x0= -3,x1=-1,x2=1,x3=2,求出(x)的分段三次Hermite插值多项式在每个小区间xi,xi+1上的表达式及误差公式. 解解 在-3,-1上,由y0=32,y1=4,y0=-54,y1=2,h=2,得 N3(x)=-1+5.8016(x+1)-4.752(x+1)(x+0.8) +2.79(x+1)(x+0.8)x 5|(x+1)(x+0.8)x(x-0.5)| H3(x)=320(x)+41(x)-540(x)+21(x)令0(x)=(x+1)2(ax+b),可得a=1/4,b=1,所
22、以 0(x)=(x+1)2(x+4)/4同理可得: 0(x)=(x+3)(x+1)2/4 1(x)=-(x+3)2x/4 1(x)=(x+3)2(x+1)/4 H3(x)=8(x+1)2(x+4)-(x+3)2x -13.5(x+3)(x+1)2+0.5(x+3)2(x+1) =-6x3-22x2-24x-4所以有误差为 R(x)=(x+3)2(x+1)2类似地,在区间-1,1上有 H3(x)=2x3+2x2+4 R(x)=(x+1)2(x-1)2 H3(x)=写到一起就是 R(x)=在区间1,2上有 H3(x)=8x3-13x2+12x+1 R(x)=(x-1)2(x-2)2 -6x3-22
23、x2-24x-4 , -3x-1 2x3+2x2+4 , -1x1 8x3-13x2+12x+1 , 1x2 (x+3)2(x+1)2 , -3x-1 (x+1)2(x-1)2 , -1x1 (x-1)2(x-2)2 , 1x2 6-12.确定a，b，c使函数是一个三次样条函数。 解解 因为S(x)是分段三次多项式,故只需S(x)C20,3 由 1=S(1-0)=S(1+0)=c ,得 c=1所以,当a=b=3,c=1时,S(x)是三次样条函数. 6-13.确定a，b，c,d,使函数 由 3=S(1-0)=S(1+0)=b ,得 b=3 由 6=S(1-0)=S(1+0)=2a ,得 a=3是
24、一个三次样条函数,且S(2)=12. 解解 由已知可得: a+b+c+d=2, b+2c+3d=5,2c+6d=8,6d=12, 解之得:a=-1,b=3,c=-2,d=2. 6-19.给出函数表 解解 线性拟合,即形如y=a+bx的拟合曲线.构造向量 0=(1,1,1,1,1,1)T, 1=(-1,-0.5,0,0.25,0.75,1)T, =(0.22,0.8,2,2.5,3.8,4.2)T. 则得正则方程组: 6a+0.5b=13.52 xi-1-0.500.25 0.751yi0.220.822.53.84.2试分别作出线性,二次曲线拟合,并给出最佳均方误差. 0.5a+2.875b=
25、7.055 解得:所以,线性拟合曲线为:y=2.078971+2.092353x最佳均方误差为:*2= =0.38659 二次拟合,即形如y=a+bx+cx2的拟合曲线.构造向量 0=(1,1,1,1,1,1)T, 1=(-1,-0.5,0,0.25,0.75,1)T, 2=(1,0.25,0,0.0625,0.5625,1)T， =(0.22,0.8,2,2.5, 3.8,4.2)T.则得正则方程组: 6a+0.5b+2.875c=13.52 0.5a+2.875b+0.3125c=7.055 解得:a=1.94448,b=2.0851,c=0.28191.二次拟合曲线为:y=1.94448
26、+2.0851x+0.28191x2.最佳均方误差为:*2= =0.06943. 2.875a+0.3125b+2.3828125c=6.91375 6-20.用最小二乘法求一个形如y=a+bx2的经验公式,使与下列数据拟合,并计算均方误差. 解解 这里基函数为0(x)=1,1(x)=x2,构造向量 0=(1,1,1,1,1)T, 1=(361,625,961,1089,1936)T, =(19,32.2,49,73.3,97.8)T.则得正则方程组: 5a+4972b=271.3 4972a+6378484b=343237.5 解得:a=3.33339,b=0.051213.所求拟合曲线为:
27、y=3.33339+0.051213x2.最佳均方误差为:*2= =15.93299xi1925313344yi1932.24973.397.8 6-22.用最小二乘法求下列方程组的近似解: 解解 记G(x,y)=(2x+4y-11)2+(3x-5y-3)2+(x+2y-6)2+(4x+2y-14)2 就是求G(x,y)的最小值,令解得: x=2.977413,y=1.225873 7-1.建立右矩形和左矩形求积公式,并导出误差式.七七.习题习题7 (第第213页页) 解法解法. . 右矩形公式为：由于(x)-(a)=(x)(x-a), (x)-(b)=(x)(x-b) 左矩形公式为：所以有
28、7-2.说明中矩形公式的几何意义,并证明 证明证明 由Taylor展开式有所以有 7-3.若(x)0,证明用梯形公式计算定积分所得结果比准确值大,说明几何意义. 证明证明 因为(x)0,所以y=(x)是凹函数,故结论成立. 7-5.确定下列积分公式中的待定参数，使其代数精度尽可能高，并说明代数精度是多少？ 解解 令公式对(x)=1,x,x2都精确成立,则有 解得:A-1=A1=h/3,A0=4h/3. A-1+A0+A1=2h -hA-1+hA1=0 h2A-1+h2A1=2h3/3求积公式为: (x)=x3时,左=右=0,公式也精确成立 (x)=x4时,左=2h5/5,右=2h5/3,公式不
29、精确成立所以公式的代数精确为3. 解解 令公式对(x)=1,x,x2都精确成立,则有 解得: 2=2 2x1+3x2-1=0 2x12+3x22+1=2求积公式为: (x)=x3时,公式都不精确成立,故代数精度为2. 解解 当(x)=1时,左=h，右=h，对所有都成立。 (x)=x时有左=右=h2/2，对所有都成立。 故公式的代数精度为3. 解解 令公式对(x)=1,x精确成立,则有 (x)=x2时,左=h3/3,右=h3/2-2h3，故取=1/12,则有 (x)=x3时,左=h4/4,右=h4/2-h4/4=h4/4，也精确成立. (x)=x4时,左=h5/5,右=h5/2-h5/3=h5/
30、6，不精确成立. A0=2/3 A0x0=0 解得A0=2/3,x0=0. 所以公式为 ,其代数精度为1. 7-7.设 解解 因为|(lnx)|=1/x21, |(lnx)(4)|=6/x46 要|I-Tn|9.13,故取n=10.IS2=1/12ln1+2ln1.5+ln2+4ln1.25+4ln1.75=0.386260 导出两点Gauss型求积公式. 若取=10-3,分别求出n使复化梯形公式Tn,复化Simpson公式Sn的截断误差满足: |I-Tn|,及|I-Sn| ,并计算Sn .要|I-Sn|1.201,故取n=2. 7-10.对积分 解解 区间0,1上权函数为ln(1/x)的正交
31、多项式为: P0(x)=1, p1(x)=x-1/4, p2(x)=x2-(5/7)x+17/252 令 p2(x)=0 ，解出Gauss点为： 再令公式对(x)=1,x精确成立,可得 A1+A2=1, A1x1+A2x2=1/4 ,由此解出所以两点Gauss型求积公式为: 7-11.用两点Gauss型求积公式计算下列积分的近似值. 解解 两点Gauss-Legendre求积公式为: 所以有 解解 两点Gauss-Laguerre求积公式为: A1=0.8535533905, A2=0.1464466094, x1=0.5858864376, x2=3.4142135623, 所以有所以有 解
