《直线平面垂直的判定及其性质习题课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《直线平面垂直的判定及其性质习题课件.ppt（48页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、习题习题 2.3A 组组 1. 判断下列命题是否正确判断下列命题是否正确, 正确的说明理由正确的说明理由, 错误的举例说明错误的举例说明: (1) 平面平面 a a平面平面 b b, 平面平面 b b平面平面 g g 平面平面 a a平平面面 g g; (2) 平面平面 a a /平面平面 a a1, 平面平面 b b /平面平面 b b1, 平面平面 a a平面平面 b b 平面平面 a a1平面平面 b b1.解解: (1) 错错, 如图如图.b bg ga a(2) 对对.a ab b, ,a a /a a1,a a1b b;b b /b b1,a a1b b1.a a习题习题 2.3A
2、 组组2. 已知平面已知平面 a a, b b, g g, 且且 a ag g, b b /g g, 求证求证 a ab b.证明证明:在在 g g 内作直线内作直线 a m, ,aa a. a ag g,过过 a 作平面作平面 d db b = = b, b bg g, a/b,b b b, ba a.b bbg gad d如图如图, 设设 a a 与与 g g 的交线为的交线为 m,m而而 aa a.b ba a. 3. 如图如图, 在三棱锥在三棱锥 V-ABC 中中, VAB= =VAC= = ABC= =90 , 试判断平面试判断平面 VBA 与平面与平面 VBC 的位置的位置关系关系
3、, 并说明理由并说明理由.VBCA解解: 平面平面 VBA 平面平面 VBC.其理由其理由:由由VAB= =VAC= = 90 得得VA平面平面ABC,则则 VABC,又又ABC= =90 , 即即 ABBC,BC平面平面VBA,而而 BC 平面平面VBC,平面平面 VBC 平面平面 VBA. 4. 如图如图, 三棱锥三棱锥 V-ABC中中, VA= =VB= =AC= =BC= =2, AB= = VC= =1, 试画出二面角试画出二面角 V-AB-C 的平面角的平面角, 并求它的度数并求它的度数.VBCA解解: 取取AB的中点的中点D,连接连接 VD, CD,D而而 VA= =VB= =A
4、C= =BC= =2,VDAB, CDAB,则则VDC就是二面角就是二面角V-AB-C的平面角的平面角.而而则由勾股定理求得则由勾股定理求得 VD= =CD= =1,又又 VC= =1,VCD是等边三角形是等边三角形, VDC= =60 ,即二面角即二面角 V-AB-C 的大小为的大小为60 . 5. 已知平面已知平面 a a, b b, g g 满足满足 a ag g, b bg g, a ab b = = l. 求证求证 lg g.a ag gb bl证明证明: 如图如图,设设 a ag g = =m, b bg g = =n.取取 Pg g, P m, P n,mnPAB作作 PAm,
5、PBn. a ag g, b bg g, PAa a, PBb b.又又 a ab b = =l, PAl, PBl.PA g g, PB g g,PAPB = = P, lg g. 6. 求证求证: 如果共点的三条直线两两垂直如果共点的三条直线两两垂直, 那么那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直它们中每两条直线确定的平面也两两垂直.已知已知: PAPB, PAPC, PBPC. 求证求证: 平面平面PAB平面平面PBC, 平面平面PAB平面平面PAC, 平面平面PBC 平面平面PAC.PABC证明证明: PAPB, PAPC, PA平面平面PBC.而而 PA 平面平面PAB,PA 平面平
