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1、一、配方法一、配方法 形如形如 y=af 2(x)+bf(x)+c(a0) 的函数常用配方法求函数的的函数常用配方法求函数的值域值域, 要注意要注意 f(x) 的取值范围的取值范围. 例例1 (1)求函数求函数 y=x2+2x+3 在下面给定闭区间上的值域在下面给定闭区间上的值域: 二、换元法二、换元法 通过代数换元法或者三角函数换元法通过代数换元法或者三角函数换元法, , 把无理函数、指把无理函数、指数函数、对数函数等超越函数转化为代数函数来求函数值域的数函数、对数函数等超越函数转化为代数函数来求函数值域的方法方法( (关注新元范围关注新元范围).).例例2 求下列函数的值域求下列函数的值域
2、:(1) y=x- x-1 ; (2) y=x+ 2-x2 ; -4, -3; -4, 1; -2, 1; 0, 1. 6, 11; 6, 11; 2, 11; 2, 11; 2, 6; 2, 6; 3, 6. 3, 6. 34 , +)- 2 , 2三、判别式法三、判别式法例例5 求函数求函数 y = 的值域的值域.x2+x+1 x2-x 主要适用于形如主要适用于形如 y = (a, d y = (a, d不同时为零不同时为零) )的函数的函数( (最好是满足分母恒不为零最好是满足分母恒不为零).).ax2+bx+c dx2+ex+f (1)y= ;x2+1 2x例例6 求下列函数的值域求下
3、列函数的值域:(2)y= (x1) .x-1 x2-2x+5 -1, 1 4, +)4, +) 能转化为能转化为 A(y)x2+B(y)x+C(y)=0 的函数常用判别式法求函的函数常用判别式法求函数的值域数的值域. 1- , 1+ 1- , 1+ 2 332 33 1.求下列函数的值域求下列函数的值域: 值域课堂练习题值域课堂练习题(1) y= ; x-23x+1 (2) y=2x+4 1-x ; (3) y=x+ 1-x2 ; (1)(-, 3)(3, +)(2)(-, 4(4)3, +)(4) y=|x+1|+ (x-2)2 ; (3)-1, 2 (6) y= ; x2+x+1 2x2-
4、x-2 (8) y=x+ x+1 ; (8)-1, +)(6) , 1+2 1331-2 133 2.若函数若函数 f(x)=log3 的定义域为的定义域为 R, 值域为值域为0, 2, 求求 m 与与 n 的值的值. mx2+8x+n x2+1 解解: f(x) 的定义域为的定义域为 R, mx2+8x+n0 mx2+8x+n0 恒成立恒成立. . =64-4mn0 =64-4mn0. m0. mx2+8x+n x2+1 令令 y= , 那么那么 1y9. 1y9. mx2+8x+n x2+1 问题转化为问题转化为 xR 时时, y= 的值域为的值域为1, 9. 变形得变形得 (m-y)x2
5、+8x+(n-y)=0, (m-y)x2+8x+(n-y)=0, 当当 my my 时时, xR, =64-4(m-y)(n-y)0. , xR, =64-4(m-y)(n-y)0. 整理得整理得 y2-(m+n)y+mn-160. 依题意依题意 m+n1+9, mn-16=19, 解得解得 m=5, n=5. 当当 m=y m=y 时时, , 方程即为方程即为 8x+n-m=0, 8x+n-m=0, 这时这时 m=n=5 m=n=5 满足条满足条件件. . 故所求故所求 m 与与 n 的值均为的值均为 5. 求函数值域方法很多，常用配方法、换元法、判别式法、不等式法、反函数法、图像法数形结合
6、法）、函数的单调性法以及均值不等式法等。这些方法分别具有极强的针对性，每一种方法又不是万能的。要顺利解答求函数值域的问题，必须熟练掌握各种技能技巧，根据特点选择求值域的方法，下面就常见问题进行总结。例1 求函数如图，y-3/4,3/2.分析：本题是求二次函数在区间上的值域问题，可用配方法或图像法求解。oxy-113/2-3/41/2例2 求函数分析：函数是分式函数且都含有二次项，可用判别式和单调性法求解。解法1：由函数知定义域为R,则变形可得： (2y-1)x2-(2y-1)x+(3y1)=0.当2y-1=0即y=1/2时，代入方程左边1/23-10,故1/2.当2y-10,即y 1/2时，因xR,必有=(2y-1)2-4(2y-1)(3y-1) 0得3/10y1/2,综上所得，原函数的值域为y3/10,1/2.例3 求下列函数的值域：（1） y=5-x+3x-1；分析：带有根式的函数，本身求值域较难，可考虑用换元法将其变形，换元适当，事半功倍。
