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1、推理与证明推理与证明推理推理证明证明直接证明直接证明间接证明间接证明演绎推理演绎推理合情推理合情推理已知的判断已知的判断新的判断新的判断确定确定 根据一个或几个已知的判断来确定一个根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就叫新的判断的思维过程就叫推理推理. 3 37 71010 3 3171720201313171730301010 3 37 72020 3 317173030 131317176 6 6 63+33+33+33+3，8 8 8 83+5,3+5,3+5,3+5,101010105+5, 5+5, 5+5, 5+5, 100010001000100029+97129
2、+97129+97129+971， 1002=139+863, 1002=139+863, 1002=139+863, 1002=139+863, 猜想任何一个不小于猜想任何一个不小于猜想任何一个不小于猜想任何一个不小于6 6的的的的偶数都等于两个奇质数的和偶数都等于两个奇质数的和偶数都等于两个奇质数的和偶数都等于两个奇质数的和. .数学皇冠上璀璨的明珠数学皇冠上璀璨的明珠数学皇冠上璀璨的明珠数学皇冠上璀璨的明珠哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想一个规律：一个规律：一个规律：一个规律：偶数奇质数奇质数偶数奇质数奇质数偶数奇质数奇质数偶数奇质数奇质数哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想世界近代
3、三大数学难题之一世界近代三大数学难题之一1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被的偶数都是两个素数（只能被1和它本身整除的数）和它本身整除的数）之和。如之和。如633，1257等等。等等。猜想猜想(a)任何一个任何一个6之偶数，都可以表示成两个奇之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。质数之和。(b)任何一个任何一个9之奇数，都可以表示成三个奇之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。质数之和。有人对有人对33108以内且大过以内且大过6之偶数一一进行验之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想算，哥德巴赫猜想(a)都成立。都成立。目前最佳的结果
4、是中国数学家陈景润于目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1966年证明的，称为陈氏定理年证明的，称为陈氏定理(ChensTheorem).“任何任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，充份大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者仅仅是两个质数的乘积而后者仅仅是两个质数的乘积”,通常都简称这个通常都简称这个结果为大偶数可表示为结果为大偶数可表示为“1+2”的形式。的形式。1920年，挪威的布朗证明了年，挪威的布朗证明了“9+9”。1924年，德国的拉特马赫证明了年，德国的拉特马赫证明了“7+7”。1932年，英国的埃斯特曼证明了年，英国的埃斯特曼证明了“6+6”。200年过去了，没有人证
5、明它。哥德巴赫猜想年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠明珠”。到了到了20世纪世纪20年代，才有人开始向它靠近。年代，才有人开始向它靠近。陈氏定理陈氏定理(Chens Theorem) 任何充分大的偶数都是一任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，个质数与一个自然数之和，而后者仅仅是两个质数的乘而后者仅仅是两个质数的乘积积, 简称为简称为 “1 + 2 ” 。哥德巴赫猜想的过程：哥德巴赫猜想的过程：具体的材料具体的材料观察分析观察分析猜想出一般性的结论猜想出一般性的结论归纳推理的过程：归纳推理的过程： 由某类事物的