6、面PAC, 平面平面PAB平面平面PBC,平面平面PAC平面平面PBC.同理可证同理可证平面平面PAB平面平面PAC. 7. 如图如图, 正方体正方体ABCD-A B C D 中平面中平面ABC D 与正方体的其他各个面所成二面角的大小与正方体的其他各个面所成二面角的大小分别是多少分别是多少?ABCDA C D B 解解:与上底面所成二面角与上底面所成二面角的平面角是的平面角是 B C B= =45 .与下底面所成二面角的与下底面所成二面角的平面角是平面角是 C B C = =45 .与前面所成二面角的与前面所成二面角的平面角是平面角是B BC = =45 .与后面所成二面角的与后面所成二面角
7、的平面角是平面角是BC C = =45 .平面平面AC 过左、右面的垂线过左、右面的垂线AB,所以与左、右面成所以与左、右面成90 的二面角的二面角.a a 8. 如图如图, m, n 是两条相交直线是两条相交直线, l1, l2 是与是与 m, n 都垂直的两条直线都垂直的两条直线, 且直线且直线 l 与与 l1, l2 都相交都相交, 求求证证: 1= =2.mnO12ll2l1证明证明: l1m,l1n, mn= =O, m、n 确定的平面确定的平面, 设为设为 a a, l1a a,同理同理, l2a a, l1l2,又又直线直线 l 与与 l1、l2 都相交都相交, 1= =2. 9
8、. 求证求证: 两条平行线和同一个平面所成的角两条平行线和同一个平面所成的角相等相等. 如果两平行线中的一条垂直平面如果两平行线中的一条垂直平面, 则另则另一条也垂直这个平面一条也垂直这个平面, 它们与平面所成的角都等于它们与平面所成的角都等于90.证明证明: 如果两平行线中的一条与平面所成的角是如果两平行线中的一条与平面所成的角是 0, 则另一条平行平面或在平面内则另一条平行平面或在平面内, 即另一条与平面所即另一条与平面所成的角也是成的角也是 0.当两平行线是平面的斜线时当两平行线是平面的斜线时, 如图如图,a aABCDE已知已知: ABa a= =B, CDa a= =D, ABCD.
9、分别过分别过AB、CD上的点上的点E、F 作作 EMa a, 垂足为垂足为M,FNa a, 垂足为垂足为N.NMF且得且得 EMFN,又又 ABCD,BEM= =DFN,于是在两直角三角形中可得于是在两直角三角形中可得EBM= =FDN,则则MB、ND分别是分别是EB、FD在在即两平行线与平面即两平行线与平面 a a 所成的角相等所成的角相等. 9. 求证求证: 两条平行线和同一个平面所成的角两条平行线和同一个平面所成的角相等相等.证明证明:求证求证: AB, CD 与与 a a 所成的角想等所成的角想等.平面平面 a a 内的射影内的射影.B 组组 1. 如图如图, 在正方体在正方体ABCD
10、-A B C D 中中, 证证明明: 平面平面 ACC A 平面平面 A BD.ABCDA C D B 证明证明:在正方体中在正方体中,底面底面 ABCD 是正方形是正方形,所以所以 ACBD.又因为侧棱垂直底面又因为侧棱垂直底面,所以所以 A ABD.于是得于是得 BD平面平面 A ACC .而而 BD 平面平面A BD,平面平面 A BD平面平面 A ACC .习题习题 2.3B 组组 2. 如图如图, 棱锥棱锥 V-ABC中中, VO平面平面 ABC, O CD, VA= =VB, AD= =BD, 你们能判定你们能判定 CDAB 以及以及 AC= =BC 吗吗?VABCDO答答: 能判
11、定能判定.由由 VA= =VB, AD= =BD 得得, VDAB.又由又由VO平面平面 ABC 得得, VOAB.于是得于是得AB平面平面VOD, O CD, ABOD. ABCD,而而 AD= =BD, 从而得从而得 AC= =BC.B 组组3. 求证求证: 三个两两垂直的平面的交线也两两垂直三个两两垂直的平面的交线也两两垂直. 已知已知, 如图如图, a ab b, a ag g, , b bg g, , a ab b = =AO, a ag g = = BO, b bg g = =CO.求证求证: AOBO, AOCO, BOCO.证明证明: 取点取点 Pg g, P BO, P CO
