线性系统复习

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1、第一章概论线性系统理论线性系统理论第二章系统的数学描述21 系统的分类 u y 系统 u 输入 y 输出 yHu瞬时系统与动态系统因果或非预期系统与非因果系统线性系统与非线性系统时变系统与时不变系统连续时间系统和离散时间系统连续时间系统和离散时间系统确定性系统和随机系统确定性系统和随机系统线性系统的脉冲响应矩阵线性系统的脉冲响应矩阵传递函数矩阵状态方程根据物理定律直接建立状态方程化输入输出描述为状态方程描述例例2 若m=n时分子除以分母得后一项与状态无关，故由状态空间描述导出传递函数矩阵考虑系统引入坐标变换并令变换后的状态空间描述为（P非奇异）则成立并称 和 为代数等价系统坐标变换不改变系统的

2、特征值线性定常系统的传递函数矩阵在坐标变换下保持不变。线性系统的运动分析定义如下矩阵函数它具有如下性质：状态方程的解为（5）零输入响应零状态响应可见系统的运动由两部分组成。一部分是由于初始状态引起的转移项（零输入响应）。另一部分是由于控制输入作用下的受控项（零状态响应）。后者的存在使我们有可能选取合适的u，使x(t)的轨线按期望的要求改变。频域解法对状态方程取拉氏变化得：即而第四章离散时间系统第四章离散时间系统e(t)e(k)ttu(t)u(k)Z变换的性质: 记一.线性性质二.平移性质三. 四.反 z 变换 部分分式展开 离散系统可以用n阶差分方程来描述.其一般形式为: 一个差分方程实际上就

3、是一个迭代方程,特别适合于计算机求解,但为分析系统,我们还希望得到一般的解. 与微分方程一样,差分方程的解也是通解加特解的形式.可以用z变换求解差分方程.上式两边取z变换,利用z变换的线性性质和平移定理,有:. , 0 : 0110011001函数为离散系统的脉冲传递可定义则有即若初始条件全为即有令A(z)B(z)G(z)U(z)A(z)B(z)Y(z)A(z)(z)(z)U(z)A(z)B(z)Y(z)(z)B(z)U(z)(z)A(z)Y(z)- zb) B(zzazA(z)y(n-.)y()y()u(m-.)u()u(niininiinin=-+=-=+=-=-231211:)0(023

4、212161:z211231231123 :z0111000213222222+=-+=+-=+-+=-=+=+zz)(z(zG(z);k)()(y(k)(z)(z(zzzzzzzzzy(z)zzy(z)zy(z)y(z)-z z k;u(k),y()y(.u(k) ky(k)y(k)y(kkk时当初始条件为其脉冲传递函数为变换得取反变换同取例： 给出系统的差分方(1)程,或脉冲传递函数G(z),也可以利用第2章方法(可控性实现法)得到相应的状态方程实现. 能控性实现:b(z)x(z)y(z)U(z)A(z)x(z)A(z)B(z)aza.zazbzb.zbzbG(z)nnnmmmm=+=-则

5、则令令,1011101111u(t)u(k)y(k)u(k)u(t)保持器u(t)y(u)则在基本假设: 等间隔采样且采样周期T满足香农定理; 保持器为零阶保持器.下,其对应的离散系统状态方程为: )Bdt e( ,HeGx) x(TAtAtkHukGxk xkDukCxy=+=+=00)()() 1()()(, 0 其中=+=+=t-t-At-At e )-e(. e s )s(s s(sI-A) es.Tx)(u x - x 221001501210211 ., 1.,100102010 :故先求出求离散化时间模型且采样周期例&u(k).(k)x(k)x. . )x(k. .e.-.-e.

6、T.dt e )-e(. dt)Be(H. . e )-e(. e,GT-T-Tt-t-TAtT-T-At+=+=+=0910005081900091011:09100050505025025050010150181900091010150122122022022程为于是对应离散化状态方-=-=-=+=+=+=10110101100Cy(k):0:000kik-i-kkik-i-kkkik-i-k-kBu(i)AC)x(ABu(i)A)x(Ax(k),kBu(i)A)x(kAx(k)而输出则有若令00kk u(k), (1) )()()1()()()(+=+=及已知)x(kkBukAxk xk

7、DukCxky-=-=-=-110111110111011 :2111111z)(zzzzA) (zI- AA)z(Iz(zI-A)A-k例=-=-10111011112111kz)(zzz(zI-A)AkDu(z)BC(zI-A)zXC(zI-A)Du(z)CX(z)Y(z)Y(z)zBu(zI-A)ZzX(zI-A)Z)X(Bu(z)(zI-A)zX(zI-A) X(z)Bu(z)AX(z)zX(z)-zX(x)X(kBukAxk xkDukCxky-+=+=+=+=+=+=+=-101110111010z)(kz0z (1) 0 )()() 1()()()(变换为的而输出反变换取即变换得