6、由某类事物的 具有某些特征具有某些特征, ,推出该类事物的推出该类事物的 都具有这些特征都具有这些特征的推理的推理, ,或者由或者由 概括出概括出 的推理的推理, ,称为称为归纳推理归纳推理( (简称归纳简称归纳).).部分对象部分对象全部对象全部对象个别事实个别事实一般结论一般结论 1，3，5，7，由此你猜想出第，由此你猜想出第个数是个数是_.这就是从这就是从部分到整体部分到整体,从从个别到一般个别到一般的的归纳推理归纳推理.成语成语“一叶知秋一叶知秋”统计初步中的用样本估计总体统计初步中的用样本估计总体 通过从总体中抽取通过从总体中抽取部分对象部分对象进进行观测或试验，进而对行观测或试验，
7、进而对整体整体做出推断做出推断. 意思是从一片树叶的凋落，知道秋意思是从一片树叶的凋落，知道秋天将要来到天将要来到.比喻由比喻由细微的迹象细微的迹象看出看出整体整体形势形势的变化，由的变化，由部分部分推知推知全体全体. 1.已知数列已知数列 的第一项的第一项 =1,且且 ( 1，2，3，)，请归纳出这个数列的通项公式为请归纳出这个数列的通项公式为_. 四色原理四色原理四色猜想的提出来自英国。四色猜想的提出来自英国。18521852年，毕业于伦年，毕业于伦敦大学的弗南西斯敦大学的弗南西斯格来到一家单位搞地图着格来到一家单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：色工作时，发现了一种有趣的现象：“
8、每幅地每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。国家着上不同的颜色。”这个结论能不能从数这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。兄弟二人为证明这一问题格里斯决心试一试。兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。没有进展。 电子计算机问世以后，加快了对四色猜想证明的电子计算机问世以后，加快了对四色猜想证明的进程。进程。19761976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在两台年，美国数学家阿佩尔与哈
9、肯在两台不同的电子计算机上，用了不同的电子计算机上，用了12001200个小时，作了个小时，作了100100亿判断，终于完成了四色定理的证明。四色亿判断，终于完成了四色定理的证明。四色猜想的计算机证明，轰动了世界猜想的计算机证明，轰动了世界, ,当时中国科学当时中国科学家也在研究这个原理。它不仅解决了一个历时家也在研究这个原理。它不仅解决了一个历时100100多年的难题，而且有可能成为数学史上一系多年的难题，而且有可能成为数学史上一系列新思维的起点。列新思维的起点。四色定理的本质就是在平面或者球面无法构造五个或者五个以上两两相连的区域任何形如任何形如 的数都是质数的数都是质数这就是著名的这就是
10、著名的费马猜想费马猜想观察到都是质数观察到都是质数,进而进而猜想猜想:费马费马半个世纪后半个世纪后, , 宣布了费马的这个猜想不成立宣布了费马的这个猜想不成立, ,它不能作它不能作为一个求质数的公式为一个求质数的公式. .以后以后, ,人们又陆续发人们又陆续发现现 不是质数不是质数. .至今这样的反例共找到了至今这样的反例共找到了4646个个, ,却还没有找到第却还没有找到第6 6个正面的例子个正面的例子, ,也就是说也就是说目前只有目前只有n=0,1,2,3,4n=0,1,2,3,4这这5 5个情况下个情况下,Fn,Fn才是才是质数质数. . 大胆猜想大胆猜想 小心求证小心求证18世纪东普鲁
11、士哥尼斯堡被普列戈尔河分为四块,它们通过七座桥相互连接,如下图.当时该城的市民热衷于这样一个游戏:“一个散步者怎样才能从某块陆地出发，经每座桥一次且仅一次回到出发点？”哥尼斯堡七桥问题七桥问题的分析七桥问题看起来不难，很多人都想试一试，但没有人找到答案 .后来有人写信告诉了当时的著名数学家欧拉.千百人的失败使欧拉猜想,也许那样的走法根本不可能.1836年,他证明了自己的猜想。 Euler把南北两岸和两个岛抽象成四个点,将连接这些陆地的桥用连接相应两点的一条线来表示，这样哥尼斯堡的七桥就转化转化为如下一个简图：BANS问题转化为：左图左图中是否存在通过每中是否存在通过每边一次且仅一次的边一次且仅
12、一次的封闭路线。封闭路线。欧拉的结论欧拉的结论欧拉证明：一个图中存在通过每边一次且仅一次回到出发点的路线的充要条件是：1)图是连通的，即任意两点可由图中的一些边连接起来；2)与图中每一顶点相连的边必须是偶数。由此得出结论：七桥问题无解。欧拉由七桥问题所引发的研究论文有关位置的几何问题的解法” （于1736年发表）是图论的开篇之作，因此称欧拉为图论之父。数学题类型名，最著名的是七桥问题（欧拉解答）。一笔画的概念是讨论某图形是否可以一笔画出。图形中任何端点根据所连接线条数被分为奇点、偶点。只有所有点为偶点的图形只有所有点为偶点的图形和只有两个奇点的图形可以和只有两个奇点的图形可以一笔画一笔画。只有
