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1、在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确控制系统状态空间表达式基本概念状态空间表达式的建立状态空间表达式求传递函数矩阵离散系统的数学模型线性变换组合系统的数学描述在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确基本概念基本概念状态状态动态系统的状态是一个可以确定该系统行为的信息集合。动态系统的状态是一个可以确定该系统行为的信息集合。这些信息对于确定系统未来的行为是充分且必要的。这些信息对于确定系统未来的行为是充分且必要的。状态变量状态变量确定系统状态的最小一组变量，如
2、果知道这些变量确定系统状态的最小一组变量，如果知道这些变量在任意初始时刻在任意初始时刻 的值以及的值以及 的系统输入，便能的系统输入，便能够完整地确定系统在任意时刻够完整地确定系统在任意时刻 的状态。（状态变量的选择的状态。（状态变量的选择可以不同）可以不同）状态空间状态空间以所选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交以所选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交线性空间，称为状态空间。线性空间，称为状态空间。状态方程状态方程描述系统状态变量和输入量之间关系的方程。描述系统状态变量和输入量之间关系的方程。输出方程输出方程描述系统输出量和状态变量之间关系的方程。描述系统输出量和状态变量之间关系的方程。
3、系统的状态方程和输出方程总合，称为系统状态空间表达式，或系统的状态方程和输出方程总合，称为系统状态空间表达式，或称为系统动态方程，或称系统方程。称为系统动态方程，或称系统方程。在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确基本概念基本概念例例：如下图所示电路，：如下图所示电路， 为输入量，为输入量， 为为输出量。输出量。建立方程：建立方程：初始条件：初始条件： 和和 可以表征该电路系统的行为，就是该系统的一可以表征该电路系统的行为，就是该系统的一组状态变量组状态变量在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一
4、定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确前面电路的微分方程组可以改写如下，并且写成矩阵形式：前面电路的微分方程组可以改写如下，并且写成矩阵形式：基本概念基本概念在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确基本概念基本概念设：设：则可以写成状态空间表达式：则可以写成状态空间表达式：推广到一般形式：推广到一般形式：A：系统矩阵B：输入（控制）矩阵C：输出矩阵D：直接传递矩阵在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确基本概念基本概念在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问
5、题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确基本概念基本概念如果矩阵如果矩阵A, B, C, D中的所有元素都是实常数时，则称这样的系中的所有元素都是实常数时，则称这样的系统为线性定常（统为线性定常（LTI，即：，即：Linear Time-Invariant）系统。系统。如果这些元素中有些是时间如果这些元素中有些是时间 t 的函数，则称系统为线性时变系统。的函数，则称系统为线性时变系统。在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确基本概念基本概念 状态变量的选取状态变量的选取（1） 状态变量的选取可以视问
6、题的性质和输入特性而定状态变量的选取可以视问题的性质和输入特性而定（2）状态变量选取的非惟一性）状态变量选取的非惟一性（3）系统状态变量的数目是惟一的）系统状态变量的数目是惟一的在前面的例子中，如果重新选择状态变量在前面的例子中，如果重新选择状态变量则其状态方程为则其状态方程为输出方程为：输出方程为：在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立三种途径：三种途径：由系统方块图建立由系统方块图建立 首先将系统方块图转换为相应模拟结构图，然后直首先将系统方块图转换为相应模拟结构图，然后直接列写。
7、接列写。由系统物理或电气特性出发进行推理由系统物理或电气特性出发进行推理由系统高阶微分方程或传递函数演化推理由系统高阶微分方程或传递函数演化推理在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立由系统物理或电气特性出发进行推理由系统物理或电气特性出发进行推理例例 建立右图所示机械系统的状态空间表达式（注：建立右图所示机械系统的状态空间表达式（注：质量块质量块 m 的重量已经和弹簧的重量已经和弹簧 k 的初始拉伸相抵消）的初始拉伸相抵消）根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律即：即：选择状态变量选择状态变
