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1、2-4 刚体角动量和角动量守恒定律刚体角动量和角动量守恒定律一、一、一、一、 动量矩、冲量矩动量矩、冲量矩动量矩、冲量矩动量矩、冲量矩定义定义：质点对点的角动量为质点对点的角动量为大小大小1. 1. 1. 1. 角角角角动量动量动量动量（动量矩动量矩动量矩动量矩）方向方向质点对圆心的角动量大小质点对圆心的角动量大小质点对圆心质点对圆心O 的角动量方向如图的角动量方向如图刚体对转轴的角动量刚体对转轴的角动量方向方向大小大小 由几个物体组成的系统，如果它们对同一给定轴的角动量分别为由几个物体组成的系统，如果它们对同一给定轴的角动量分别为 、 、，则该系统对该轴的角动量为：则该系统对该轴的角动量为：
2、二、二、二、二、 定轴转动刚体的角动量定理定轴转动刚体的角动量定理定轴转动刚体的角动量定理定轴转动刚体的角动量定理刚体定轴转动定律：刚体定轴转动定律：对于系统还有对于系统还有得得角动量定理微分形式角动量定理微分形式在外力矩作用下，从在外力矩作用下，从角动量从角动量从变为变为则由则由2. 2. 2. 2. 冲量矩冲量矩冲量矩冲量矩是矢量，是角动量变化的量度, 反映力矩对时间的累积效应为为 时间内力矩时间内力矩M 对给定轴的冲量矩。对给定轴的冲量矩。两边积分得两边积分得 角动量定理：角动量定理：转动物体所受合外力矩的转动物体所受合外力矩的冲量矩等于在这段时间内冲量矩等于在这段时间内转动物体转动物体
3、角动量的增量。角动量的增量。说明说明 （2）非刚体，J变化，（1）M、J、均对同一固定轴而言；（3）SI单位制中：冲量矩（m N s），角动量（kgm2/S）刚体绕轴转动时，若合外力矩三三三三 、角动量定理守恒定律、角动量定理守恒定律、角动量定理守恒定律、角动量定理守恒定律角动量守恒定律：角动量守恒定律：当物体所受合外力矩等于零时，物体的角动量保持不变。不变，刚体作匀速转动。（1）对于刚体，J 不变（2）对于非刚体，J变，也变，但乘积 不变，讨论：讨论： （4）动量、角动量、机械能守恒三大定律在原子内部亦适用。 对同一轴，同一惯性系而言。可解决一些碰撞，质点和刚体碰撞等问题。 若系统内既有平动
4、也有转动现象发生，若对某一定轴的合外力矩为零若系统内既有平动也有转动现象发生，若对某一定轴的合外力矩为零, ,则系统则系统对该轴的角动量守恒。对该轴的角动量守恒。（3）可扩展为系统，（5）平动和刚体定轴转动的公式有对应关系，便于类比记忆类比记忆。直线运动与定轴转动规律对照直线运动与定轴转动规律对照质点的直线运动质点的直线运动刚体的定轴转动刚体的定轴转动四四四四 、举例、举例、举例、举例（1 1）（2 2） 式式中中 棒棒在在碰碰撞撞后后的的角角速速度度，它它可可正正可可负负。 取取正正值值，表表示示碰碰后后棒棒向向左摆；反之，表示向右摆。左摆；反之，表示向右摆。 第第二二阶阶段段是是碰碰撞撞过
5、过程程。因因碰碰撞撞时时间间极极短短，自自由由的的冲冲力力极极大大，物物体体虽虽然然受受到到地地面面的的摩摩擦擦力力，但但可可以以忽忽略略。这这样样，棒棒与与物物体体相相撞撞时时，它它们们组组成成的的系系统统所所受受的的对对转转轴轴O O 的的外外力力矩矩为为零零，所所以以系系统统的的对对O O 轴轴的的角角动动量量守守恒恒。我我们们用用v 表示物体碰撞后的速度，则表示物体碰撞后的速度，则hO 例例题题1 1 一一匀匀质质细细棒棒长长为为l ，质质量量为为m，可可绕绕通通过过其其端端点点O的的水水平平轴轴转转动动，如如图图所所示示。当当棒棒从从水水平平位位置置自自由由释释放放后后，它它在在竖竖