8、取连续系统离散系统描述微分方程差分方程变换拉氏变换Z变换状态转移矩阵时域解脉冲响应矩阵传递函数阵BuAxxCxy+=&)()() 1()()(kBukAxkxkCxky+=+=AtekA)()()()(00)(0tuthxCedBueCxCetyAtttAAt*+=+=-ttt)()()()(01010kukhxCAjBuACxCAkykkjjkk*+=+=-=-BCethAtD)(BCAkhk 1)(-DBAsICsH1)()(-=BAzICzH1)()(-=第五章线性系统稳定性第五章线性系统稳定性5.3 渐近稳定性判据 考虑系统： （1）或 （2）定理1：线性定常连续系统（1）为渐近稳定

9、的充要条件为系统矩阵 A的全部特征值都具有负实部。即： 。（ 表示A的特征值集合） 定理2：线性定常离散系统（2）为渐近稳定iff A的全部特征值的绝对值都小于1。 离散系统的稳定性判据域变换法设 且 。构造如下Raible表格形式： 若 ，（若 ，可通过除以 “-1”得到），则第一列元素 为正的元素个数就是 位于单位圆内根的个数。注：奇异情况为第一列元素中有为零的，令 代入处理。 第六章能控性和能观测性能控性粗略地说是控制变量对系统状态的影响能力。 称线性定常系统为在t0,tf内是可达的（reachable）若对任意两状态x0和xf，总可选择控制量u(t), 使得系统的状态由初值x(t0)=

10、x0达到终值x(tf)=xf显然能达性包含了能控性（含xf=0即为后者）对连续系统来说，两者等价，这是因为，若系统能控，取初值： 系统(A,B,C)状态可控 能控性矩阵 为行满秩，即rank Wc=n (n为系统维数)定理4. PBH判据系统（A，B，C）可控 事实上只要检查A的n个特征值点即可。例：系统n对离散系统，若系统可达，则显然系统可控，n但系统可控，则系统不一定可达。n当系统矩阵A是非奇异，系统的可控性与可达性等价，但A奇异时，则系统可控则不一定可达因为坐标变换 ，不改变系统的特征值（因为 的特征值与A的特征值相同），也不改变系统的可控性（可观性），因此，在许多讨论中，可以通过坐标变

11、换把系统变成一些标准形式以便讨论。1.定义：单输入系统 为能控标准形，若定义1 （可观测性）observability 设已知输入 若可以通过取有限的时间区间t0,t1(或k0,k0+1,k0+k1)内输出y(t)（或y(k)）唯一确定状态变量的初始值X(t0)(X(k0)则称系统在t0(k0)完全可观测.当对于任意t0(k0)均可观测时,则称系统为完全可观测.注意点对线性定常系统若在某一时刻 完全可观，则系统完全可观。可观测是由系统将来的输出决定系统出现时的状态注意点：1.对于线性定常系统在任意时间 可观，则完全可观2.可重建性是由系统过去的输出，决定系统现时的状态3.对于连续系统，可重建性

12、与可观测性等价。第八章线性反馈系统的综合8.1线性反馈系统综合的引论 综合问题即已知系统的综合模型以及新期望的系统运动形式和其它特征，确定需要施加于系统的外输入作用即控制作用。 综合问题通常可以分为：1.镇定问题：使不稳定的系统稳定。2.极点配置问题：使闭环系统具有任意指定的极点。3.解耦问题：对多输入多输出系统，一个输入只能影响一个输出。4.跟踪问题：输出y无静差的跟踪一个外部参考输入。 控制系统工程中的问题： 1.状态反馈的构成问题：状态变量是否都是可以直接测量？如果不可以直接测量，则在系统为能观测前提下，可以用状态观测器来构造状态。 2.系统模型的不准确和参数摄动问题。 3.对外部扰动的

13、抑制问题。第八章线性反馈系统的综合8.2特征值配置 考虑以下状态反馈系统状态反馈是控制系统最常用的方式。定理1 .若n阶系统（A，B）为完全能控，在给定的 任何实系数多项式 则必存在有一实矩阵F，使得（A-BF）的特征多项式 1.设变换矩阵 将 化成能控标准型2.求 3.令 F=FcP-1 ，则为所求。 2 2 2 2）直接法求反馈矩阵）直接法求反馈矩阵）直接法求反馈矩阵）直接法求反馈矩阵K K K K（维数较小时，维数较小时，维数较小时，维数较小时，n 3n 3n 3n 3）(1)(1)判断系统能控性。如果状态完全能控，按下列步判断系统能控性。如果状态完全能控，按下列步骤继续。骤继续。 (2