32、解 两点Gauss-Laguerre求积公式为: A1=A2=0.0.8862269254, -x1=x2=0.7071067811 所以有 解解 两点Gauss-Hermit求积公式为: 7-12.证明下列数值微分公式：其中，xj=x0+jh，j=0，1，2。 (x)= (x-x1)(x-x2)(x0)-2(x-x0)(x-x2)(x1)+(x-x0)(x-x1)(x2)/2h2 (x0)=-3(x0)+4(x1)-(x2)/2h+R2(x0) (2) (x)=(x0)-2(x1)+(x2)/h2+R2(x) 证明证明 (1)以x0,x1,x2为节点的二次Lagrange插值为: + (x)
33、(x-x0)(x-x1)(x-x2)/6 (x)=(2x-x1-x2)(x0)-2(2x-x0-x2)(x1)+(2x-x0-x1)(x2)/2h2+R2(x) (x0)=-3(x0)+4(x1)-(x2)/2h+h2 ()/3 容易证明 (x1)(x0)-2(x1)+(x2)/h2 对 (x)取次数不超过3次的多项式精确成立. 构造三次多项式p3(x)使p3(x0)=(x0), p3(x1)=(x1), p3(x2)=(x2), p3(x1)=(x1), 则有 (x)-p3(x)=(4)(x)(x-x0)(x-x1)2(x-x2)/4!于是有 R2(x1)=(x1)-p3(x1)=(4)()
34、(-2h2)/4!=-(4)()h2/12所以 (x1)=(x0)-2(x1)+(x2)/h2-(h2/12)(4)() (3)以x0=-h,x1=0,x2=2h为节点的二次Lagrange插值为: (x)= 2x(x-2h)(-h)-3(x+h)(x-2h)(0)+x(x+h)(2h)/6h2 + (x)x(x+h)(x-2h)/6 (0)=-4(-h)+3(0)+(2h)/6h+ R2(0) (x)=4(x-h)(-h)-3(2x-h)(0)+(2x+h)(2h)/6h2+R2(x) (0)=-4(-h)+3(0)+(2h)/6h-h2 ()/3八八.习题习题8 (第第250页页) 8-5
35、.用梯形方法和四阶标准R-K方法求解初值问题 y+y=0 ， 00,证明如下方法的绝对稳定性条件 证明证明 (1)改进Euler公式为： (1)改进Euler方法: (2)四阶标准R-K方法:故改进Euler方法的绝对稳定条件为 (1)四阶标准R-K公式为： 故四阶标准R-K方法的绝对稳定条件为 的局部截断误差主项和阶. 8-12.确定两步方法 解解 所以有 又因为 所以 因此,公式的局部截断误差主项为 公式为二阶方法. 8-13.试求系数,0,1,使两步方法的局部截断误差阶尽可能的高,并写出局部截断误差主项. 解解 所以有 当=1/2,1=-1/4,0=7/4时阶最高,为二阶方法.截断误差的
36、主项为 8-15.对微分方程y=(x,y)沿区间xn-1,xn+1积分得 解解 Simpson求积公式为试用Simpson求积公式近似右边积分,导出Milne-Simpson差分公式,并说明方法的阶.所以差分公式 易见,此公式是四阶方法. 设函数(x)=x2-sinx-1 (1)试证方程(x)=0有唯一正根; (2)构造一种收敛的迭代格式xk=(xk),k=0,1,2,计算精度为=10-2的近似根; (3)此迭代法的收敛阶是多少?说明之. 解解 (1)因为0x1时,(x)0,所以(x)仅在(1,2)内有零点,而当1x0,故(x)单调.因此方程(x)=0有唯一正根,且在区间(1,2)内. (2)构造迭代格式:由于|(x)|=| |1,故此迭代法收敛. 课堂练习课堂练习 取初值x0=1.5, 计算得x1=1.41333, x2=1.40983,由于|x2-x1|=0.003510-2 , 故可取根的近似值x2=1.40983. 0 (3)因为0/2,所以()故,此迭代法线性收敛(收敛阶为1).课间休息课间休息
