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1、河北工程大学附属学校 王小学人教版九上人教版九上 21.2.421.2.4一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系( (一）一） axax2 2+bx+c=0 +bx+c=0 (a0)(a0)1.1.写出一元二次方程的一般式写出一元二次方程的一般式2.2.一元二次方程求根公式。一元二次方程求根公式。X1,2= 活动一:复习旧知(4) 2x2+3x-2=0解解下列方程并完成填空下列方程并完成填空：方程两根两根和X1+x2两根积x1x2x1x2x2-8x+12=0x2+2x-3=03x2-4x+1=02x2-x-1=0261281-2- 3- 31（1）x2-8x+12=0(2)x
2、2+2x-3=0（3）3x2-4x+1=01请同学们猜想：请同学们猜想： 任意的一元二次方程任意的一元二次方程 的两根为x1.x2 则 x1+x2， x1.x2与系数a，b，c 的关系是怎样？ 活动活动二二：讨论讨论思考思考方程两根两根和X1+x2两根积x1x2x1x2x2-8x+12=0x2+3x-4=03x2-4x+1=02x2-x-1=0261281-3- 4- 411若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 的两根为x1、x2, 则 . . 活动活动三三：猜猜想结论想结论 观察、思考两根和、两根积与系数的关系得到：观察、思考两根和、两根积与系数的关系得到：若若x x1 1，x x2
3、 2是是axax2 2+bx+c=0+bx+c=0(a0)(a0)的的两个根两个根 活动活动三三：猜想猜想结论结论X1+x2=+=-X1x2=证明：证明：设ax2+bx+c=0(a0)的两根为x1、x2,则 活动活动四四：推导结论推导结论 如果一元二次方程如果一元二次方程 的两个根分别是的两个根分别是 、 ，那么：，那么：这就是一元二次方程一元二次方程根与系数的关系根与系数的关系，也叫，也叫韦达定理韦达定理. 活动活动五五：形成形成结论结论 一元二次方程一元二次方程根与根与系数的关系系数的关系是法国数学家是法国数学家“韦达韦达”发现的发现的, ,所以我们又称之为所以我们又称之为韦达定理，韦达定
4、理，在欧洲被尊称为“代数学之父” 如果一元二次方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2 那么x1+x2=-px1.x2= q 活动活动五五：形成形成结论结论如果方程如果方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)的的两个根是两个根是X X1 1 , X, X2 2 , ,那么x1+x2= , x1x2= -一元二次方程的一元二次方程的根与根与系数的关系：系数的关系：（韦达定理）（韦达定理）注：能用韦达定理的前提条件为注：能用韦达定理的前提条件为: : a a0 0； 0.0. 活动活动六六：强化结论强化结论如果一元二次方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2 那么x1+x
5、2=-p x1.x2= q 一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系关系：关系：如果如果ax2bxc0(a0)的两根是的两根是x1，x2，那么那么x1x2_，x1x2_语言叙述：语言叙述：两根的和等于一次项系数与二次项系数的两根的和等于一次项系数与二次项系数的_，两根的积等于常数项与二次，两根的积等于常数项与二次项系数的项系数的_易忽略点易忽略点: :一元二次方程的根与系数的关系前提条件一元二次方程的根与系数的关系前提条件是：是：a0；0.比的相反数比的相反数比比 活动活动六六：强化结论强化结论求两根之和与两根之积：求两根之和与两根之积：1 1、x x2 2-2x-3=0-2x