8、量则：则：在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立机械系统的系统方程为机械系统的系统方程为该系统的状态图如下该系统的状态图如下在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立例例 建立电枢控制直流他励电动机的状态空间表达式建立电枢控制直流他励电动机的状态空间表达式电枢回路的电压方程为电枢回路的电压方程为系统运动方程式为系统运动方程式为（式中，（式中， 为电动势常数；为电动势常数； 为转矩常
9、数；为转矩常数； 为为折合到电动机轴上的转动惯量；折合到电动机轴上的转动惯量； 为折合到电动机轴上的粘为折合到电动机轴上的粘性摩擦系数。）性摩擦系数。）在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确可选择电枢电流可选择电枢电流 和角速度和角速度 为状态变量，电动为状态变量，电动机的电枢电压机的电枢电压 为输入量，角速度为输入量，角速度 为输出量。为输出量。状态空间表达式状态空间表达式状态图如图：状态图如图：在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确状态空间表达式的建立
10、状态空间表达式的建立由系统高阶微分方程或传递函数演化推理由系统高阶微分方程或传递函数演化推理 微分方程中不含有输入信号导数项微分方程中不含有输入信号导数项考察三阶系统，其微分方程为：考察三阶系统，其微分方程为：选取状态变量选取状态变量则有则有写成矩阵形式写成矩阵形式在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立状态图如下：状态图如下：在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立一般情况下，一
11、般情况下，n 阶微分方程为：阶微分方程为：选择状态变量如下：选择状态变量如下：在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立写成矩阵形式：写成矩阵形式：在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立系统的状态图如下：系统的状态图如下：在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立 微分方程中含
12、有输入信号导数项微分方程中含有输入信号导数项首先考察三阶系统，其微分方程为首先考察三阶系统，其微分方程为（一）待定系数法（一）待定系数法选择状态变量：选择状态变量：其中，待定系数为：其中，待定系数为：在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立于是于是写成矩阵形式写成矩阵形式在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立系统的状态图系统的状态图在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习
13、，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立一般情况下，一般情况下，n 阶微分方程为：阶微分方程为：选择选择 n 个状态变量为个状态变量为在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立系统方程为系统方程为在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立系统状态图如下系统状态图如下在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置
14、具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立（二）辅助变量法（二）辅助变量法设设 n 阶微分方程为：阶微分方程为：Laplace变换，求传递函数变换，求传递函数引入辅助变量引入辅助变量 z在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立返回到微分方程形式：返回到微分方程形式：以及以及选择状态变量如下：选择状态变量如下：在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确状态空间表达式的建立状态空间表
15、达式的建立注：如果输入项的导数阶次和输出项导数阶次相同，则有注：如果输入项的导数阶次和输出项导数阶次相同，则有d。在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立例例 已知描述系统的微分方程为已知描述系统的微分方程为试求系统的状态空间表达式。试求系统的状态空间表达式。解解 （1）待定系数法）待定系数法选择状态变量如下选择状态变量如下其中其中在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立于是系统的
16、状态空间表达式为于是系统的状态空间表达式为在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立（2）辅助变量法）辅助变量法引入辅助变量引入辅助变量z选择状态变量选择状态变量于是系统的状态空间表达式为于是系统的状态空间表达式为在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确状态空间表达式求传递函数矩阵状态空间表达式求传递函数矩阵在初始松弛时（即：初始条件为零）在初始松弛时（即：初始条件为零） ，求，求Laplace变换，并且化简变换，并且化简