14、)(2)求状态反馈后闭环系统的特征多项式：求状态反馈后闭环系统的特征多项式：(3)(3)根据给定（或求得）的期望闭环极点，写出期望特征多项式。根据给定（或求得）的期望闭环极点，写出期望特征多项式。(4)(4)由由 确定反馈矩阵确定反馈矩阵K K：Ackermann公式)(1001AWFcca-=L期望极点选取的原则：期望极点选取的原则： 1 1）n n维控制系统有维控制系统有n n个期望极点；个期望极点； 2 2）期望极点是物理上可实现的，为实数或共轭复数对；）期望极点是物理上可实现的，为实数或共轭复数对； 3 3）期望极点的位置的选取，需考虑它们对系统品质的影）期望极点的位置的选取，需考虑它

15、们对系统品质的影响（离虚轴的位置），及与零点分布状况的关系。响（离虚轴的位置），及与零点分布状况的关系。 4 4）离虚轴距离较近的主导极点收敛慢，对系统性能影响）离虚轴距离较近的主导极点收敛慢，对系统性能影响最大，远极点收敛快，对系统只有极小的影响。最大，远极点收敛快，对系统只有极小的影响。闭环系统期望极点的选取闭环系统期望极点的选取闭环系统期望极点的选取闭环系统期望极点的选取状态反馈不改变系统的零点.这样通过改变系统的某些极点,使得其与系统的零点一致,则系统传递函数会出现零极点相消,故系统不可观.我们有以下结论:系统 状态反馈不改变系统的可控性,但是有可能改变系统的可观性.对多输入多输出系统

16、也有类似的结论.8.4 状态重构问题和状态观测器通过状态反馈可以直接配置系统的闭环极点，从而可使原不稳定系统为稳定。但是，实际上并不是系统的所有状态都是可以直接测量的，通常只有输出可以测量。状态重构问题是重新构造一个系统，利用原系统中可直接测量的变量，从输出变量和输入变量作为起输入信号，并使其输出信号 在一定程度上等价于原系统状态 ，通常称 为 的重构状态或估计状态。一般来说， 与 之间的等价关系为：由上图可见，状态观测器的方程为：其实现为：定理1设系统 为能观的，则可通过观测器来重构其状态，并且可以通过选择增益阵 ，任意配置 的全部特征值。具体算法：给定系统 ，设 为能观，对要设计的观测器指

17、定一组位于左半平面的指定极点1.利用极点配置问题设法对 来确定使的状态反馈矩阵为 2.取3.计算 ，则所要设计的状态观测器为例：确定状态观测器的极点为-3，-4和-5要求特征方程为观测器为 如何选择状态观测器的极点是一个颇费周折的问题，很难给出一个系统性的方法。一般说来，希望观测器的误差衰减得快一些，即将观测器的极点选择得在复平面上位于虚轴左边较远的地方。但是这样做有可能使得L的增益过大，从而将系统的观测噪声放大。一般认为，应选择观测器的极点位于复平面上比被观测系统的极点离虚轴左边稍微更远一点的地方。 状态观测器的建立解决了受控对象中不能直接测量的状态的重构问题。当系统的状态不能直接测量时，利

18、用重构状态 代替真实状态x(t)，使得状态反馈的工程实现成为可能。 对于带全维状态观测器的状态反馈控制系统，由于系统方程为n维，而状态观测器也为n维，所以整个闭环控制系统为2n维。 可以写出整个闭环系统的状态方程为可见在整个闭环系统中，控制器的动态特性与观测器的动态特性是相互独立的。即观测器的引入，不影响由状态反馈阵F所配置的系统特征多项式det(sI-A+BF)及相应的特征值；反过来，状态反馈的引入，也不影响已设计好的观测器的特征多项式det(sI-A+LC)及相应的特征值。这个性质称为分离原理。分离原理给控制系统的设计带来了极大的方便。根据这一原理，我们可以将状态反馈控制律的设计和状态观测器的设计独立地分开进行。即在设计状态反馈增益阵F时，假定真实状态x是可直接量测的，不去考虑状态观测器的设计，而在设计状态观测器时，也无须考虑状态反馈增益阵F为何值。只是在最后实现整个控制系统时才将它们连接起来。 新年快乐Felice Anno NuovoHappy New Year