12、,OABCa ab bg gEF作作 PEBO, PFCO, g ga a, , g ga a = = BO,g gb b, , g gb b = = CO, PEa a, PFb b.而而 AO a a, AO b b, PEAO, PFAO,则则 AOg g,又又 BO g g, CO g g,PAOBO, AOCO.又又 b ba a, b ba a = = AO,CO b b, COa a,BO a a,COBO. 4. 如图如图, AB 是是 O 的直径的直径, 点点 C 是是 O 上的动上的动点点, 过动点过动点 C 的直线的直线 VC 垂直于垂直于 O 所在平面所在平面, D,
13、E 分别是分别是 VA, VC 的中点的中点. 试判断直线试判断直线 DE 与平面与平面 VBC 的位置关系的位置关系, 并说明理由并说明理由.VABCDEO解解: DE平面平面VBC.由直径所对的圆周角是直角得由直径所对的圆周角是直角得ACBC.又由又由 VC 垂直于垂直于 O 所在平面得所在平面得ACVC.而而 D, E 分别是分别是 VA, VC 的中点得的中点得DE/AC, DE平面平面VBC. AC平面平面VBC.返回目录返回目录1. 线面垂直的定义线面垂直的定义定义可用于推证线线垂直定义可用于推证线线垂直.la a,m a a,lm. 如果直线如果直线 l 与平面与平面 a a 内
14、的任意一条直线都内的任意一条直线都垂直垂直, 就说直线就说直线 l 与平面与平面 a a 互相垂直互相垂直.2. 线面垂直的判定线面垂直的判定la, a a a,lb, b a a,ab= =P,la a. 两平行线中的一条垂直于一个平面两平行线中的一条垂直于一个平面, 另另一条也垂直这个平面一条也垂直这个平面. 如果一条直线和一个平面内的两条相交如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直直线都垂直, 那么这条直线垂直于这个平面那么这条直线垂直于这个平面. 过空间任意一点过空间任意一点, 有且只有一条直线和有且只有一条直线和已知平面垂直已知平面垂直.3. 三垂线定理三垂线定理 如果平面内的一
15、条直线垂直平面的斜线如果平面内的一条直线垂直平面的斜线, 则这条直线垂直斜线在平面上的射影则这条直线垂直斜线在平面上的射影; 如果平面内的一条直线垂直平面的一条如果平面内的一条直线垂直平面的一条斜线在平面上的射影斜线在平面上的射影, 则这条直线垂直斜线则这条直线垂直斜线.4. 直线和平面所成的角直线和平面所成的角平面的斜线和斜线在平面上的射影的夹角平面的斜线和斜线在平面上的射影的夹角.要点要点: (1) 由线面垂直找射影由线面垂直找射影;(2) 在三角形中计算在三角形中计算.特例特例: (1) 线面垂直线面垂直, 线面角为线面角为90 .(2) 线面平行或在其内线面平行或在其内, 线面角为线面
16、角为0 .5. 直线与平面垂直的性质直线与平面垂直的性质垂直于同一个平面的两条直线平行垂直于同一个平面的两条直线平行.l1a a,l2a a, l1/l2.由线面垂直得线线平行由线面垂直得线线平行.6. 二面角二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做形叫做二面角二面角. 这条直线叫做二面角的这条直线叫做二面角的棱棱, 这这两个半平面叫做二面角的两个半平面叫做二面角的面面.a ab blABPQ记作记作 二面角二面角 a a- -l- -b b,二面角二面角 a a- -AB- -b b,二面角二面角 P- -l- -Q,二面角二面角 P- -AB-