17、状态变量对输入量状态变量对输入量(输入到状态输入到状态)的传递函数的传递函数输出量对输入量输出量对输入量(输入到输出输入到输出)的传递函数（即：传递函数）的传递函数（即：传递函数）单入单入-单出线性定常系统的状态空间表达式为单出线性定常系统的状态空间表达式为在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确状态空间表达式求传递函数矩阵状态空间表达式求传递函数矩阵例例 系统状态方程式为系统状态方程式为求系统传递函数。求系统传递函数。解解：在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也
18、很明确状态空间表达式求传递函数矩阵状态空间表达式求传递函数矩阵多输入多输入-多输出系统多输出系统状态空间表达式为状态空间表达式为进行拉普拉斯变换进行拉普拉斯变换如果如果 存存在，则在，则如果如果 ，则，则状态变量对输入向量状态变量对输入向量(输入到状态输入到状态)的传递函数矩阵：的传递函数矩阵：在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确状态空间表达式求传递函数矩阵状态空间表达式求传递函数矩阵而而输出对输入向量输出对输入向量(输入到输出输入到输出)的传递函数矩阵：的传递函数矩阵：其结构为其结构为式中，式中， 表示只有第表示只有第
19、j 个输入作用时，第个输入作用时，第 i 个输出量个输出量 对第对第 j 个输入量个输入量 的传递函数。的传递函数。在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确状态空间表达式求传递函数矩阵状态空间表达式求传递函数矩阵例例 线性定常系统状态空间表达式为线性定常系统状态空间表达式为求系统的传递函数矩阵。求系统的传递函数矩阵。解解在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确传递函数（矩阵）描述和状态空间描述的比较：传递函数（矩阵）描述和状态空间描述的比较：1）传递函数是系统
20、在初始松弛的假定下输入）传递函数是系统在初始松弛的假定下输入-输出间的关系描述，输出间的关系描述，非初始松弛系统，不能应用这种描述；状态空间表达式即可以描述非初始松弛系统，不能应用这种描述；状态空间表达式即可以描述初始松弛系统，也可以描述非初始松弛系统。初始松弛系统，也可以描述非初始松弛系统。2）传递函数仅适用于线性定常系统；而状态空间表达式可以在定）传递函数仅适用于线性定常系统；而状态空间表达式可以在定常系统中应用，也可以在时变系统中应用。常系统中应用，也可以在时变系统中应用。3）对于数学模型不明的线性定常系统，难以建立状态空间表达式；）对于数学模型不明的线性定常系统，难以建立状态空间表达式
21、；用实验法获得频率特性，进而可以获得传递函数。用实验法获得频率特性，进而可以获得传递函数。4）传递函数仅适用于单入单出系统；状态空间表达式可用于多入）传递函数仅适用于单入单出系统；状态空间表达式可用于多入多出系统的描述。多出系统的描述。5）传递函数只能给出系统的输出信息；而状态空间表达式不仅给）传递函数只能给出系统的输出信息；而状态空间表达式不仅给出输出信息，还能够提供系统内部状态信息。出输出信息，还能够提供系统内部状态信息。 综上所示，传递函数（矩阵）和状态空间表达式这两种描述各综上所示，传递函数（矩阵）和状态空间表达式这两种描述各有所长，在系统分析和设计中都得到广泛应用。有所长，在系统分析
22、和设计中都得到广泛应用。在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确离散系统的数学模型离散系统的数学模型首先，考察三阶差分方程首先，考察三阶差分方程差分方程中不含有输入量差分项差分方程中不含有输入量差分项选取状态变量选取状态变量写成矩阵形式写成矩阵形式在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确离散系统的数学模型离散系统的数学模型可以表示为可以表示为其中其中输出方程输出方程或者或者其中其中在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由
23、浅入深，所提出的问题也很明确离散系统的数学模型离散系统的数学模型推广到推广到n阶线性定常差分方程所描述的系统阶线性定常差分方程所描述的系统选取状态变量选取状态变量 ， ， ，系统状态方程系统状态方程输出方程输出方程在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确线性变换线性变换 状态变量的选取是非唯一的。选择不同的状态变状态变量的选取是非唯一的。选择不同的状态变量，则得到的状态空间表达式也不相同。量，则得到的状态空间表达式也不相同。 由于它们都是同一个系统的状态空间描述，它们由于它们都是同一个系统的状态空间描述，它们之间必然存在某种关
24、系。这个关系就是矩阵中的线性之间必然存在某种关系。这个关系就是矩阵中的线性变换关系。变换关系。求线性变换的目的：将系统矩阵变成为标准形，便求线性变换的目的：将系统矩阵变成为标准形，便于求解状态方程。于求解状态方程。在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确线性变换线性变换线性定常系统线性定常系统（1） 为为n 维状态向量；维状态向量； 为为r 维输入向量；维输入向量； 为为m维输出向量；维输出向量； 、 、 、 为相应维数的矩阵。为相应维数的矩阵。引入非奇异变换矩阵引入非奇异变换矩阵P或者或者代入方程（代入方程（1）其中其中在整