6、-3=02 2、2x2x2 2 -3x-1=0-3x-1=03、 3x2 - 6x =04、3x2 = 4x x1 1+x+x2 2=2=2x1x2=-3x1+x2=2x1+x2=0x1x2=0x1+x2=x1x2=x1x2= - 活动活动七七：巩固巩固新知新知1已知已知 x1，x2 是一元二次方程是一元二次方程 x22x0 的两根，则的两根，则 x1x2 的值是的值是 ( )A. 0 B. 2C2 D. 422014昆明昆明已知已知x1，x2是一元二次方程是一元二次方程x24x10的两个实数根，则的两个实数根，则x1x2等于等于 ( )A4 B1C1 D4BC 活动活动七七：巩固巩固新知新知
7、在在使用根与系数的关系时，应注意：使用根与系数的关系时，应注意：不是一般式的要先化成一般式；不是一般式的要先化成一般式；在使用在使用x1+x2= 时，时， 注意注意“ ”不要漏写。不要漏写。 活动活动八八：特别注意特别注意例例1、已知方程、已知方程x2-(m+3)x+3m=0的的一个根是一个根是2 , 求求它的另一个根及它的另一个根及m的值的值.解法一解法一：设设方程的另一个根为方程的另一个根为x2.由根与系数的关系，得由根与系数的关系，得2 x2 = m+32 x2 = 3m解得：解得：x2 =3 m=2答：方程的另一个根是答：方程的另一个根是3 , m的值是的值是2. 活动活动九九：灵活应
8、用灵活应用例例1、已知方程、已知方程x2-(m+3)x+3m=0的的一个根是一个根是2 , 求求它的另一个根及它的另一个根及m的值。的值。解法二解法二：设设方程的另一个根为方程的另一个根为x2.把把x=2代入方程，得代入方程，得 4-2(m+3)+3m=0解这方程，得解这方程，得 m= 2由根与系数的关系，得由根与系数的关系，得2 x23m即即2 x26 x2 3答：方程的另一个根是答：方程的另一个根是3 , m的值是的值是2. 活动活动九九：灵活应用灵活应用例例: 方程方程x2 (k 1)x 2k 1 0求求:k满足满足什么条件什么条件时时, 方程方程的两根互为相反的两根互为相反数？数？ 方
9、程方程的两根互为的两根互为倒数？倒数？方程方程的一根为零？的一根为零？解:(k1)24(2k1)k26k5两根互为相反数 两根之和 k10,k1,且0 k1时,方程的两根互为相反数. 活动活动十十：应用应用拓展拓展两根互为倒数 k26k5, 两根之积2k11 k1且0, k1时,方程的两根互为倒数.方程一根为0, 两根之积2k10 且0, 时,方程有一根为零. 活动活动十十：应用应用拓展拓展小结：在解决含字母已知数的一元二次方程的问题时，应注意方程有根的前提条件“a0且0”。引申:若ax2bxc0 (a0 0)（1）若两根互为相反数,则b0;（2）若两根互为倒数,则ac;（3）若一根为0,则c
10、0 ; 活动活动十十：应用应用拓展拓展1.一元二次方程根与系数的关系？特例：特例：如果一元二次方程x2+px+q=0 的两个根是x1，x2 那么x1+x2=-p x1.x2= q 活动活动十十一一：总结归纳总结归纳 2.应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式. 3.应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即在初中代数里,当 时，才能应用根与系数的关系 活动活动十十一一：总结归纳总结归纳axax2 2+bx+c=0 +bx+c=0 (a0)(a0)下列下列方程的两方程的两根的和根的和与两与两根的积根的积各是多少？各是多少？ .x.x2 23x+2=0 .3x3x+2=0 .3x2 22x=22x=2 .2x .2x2 2+3x=0 .5x+3x=0 .5x2 2=1=1 活动活动十十二：当堂检测二：当堂检测C 活动活动十十二二：当堂检测当堂检测3.3.关于关于x x的方程的方程x x-(m+3)-(m+3)x+x+2 2m=0m=0的两根之和与两根之积相等，则的两根之和与两根之积相等，则m=_m=_ 活动活动十十二：当堂检测二：当堂检测33、 如果1是方程x2-3x+m=0 的一个根， 则:另一个根是_ , =_ 活动活动十十二：当堂检测二：当堂检测22