17、 -Q.7. 二面角的平面角二面角的平面角 以二面角的以二面角的棱上棱上任意任意一点一点为端点为端点, 在在两个两个半平面内半平面内分别作分别作垂直于棱垂直于棱的两条射线的两条射线, 这两条这两条射线所成的角叫做射线所成的角叫做二面角的平面角二面角的平面角.二面角的大小由它的平面角确定二面角的大小由它的平面角确定.a ab blABOa ab blABO AOB 是二面角是二面角 a a-l-b b 的平面角的平面角.8. 两平面垂直的定义与判定两平面垂直的定义与判定定义定义:判定判定: 两个平面相交成直二面角时两个平面相交成直二面角时, 称这两个称这两个平面互相垂直平面互相垂直. 一个平面过
18、另一个平面的垂线一个平面过另一个平面的垂线, 则这两则这两个平面垂直个平面垂直.a ab blla a,l b b, b ba a. .9. 两平面垂直的性质两平面垂直的性质 两个平面垂直两个平面垂直, 则一个平面内垂直则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直于交线的直线与另一个平面垂直.a ab b,a ab b = = m,lm,l a a, lb b.a ab bml 两平面垂直两平面垂直, 平行于一平面的直线平行于一平面的直线垂直于另一平面垂直于另一平面.返回目录返回目录 例例 1. 如图如图, 已知已知PA垂直于矩形垂直于矩形ABCD所在平面所在平面, M、N分别是分别是AB、P
19、C的中点的中点, 若若PDA= =45 . 求证求证: MN平面平面PCD.PABCDMN分析分析:需证需证MN垂直垂直PCD三边中的两边三边中的两边.若若 MN平面平面PCD,注意注意 N 是是 PC 的中点的中点,则则 MN 必是必是 PC 的中垂线的中垂线.即考虑即考虑 MP= =MC.于是思考是否于是思考是否PAMCBM,由此可得由此可得 MNPC.又如此思考又如此思考 MN 是否是是否是 AB 的中垂线的中垂线,即即 NA= =NB 是否成立是否成立?NA, NB分别是分别是RtPAC和和RtPBC斜边斜边PC的中线的中线,NA= =NB 即可成立即可成立. 例例 1. 如图如图,
20、已知已知PA垂直于矩形垂直于矩形ABCD所在平面所在平面, M、N分别是分别是AB、PC的中点的中点, 若若PDA= =45 . 求证求证: MN平面平面PCD.PABCDMN证明证明:PA矩形矩形ABCD, PDA= =45 ,连结连结 PM, CM,PAD是等腰直角三角形是等腰直角三角形.则则 PA= =AD= =BC.又又 M 是是 AB 的中点得的中点得 AM= =BM,得得 RtPAM RtCBM,MP= =MC.而而 N 是是 PC 的中点的中点, MNPC. PABCDMN 例例 1. 如图如图, 已知已知PA垂直于矩形垂直于矩形ABCD所在平面所在平面, M、N分别是分别是AB
21、、PC的中点的中点, 若若PDA= =45 . 求证求证: MN平面平面PCD.证明证明:PA矩形矩形ABCD, PDA= =45 ,连结连结 PM, CM,PAD是等腰直角三角形是等腰直角三角形.则则 PA= =AD= =BC.又又 M 是是 AB 的中点得的中点得 AM= =BM,得得 RtPAM RtCBM,MP= =MC.而而 N 是是 PC 的中点的中点, MNPC. 由由 PA矩形矩形ABCD, 得得PAC 是直角三角形是直角三角形.由由 CBAB, CBPA, 得得PBC 是直角三角形是直角三角形.则则 AN, BN 是两直角三角形斜边是两直角三角形斜边 PC 的中线的中线,AN
22、= =BN, 得得 MN 是是 AB 的中垂线的中垂线, MNAB.由由 AB/DC, 得得 MNDC.由由得得 MN平面平面 PCD. 例例 1. 如图如图, 已知已知PA垂直于矩形垂直于矩形ABCD所在平面所在平面, M、N分别是分别是AB、PC的中点的中点, 若若PDA= =45 . 求证求证: MN平面平面PCD.PABCDMN其他思考其他思考:E思考一思考一:证证 MNPC 同上同上.要证要证 MNDC, 可作可作PCD的中位线的中位线 NE.证证 DC平面平面 NEM, 即可证得即可证得 DCMN. 例例 1. 如图如图, 已知已知PA垂直于矩形垂直于矩形ABCD所在平面所在平面,