25、堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确线性变换线性变换于是，系统状态方程变为于是，系统状态方程变为（2）方程（方程（1）与方程（）与方程（2）互为等价方程）互为等价方程在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确线性变换线性变换线性变换的基本性质线性变换的基本性质1. 线性变换不改变系统的特征值线性变换不改变系统的特征值线性定常系统线性定常系统系统的特征方程为系统的特征方程为等价系统的特征方程为等价系统的特征方程为可见线性变换不改变系统的特征值可见线性变换不改变系统
26、的特征值在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确线性变换线性变换2. 线性变换不改变系统的传递函数矩阵线性变换不改变系统的传递函数矩阵时的传递函数矩阵时的传递函数矩阵可见，经过线性变换，系统的传递函数矩阵不改变可见，经过线性变换，系统的传递函数矩阵不改变在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确线性变换线性变换化系数矩阵化系数矩阵 A 为标准形为标准形即：对角形、约当形、模态形即：对角形、约当形、模态形设设 是是 矩阵矩阵 A 的特征值，如果存在一个的特征值，如
27、果存在一个n 维非零向量维非零向量 使使 或或成立，则称成立，则称 为为 A 的对应于特征值的对应于特征值 的特征的特征向量向量 而而1. 化矩阵化矩阵 A 为对角阵为对角阵若若n 个特征值互异，则令个特征值互异，则令在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确线性变换线性变换 例例 将矩阵将矩阵 化化为对角阵为对角阵解解解出解出变换矩阵变换矩阵在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确线性变换线性变换如果矩阵如果矩阵 A 具有这样形式具有这样形式范德蒙特矩阵范德蒙
28、特矩阵变换矩阵变换矩阵在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确线性变换线性变换2. 化矩阵化矩阵 A 为约当形为约当形如果矩阵如果矩阵 A 有重特征值，并且独立特征向量的个数小于有重特征值，并且独立特征向量的个数小于n ,这时不能化为对角阵，只能化为约当形。这时不能化为对角阵，只能化为约当形。在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确线性变换线性变换确定变换矩阵确定变换矩阵可以得到：可以得到：变换矩阵为变换矩阵为在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，
29、而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确线性变换线性变换例例 化矩阵化矩阵 为标准为标准形矩阵形矩阵解解得出得出求二重特征根对应的特征向量求二重特征根对应的特征向量在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确线性变换线性变换得到得到而由而由得到得到在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确线性变换线性变换求特征值求特征值 对应的特征向对应的特征向量量得到得到因此因此在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入
30、深，所提出的问题也很明确组合系统的数学描述组合系统的数学描述 工程中较为复杂的系统，通常是由若干个子系统按某种方式工程中较为复杂的系统，通常是由若干个子系统按某种方式连接而成的。这样的系统称为组合系统。连接而成的。这样的系统称为组合系统。 组合系统形式很多，在大多数情况下，它们由并联、串联和组合系统形式很多，在大多数情况下，它们由并联、串联和反馈等反馈等3种连接方式构成的。种连接方式构成的。 下面以两个子系统下面以两个子系统 和和 构成的组合系统进行介绍。构成的组合系统进行介绍。在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确组合系统
31、的数学描述组合系统的数学描述的系统方程为的系统方程为传递函数矩阵为传递函数矩阵为的系统方程为的系统方程为传递函数矩阵为传递函数矩阵为在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确组合系统的数学描述组合系统的数学描述1 并联连接并联连接系统方程系统方程传递函数矩阵传递函数矩阵在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确组合系统的数学描述组合系统的数学描述2 串联连接串联连接在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确组合系统的数学描述组合系统的数学描述串连组合后系统方程串连组合后系统方程传递函数矩阵传递函数矩阵所以所以在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确组合系统的数学描述组合系统的数学描述3 反馈连接反馈连接组合后系统方程为组合后系统方程为传递函数矩阵为传递函数矩阵为或或