13、偶点的图形不限出发点，只有两个奇点必然从其中一点出发到另一点结束。在任何图形中，奇点都是成对出现的，没有奇数个奇点的图形。凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。其他情况的图都不能一笔画出。(奇点数除以二便可算出此图需几笔画成。)归纳推理的基础归纳推理的基础归纳推理的作用归纳推理的作用归纳推理归纳推理观察、分析观察、分析发现新事实、发现新事实、获得新结论获得新结论由部分到整体、由部分到整体、个别到一般的推理个别到一般的推理注意注意归
14、纳推理的结论不一定成立归纳推理的结论不一定成立可能有生命存在可能有生命存在有生命存在有生命存在温度适合生物的生存温度适合生物的生存温度适合生物的生存温度适合生物的生存一年中有四季的变更一年中有四季的变更一年中有四季的变更一年中有四季的变更有大气层有大气层有大气层有大气层大部分时间的温度适合地大部分时间的温度适合地大部分时间的温度适合地大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存球上某些已知生物的生存球上某些已知生物的生存球上某些已知生物的生存一年中有四季的变更一年中有四季的变更一年中有四季的变更一年中有四季的变更有大气层有大气层有大气层有大气层行星、围绕太阳运行、绕行星、围绕太阳运行、绕行星、
15、围绕太阳运行、绕行星、围绕太阳运行、绕轴自转轴自转轴自转轴自转行星、围绕太阳运行、绕行星、围绕太阳运行、绕行星、围绕太阳运行、绕行星、围绕太阳运行、绕轴自转轴自转轴自转轴自转火星火星火星火星地球地球地球地球火星火星与与地球地球类比的思维过程：类比的思维过程：火星火星地球地球存在类似特征存在类似特征存在类似特征存在类似特征地球上有生命存在地球上有生命存在地球上有生命存在地球上有生命存在猜测火星上也可能有生命存在猜测火星上也可能有生命存在猜测火星上也可能有生命存在猜测火星上也可能有生命存在 由由两类对象两类对象具有具有某些某些类似特征类似特征和其中和其中一类对象的某些一类对象的某些已知特征已知特征
16、, ,推出推出另一类对另一类对象也具有象也具有这些特征这些特征的推理称为的推理称为类比推理类比推理. .我们已经学习过我们已经学习过“等差数列等差数列”与与“等比数列等比数列”.你是否想过你是否想过“等和数列等和数列”、“等积数列等积数列” ？ 从第二项起，每一项与其前一项的从第二项起，每一项与其前一项的差差等于一个常数的数列是等于一个常数的数列是等差数列等差数列.类类类类推推推推 从第二项起，每一项与其前一项的从第二项起，每一项与其前一项的和和等于一个常数的数列是等于一个常数的数列是等和数列等和数列.试根据等式的性质猜想不等式的性质试根据等式的性质猜想不等式的性质.类比推理的结论不一定成立类
17、比推理的结论不一定成立.(1)(1) ; ; ; ;(2) (2) (2) (2) ; ; ; ;(3) (3) (3) (3) ; ; ; ;等等等等等等等等. . . .等式的性质：等式的性质：例例1 1：类比平面内直角三角形的勾股定理，：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想试给出空间中四面体性质的猜想a ab bc co oA AB BC Cs s1 1s s2 2s s3 3c c2 2=a=a2 2+b+b2 2S S2 2ABC ABC =S=S2 2AOBAOB+S+S2 2AOCAOC+S+S2 2BOCBOC猜想猜想: :类比推理类比推理类比推理类比推
18、理以以旧旧的知识为基础的知识为基础,推测推测新新的结果，具有的结果，具有发现的功能发现的功能由由特殊到特殊特殊到特殊的推理的推理类比推理的结论类比推理的结论不一定成立不一定成立注意注意类比推理类比推理由由由由特殊到特殊特殊到特殊特殊到特殊特殊到特殊的推理的推理的推理的推理; ;以旧的知识为基础以旧的知识为基础以旧的知识为基础以旧的知识为基础, ,推测推测推测推测新新新新的结果；的结果；的结果；的结果；结论不一定成立结论不一定成立结论不一定成立结论不一定成立. .归纳推理归纳推理由部分到整体、由部分到整体、由部分到整体、由部分到整体、特殊到一般特殊到一般特殊到一般特殊到一般的推理的推理的推理的推
19、理; ;以观察分析为基础以观察分析为基础以观察分析为基础以观察分析为基础, ,推测推测推测推测新新新新的结论的结论的结论的结论; ;具有具有具有具有发现发现发现发现的功能的功能的功能的功能; ;结论不一定成立结论不一定成立结论不一定成立结论不一定成立. .具有具有具有具有发现发现发现发现的功能的功能的功能的功能; ; 小结小结归纳推理和类比推理的过程归纳推理和类比推理的过程归纳推理和类比推理的过程归纳推理和类比推理的过程从具体问从具体问题出发题出发观察、分析、观察、分析、比较、联想比较、联想归纳、归纳、类比类比提出提出猜想猜想通俗地说，合情推理是指通俗地说，合情推理是指“合乎情理合乎情理”的推