23、 M、N分别是分别是AB、PC的中点的中点, 若若PDA= =45 . 求证求证: MN平面平面PCD.PABCDMN其他思考其他思考:F思考二思考二:将将 MN 平移到平面平移到平面 PAD 内内,即取即取 PD 中点中点 F,可证得可证得 AF/MN.只需证只需证 AF平面平面 PCD, 即得即得 MN平面平面PCD.PABCDMN 例例 1. 如图如图, 已知已知PA垂直于矩形垂直于矩形ABCD所在平面所在平面, M、N分别是分别是AB、PC的中点的中点, 若若PDA= =45 . 求证求证: MN平面平面PCD.其他思考其他思考:思考三思考三:将原图补形为长方体将原图补形为长方体.可证
24、可证 MN/ /BC1, BC1平面平面PDCB1,B1即得即得 MN平面平面 PCD.侧面侧面B1BCC1是正方形是正方形.C1平面平面PCD是其对角面是其对角面. 例例 2. 如图如图, ABC 和和DBC 是空间的两个等边是空间的两个等边三角形三角形, E 是是 BC 的中点的中点. 点点 A 在平面在平面 DBC 内的射内的射影是否在影是否在 DE 上上? 为什么为什么? ABC 和和DBC 是等边三角形是等边三角形,AEBC, DEBC,E 是是 BC 的中点的中点.其理由如下其理由如下:则则 BC平面平面AED,得得平面平面DBC平面平面AED.则则 AF平面平面DBC .点点 A
25、 在平面在平面 DBC 内的射影在内的射影在 DE 上上.答答: 一定在一定在 DE上上.平面平面DBC平面平面AED= =DE,作作AFDE, 垂足为垂足为F,(面面垂直的性质)(面面垂直的判定)BACDEF 例例 3. 如图如图, 四棱锥四棱锥ABCD 的各条的各条棱长都等于棱长都等于 a, E 是是 AD 的中点的中点. (1) 求这个棱锥的高求这个棱锥的高; (2) 求求CE与平面与平面BCD所成角的正弦所成角的正弦.DABCE解解:取取 BC 的中点的中点 F,得得 BCAF, BCDF, BC平面平面AFD,则平面则平面BCD平面平面AFD.F(1)O作作 AODF, 垂足为垂足为
26、O,则则 AO平面平面 BCD.AO 是三棱锥是三棱锥 ABCD 的高的高.RtAOB RtAOC RtAOD,得得 OB= =OC= =OD, O是是BCD的重心的重心,即棱锥的即棱锥的高为高为 例例 3. 如图如图, 四棱锥四棱锥ABCD 的各条的各条棱长都等于棱长都等于 a, E 是是 AD 的中点的中点. (1) 求这个棱锥的高求这个棱锥的高; (2) 求求CE与平面与平面BCD所成角的正弦所成角的正弦.DABCE解解:作作 EHDF, 垂足为垂足为 H,则则 EH平面平面BCD, CH 是是 CE 在平面在平面 BCD 上的射影上的射影,ECH 即为所求的线面角即为所求的线面角.FH
27、(2)O 例例 4. 如图如图, 四棱锥四棱锥 S- -ABCD 的底面是边长为的底面是边长为 1 的正方形的正方形, SD 垂直于底面垂直于底面 ABCD, SB= = 求面求面SAD与面与面 SBC 所成二面角的大小所成二面角的大小.ABCDS分析分析:要找二面角的平面角要找二面角的平面角,需找到构成二面角的棱需找到构成二面角的棱.由由 SD正方形正方形 ABCD 面面,可联想一个几何体可联想一个几何体 长方体长方体.于是补形如图于是补形如图.A B C 则所求二面角的棱即是则所求二面角的棱即是A S.AA B 即是它的一个平面角即是它的一个平面角. 例例 4. 如图如图, 四棱锥四棱锥
28、S- -ABCD 的底面是边长为的底面是边长为 1 的正方形的正方形, SD 垂直于底面垂直于底面 ABCD, SB= = 求面求面SAD与面与面 SBC 所成二面角的大小所成二面角的大小.ABCDS解解:ABCD 是正方形是正方形,SD底面底面ABCD.则可补形为如图的长方体则可补形为如图的长方体,SA A A, SA A B,AA B 就是平面就是平面 SAD 与与平面平面 SBC 所成二面角的平面角所成二面角的平面角.正方形正方形 ABCD 的边长为的边长为 1,A B C 在在 RtSDB 中求得中求得 SD= =1.则所构成的几何体是正方体则所构成的几何体是正方体.AA B = =4