6、直直位位置置上上与与放放在在地地面面上上的的物物体体相相撞撞。该该物物体体的的质质量量也也为为m ，它它与与地地面面的的摩摩擦擦系系数数为为 。相相撞撞后后物物体体沿沿地地面面滑滑行行一一距距离离s而而停停止止。求求相相撞撞后后棒棒的的质质心心C 离离地地面面的的最最大大高高度度h，并并说说明明棒棒在在碰碰撞撞后后将向左摆或向右摆的条件。将向左摆或向右摆的条件。 解：解： 这个问题可分为三个阶段进行分析。第一这个问题可分为三个阶段进行分析。第一阶段是棒自由摆落的过程。机械能守恒。我们把棒在阶段是棒自由摆落的过程。机械能守恒。我们把棒在竖直位置时质心所在处取为势能零点，用竖直位置时质心所在处取为
7、势能零点，用 表示棒这表示棒这时的角速度时的角速度, ,则则 第第三三阶阶段段是是物物体体在在碰碰撞撞后后的的滑滑行行过过程程。物物体体作作匀匀减减速速直直线线运运动动，加加速速度度由牛顿第二定律求得为由牛顿第二定律求得为（3 3）由匀减速直线运动的公式得由匀减速直线运动的公式得（4 4）亦即亦即由式（由式（1 1）、（）、（2 2）与（）与（4 4）联合求解，即得）联合求解，即得（5 5） 棒的质心棒的质心C C上升的最大高度，与第一阶段相似，可由机械能守恒定律求得：上升的最大高度，与第一阶段相似，可由机械能守恒定律求得：把式（把式（5 5）代入上式，所求结果为）代入上式，所求结果为(6)(
8、6)当当 取负值，则棒向右摆，其条件为取负值，则棒向右摆，其条件为 亦即亦即l6 s； 例例题题2 2 工工程程上上，两两飞飞轮轮常常用用摩摩擦擦啮啮合合器器使使它它们们以以相相同同的的转转速速一一起起转转动动。如如图图所所示示，A A和和B B两两飞飞轮轮的的轴轴杆杆在在同同一一中中心心线线上上，A A轮轮的的转转动动惯惯量量为为J JA A=10kg=10kg m m2 2，B B的的转转动动惯惯量量为为J JB B=20kg=20kg m m2 2 。开开始始时时A A轮轮的的转转速速为为600r/min600r/min，B B轮轮静静止止。C C为为摩摩擦擦啮啮合合器器。求求两两轮轮啮
9、啮合合后后的的转转速速；在在啮啮合合过过程程中中，两两轮轮的的机机械能有何变化？械能有何变化？ A ACBACB 解解以飞轮以飞轮A A、B B和啮合器和啮合器C C作为一系统来考虑，在啮合过程中，系统受到作为一系统来考虑，在啮合过程中，系统受到轴向的正压力和啮合器间的切向摩擦力，前者对转轴的力矩为零，后者对轴向的正压力和啮合器间的切向摩擦力，前者对转轴的力矩为零，后者对转轴有力矩，但为系统的内力矩。系统没有受到其他外力矩，所以系统的转轴有力矩，但为系统的内力矩。系统没有受到其他外力矩，所以系统的角动量守恒。按角动量守恒定律可得角动量守恒。按角动量守恒定律可得 为两轮啮合后共同转动的角速度，于是为两轮啮合后共同转动的角速度，于是以各量的数值代入得以各量的数值代入得BABBAAJJJJ+=www或共同转速为或共同转速为 在在啮啮合合过过程程中中，摩摩擦擦力力矩矩作作功功，所所以以机机械械能能不不守守恒恒，部部分分机机械械能能将转化为热量，损失的机械能为将转化为热量，损失的机械能为