20、理的推理.合情推理合情推理归纳推理归纳推理类比推理类比推理 传说在古老的印度有一座神庙，神庙中有三根针和套在一传说在古老的印度有一座神庙，神庙中有三根针和套在一传说在古老的印度有一座神庙，神庙中有三根针和套在一传说在古老的印度有一座神庙，神庙中有三根针和套在一根针上的根针上的根针上的根针上的64646464个圆环个圆环个圆环个圆环. . . .古印度的天神指示他的僧侣们按下列规则古印度的天神指示他的僧侣们按下列规则古印度的天神指示他的僧侣们按下列规则古印度的天神指示他的僧侣们按下列规则, , , ,把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针起把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针起把圆
21、环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针起把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针起“过渡过渡过渡过渡”的作用的作用的作用的作用. . . . 1. 1. 1. 1.每次只能移动每次只能移动每次只能移动每次只能移动1 1 1 1个圆环；个圆环；个圆环；个圆环； 2. 2. 2. 2.较大的圆环不能放在较小的圆环上面较大的圆环不能放在较小的圆环上面较大的圆环不能放在较小的圆环上面较大的圆环不能放在较小的圆环上面. . . . 如果有一天，僧侣们将这如果有一天，僧侣们将这如果有一天，僧侣们将这如果有一天，僧侣们将这64646464个圆环全部移到另一根针上，个圆环全部移到另一根针上，个圆环全部移
22、到另一根针上，个圆环全部移到另一根针上，那么世界末日就来临了那么世界末日就来临了那么世界末日就来临了那么世界末日就来临了. . . . 请你试着推测：把请你试着推测：把请你试着推测：把请你试着推测：把 个圆环从个圆环从个圆环从个圆环从1 1 1 1号针移到号针移到号针移到号针移到3 3 3 3号针号针号针号针, , , ,最少需要移最少需要移最少需要移最少需要移动多少次动多少次动多少次动多少次? ? ? ?1 12 23 3123第第第第1 1个圆环从个圆环从个圆环从个圆环从1 1到到到到3 3. .设设 为把为把 个圆环从个圆环从1号针移到号针移到3号针的最少次数，则号针的最少次数，则 1时
23、，时， 1 2时，时，123第第第第1 1个圆环从个圆环从个圆环从个圆环从1 1到到到到3 3. .前前前前1 1个圆环从个圆环从个圆环从个圆环从1 1到到到到2 2; ;第第第第2 2个圆环从个圆环从个圆环从个圆环从1 1到到到到3 3; ;第第第第1 1个圆环从个圆环从个圆环从个圆环从2 2到到到到3 3. .设设 为把为把 个圆环从个圆环从1号针移到号针移到3号针的最少次数，则号针的最少次数，则 1 1时，时， 3 2时，时， 3 1时，时， 1 3时，时，123第第第第1 1个圆环从个圆环从个圆环从个圆环从1 1到到到到3 3. .前前前前1 1个圆环从个圆环从个圆环从个圆环从1 1到
24、到到到2 2; ;第第第第2 2个圆环从个圆环从个圆环从个圆环从1 1到到到到3 3; ;前前前前1 1个圆环从个圆环从个圆环从个圆环从2 2到到到到3 3. .前前前前2 2个圆环从个圆环从个圆环从个圆环从1 1到到到到2 2; ;第第第第3 3个圆环从个圆环从个圆环从个圆环从1 1到到到到3 3; ;前前前前2 2个圆环从个圆环从个圆环从个圆环从2 2到到到到3 3. .设设 为把为把 个圆环从个圆环从1号针移到号针移到3号针的最少次数，则号针的最少次数，则 7费马猜费马猜想想歌尼斯堡七桥问歌尼斯堡七桥问题题四色猜想四色猜想哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想请同学们上网了解下的猜想：哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡七桥问题1818世纪在哥尼斯堡城的普莱格尔河上有世纪在哥尼斯堡城的普莱格尔河上有7 7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，座桥，将河中的两个岛和河岸连结， 城城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：了一个问题：能否一次走遍能否一次走遍7 7座桥，而每座桥，而每座桥只许通过一次，座桥只许通过一次，最后仍回到起始地最后仍回到起始地点点。这就是七桥问题，一个著名的图。这就是七桥问题，一个著名的图论论问题。问题。欧拉欧拉