29、5 ,即所求二面角的大小为即所求二面角的大小为45 .返回目录返回目录(共共8题题) 1. 给出下列命题给出下列命题: 垂直于同一直线的两平面平行垂直于同一直线的两平面平行. 垂直于同一平面的两平面平行垂直于同一平面的两平面平行. 垂直于垂直于同一平面的两直线平行同一平面的两直线平行. 垂直于同一直线的两直线平行垂直于同一直线的两直线平行. 其中正确命题的序号有其中正确命题的序号有 . 2. 已知直线已知直线 m, n 和平面和平面a a, b b 满足满足 mn, ma a, a ab b, 则则 ( ) (A) n b b (B) n/b b, 或或 n b b (C) na a (D)
30、n/a a, 或或 n a a 3. 如图如图, AB 是是 O 的直径的直径, C 是圆上一点是圆上一点, 空间直线空间直线 PCBC. 求证求证: BC平面平面 PAC. 4. 四边形四边形 ABCD 为正方形为正方形, SA 垂直于垂直于 ABCD 所在所在平面平面, SA= =AB, E、F 分别是分别是 SB、SD的中点的中点. 求证求证: SC平面平面 AEF. 5. 如图如图, 在正方体在正方体 ABCD- -A1B1C1D1中中, 求证求证: 对角线对角线 B1D平面平面 A1C1B. 6. 在正方体在正方体 ABCD- -A1B1C1D1 中中, E、F分别是分别是 AB、B
31、B1 的中点的中点, 求证求证: 平面平面 ADF 平面平面A1ED1.ABCPO(3题题)SABCDEF(4题题)ABCDA1C1D1B1EF(6题题) 7. 如图如图, 在长方体在长方体 ABCD- -A B C D 中中, AB= = BB = =BC = =2, 求二面角求二面角 A- -B C- -B 的大小的大小.ABCDA C D B (7题题)(8题题)PABCDEOABCDA1C1D1B1(5题题) 8. 如图如图, 在四棱锥在四棱锥 P-ABCD 中中, 底面底面ABCD为菱形为菱形, PA底面底面ABCD, AC= = PA= =2, E 是是 PC 上的一点上的一点,
32、PE= =2EC. (1) 证明证明: PC平面平面BED; (2) 设二面角设二面角 A-PB-C 为为90 , 求求 PD 与平面与平面 PBC所成所成角的大小角的大小. 1. 给出下列命题给出下列命题: 垂直于同一直线的两平面垂直于同一直线的两平面平行平行. 垂直于同一平面的两平面平行垂直于同一平面的两平面平行. 垂直于垂直于同一平面的两直线平行同一平面的两直线平行. 垂直于同一直线的两直垂直于同一直线的两直线平行线平行. 其中正确命题的序号有其中正确命题的序号有 . ABCDA1B1C1D1的反例的反例ABCDA1B1C1D1的反例的反例 2. 已知直线已知直线 m, n 和平面和平面
33、a a, b b 满足满足 mn, ma a, a ab b, 则则 ( ) (A) n b b (B) n/b b, 或或 n b b (C) na a (D) n/a a, 或或 n a anma ab b情形情形 1,D排除排除 A, C.情形情形 2,排除排除 B. 3. 如图如图, AB 是是 O 的直径的直径, C 是圆上一点是圆上一点, 空间空间直线直线 PCBC. 求证求证: BC平面平面 PAC.证明证明: AB 是是 O 的直径的直径,C 是圆上一点是圆上一点, BCAC, BC平面平面 PAC.BCPC,PCAC= =C,ABCPO 4. 四边形四边形 ABCD 为正方形
34、为正方形, SA 垂直于垂直于 ABCD 所在平面所在平面, SA= =AB, E、F 分别是分别是 SB、SD的中点的中点. 求证求证: SC平面平面 AEF.SABCDEF证明证明: SA= =AB, E 是是 SB 的中点的中点,AESB,SA正方形正方形 ABCD 所在平面所在平面, BCSA, BCAB,得得 BC平面平面 SAB, BCAE,由由得得AE平面平面SBC,AESC.同理可证同理可证AFSC.SC平面平面 AEF. 5. 如图如图, 在正方体在正方体 ABCD- -A1B1C1D1中中, 求证求证: 对角线对角线 B1D平面平面 A1C1B.证明证明: 在正方体中在正方
35、体中,得得 DD1 A1C1. 连结连结 B1D1, 得得 A1C1 B1D1,于是于是 A1C1平面平面B1D1D,同理同理, 连结连结 B1C,从而得从而得 BC1B1D.B1D平面平面A1C1B.ABCDA1C1D1B1 A1C1B1D.DD1平面平面 A1B1C1D1,可得可得 BC1平面平面B1CD, 6. 如图如图, 在正方体在正方体 ABCD- -A1B1C1D1 中中, E、F分别是分别是 AB、BB1 的中点的中点, 求证求证: 平面平面 ADF 平面平面A1ED1.ABCDA1B1C1D1FE证明证明: 在正方形在正方形A1ABB1中中,A1AEABF.得得AA1E= =B
36、AF,又又A1AF= =AFB,则则A1GA= =90 .G设设 AFA1E= =G,A1EAF.又又 DA平面平面 A1ABB1,A1EDA.A1E平面平面ADF,则平面则平面A1ED1平面平面ADF.AA1E+ +A1AF= =BAF+ +AFB= =90 .G解解: 7. 如图如图, 在长方体在长方体 ABCD- -A B C D 中中, AB= = BB = =BC= =2, 求二面角求二面角 A- -B C- -B 的大小的大小.ABCDA B C D 连接连接 BC , 交交B C于于G,则在正方形则在正方形 B BCC 中中, BC B C.又由又由 AB平面平面 BB C C
37、得得ABB C.B C平面平面ABG,得得 B CAG.则则AGB 为二面角为二面角 A-B C-B 的平面角的平面角.由由 BB = =BC= =2, 得得ABG 是等腰直角三角形是等腰直角三角形, AGB= =45 ,即二面角即二面角 A- -B C- -B 的大小为的大小为45 .(1) 证明证明: PA底面底面ABCD, BDPA.底面底面 ABCD 为菱形为菱形, BDAC.则则 BD平面平面 PAC, 8. 如图如图, 在四棱锥在四棱锥 P-ABCD 中中, 底面底面ABCD为菱形为菱形, PA底面底面ABCD, AC= = PA= =2, E 是是 PC 上的一点上的一点, PE
38、= =2EC. (1) 证明证明: PC平面平面BED; (2) 设二面角设二面角 A-PB-C 为为90 , 求求 PD 与平面与平面 PBC所成角的大小所成角的大小.PABCDEOBDPC.连结连结 EO,PA= =2, PE= =2EC,则得则得COECPA,于是得于是得则则CEO= =CAP= =90 ,PCOE,则在则在 RtPAC中可得中可得,由由得得PC平面平面BED.(2) 解解: 二面角二面角 A-PB-C 为为90 , 平面平面PAB平面平面PBC.作作 AGPB 于于 G,则则 AG平面平面PBC, BCAG. 8. 如图如图, 在四棱锥在四棱锥 P-ABCD 中中, 底面底面ABCD为菱形为菱形, PA底面底面ABCD, AC= = PA= =2, E 是是 PC 上的一点上的一点, PE= =2EC. (1) 证明证明: PC平面平面BED; (2) 设二面角设二面角 A-PB-C 为为90 , 求求 PD 与平面与平面 PBC所成角的大小所成角的大小.PABCDEO又又 BCPA, BC平面平面PAB,AD/平面平面PBC,得得DPH= =30 . BCAB,G得得ABCD是正方形是正方形.则得则得 AB= =2,H作作 DH平面平面PBC于于H.又求得又求得即即 PD 与平面与平面 PBC所成的角为所成的角为30 .
