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1、线段和差最值问题线段和差最值问题专题复习：专题复习：谷城县石花镇一中谷城县石花镇一中 李绍平李绍平如图，牧马人从如图，牧马人从A地出发，地出发，到一到一条笔直的条笔直的河边河边 l 饮马，然后到饮马，然后到B地牧马人在河边的什么地方地牧马人在河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？饮马，可使所走的路径最短？两点之间，线段最短。两点之间，线段最短。B BA A情景引入情景引入C CA A情景引入情景引入B B如图，若如图，若A地、地、B地在河的同侧地在河的同侧牧马人在河边的什么地方饮牧马人在河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？马，可使所走的路径最短？B BC CC C两点之间两点之间, ,线
2、段最短。线段最短。ACACC CB B ACACC CBB A ABBA ACCCBCBA ACCCCBB 合作探究一合作探究一 如图，在抛物线的对称轴上找一点如图，在抛物线的对称轴上找一点P P，使点，使点P P到点到点B B与点与点C C的距离之和最小，求出点的距离之和最小，求出点P P的坐标的坐标 . .P P(1)(1)作其中一点关于这作其中一点关于这条直线的对称点；条直线的对称点；(2)(2)连接这个对称点与连接这个对称点与另一点与直线相交；另一点与直线相交；(3)(3)交点即为所求点，此交点即为所求点，此 线段长即为该最小距离线段长即为该最小距离. .求求“直直线上一点到上一点到这
3、条条直直线同同侧两点的距离和两点的距离和最小最小”的的解解题方法方法：PBPBPC PC PAPAPCPC ACAC变式变式: :如图，在抛物线的对称轴上找一点如图，在抛物线的对称轴上找一点P P，使使PAPAPCPC的值最大，求出点的值最大，求出点P P的坐标的坐标 . .y yx xOA AB BC CP P-2-21 1-3-3P PPA-PC PA-PC PB-PCPB-PC BCBC求求“直直线上一点到上一点到这条直条直线异异侧两点的距离差最大两点的距离差最大时”的的解解题方法方法：(1)(1)作其中一点关于这作其中一点关于这条直线的对称点；条直线的对称点；(2)(2)连接另一点与这
4、个对称连接另一点与这个对称点并延长与直线相交；点并延长与直线相交；(3)(3)交点即为所求点，此时两线交点即为所求点，此时两线段差即为该距离差的最大值段差即为该距离差的最大值. .合作探究二合作探究二 如图，如图，CF=CF= BCBC，E E是是ABAB中点中点，在在x x轴轴 、y y轴上是否分别存在点轴上是否分别存在点M M、N N, ,使得四边形使得四边形MNFEMNFE的周长最小？如果存在的周长最小？如果存在, ,求出周长的最小值求出周长的最小值; ;如果不存在如果不存在, ,请说明理由请说明理由. .要使四边形要使四边形要使四边形要使四边形MNFEMNFEMNFEMNFE的周的周的
5、周的周长最小？长最小？长最小？长最小？把三条线段转移到同把三条线段转移到同把三条线段转移到同把三条线段转移到同一条直线上就好了！一条直线上就好了！一条直线上就好了！一条直线上就好了！第一步第一步 转化转化作对称点作对称点E EF FE E F F M MN N第二步第二步 计算计算勾股定理勾股定理方法方法归纳：归纳：求一个动点使线段和最小的问题，通常求一个动点使线段和最小的问题，通常需要作一次对称；而求两个动点使线段需要作一次对称；而求两个动点使线段和最小的问题，通常需要作两次对称和最小的问题，通常需要作两次对称. .拓展：拓展：如图如图, ,四边形四边形ABCDABCD是正方形是正方形,AB
6、E,ABE是等边三角形是等边三角形,M,M为对为对角线角线BDBD（不含（不含B B点）上任意一点点）上任意一点, ,将将BMBM绕点绕点B B逆时针旋转逆时针旋转6060得到得到BN,BN,连接连接ENEN、AMAM、CM.CM. 求证：求证：AMBENBAMBENB； 当当M M点在何处时，点在何处时，AMAMCMCM的值最小；的值最小；当当M M点在何处时，点在何处时，AMAMBMBMCMCM的值最小，并说明理由；的值最小，并说明理由； E EA DA DB B C CN NM MA DA DB B C CN NM ME E方法归纳：方法归纳：A DA DB B C CB B C CE
7、EN NM MN NM M连接连接ACAC交交BDBD于于M M，则，则AMAMCMCM的值最小的值最小使使AMAMBMBMCMCM的值最小的值最小连接连接CECE交交BDBD于于M M，则，则求几条线段和最小的问题，通常是把这几条求几条线段和最小的问题，通常是把这几条线段转移到同一条直线上去线段转移到同一条直线上去. .1 1. .如图，在如图，在 中，中， 且且BC=1BC=1，MNMN为为ACAC的垂直平分线，设的垂直平分线，设P P为直为直线线MNMN上任一点，上任一点，PB+PCPB+PC的最小值为的最小值为_ _ . .2 2巩固练习巩固练习1010巩固练习巩固练习2 2. .如图
8、，正方形如图，正方形ABCDABCD边长为边长为8 8，M M在在BCBC上，上，BMBM2 2，N N为为ACAC上的一动点，则上的一动点，则BN+MNBN+MN的最的最小值为小值为_ _ _. .巩固练习巩固练习3.3.如图如图,MN,MN为为O O的直径，的直径， MN MN4 4， AMNAMN 3030, ,点点B B是弧是弧ANAN的中点，点的中点，点P P是直径是直径MNMN上的上的一个动点，则一个动点，则 PA PAPBPB的最小值为的最小值为_. .M MB BN NA AP POBB2 24.4.如图，如图，AOB=45AOB=45，角内有一动点，角内有一动点P P ，PO
9、=10PO=10，在，在AOAO，BOBO上有两动点上有两动点Q Q、R R，则，则PQRPQR周长的最小值为周长的最小值为_ . .A AB BO OP PD DE ER RQ Q巩固练习巩固练习1010（1 1）求）求 OMAOMA的度数的度数5.5.设设G G为为y y轴上一点，轴上一点，点点P P从点从点M M出发，先沿出发，先沿y y轴到达轴到达G G点，再沿点，再沿GAGA到到达达A A点点P P点在点在y y轴上运动的速轴上运动的速度是它在直线度是它在直线GAGA上运上运动速度的动速度的2 2倍倍巩固练习巩固练习（2 2）试确定）试确定G G点的位置，使点的位置，使P P点按照上
10、述要求点按照上述要求到达到达A A点所用的时间最短（要求：简述确定点所用的时间最短（要求：简述确定G G点位置的方法，但不要求证明）点位置的方法，但不要求证明） 66由特殊的由特殊的由特殊的由特殊的30303030的角的角的角的角P P点在点在y y轴上运动路程是它在轴上运动路程是它在直线直线GAGA上运动上运动路程路程的的2 2倍倍P P点在点在y y轴上运动路程等轴上运动路程等于于P P点在点在GHGH上运动上运动路程路程要求要求P P到达到达A A点所用的点所用的时间最短时间最短A求求GH+GAGH+GA的最小值的最小值66P P点在点在y y轴上运动速度是轴上运动速度是它在直线它在直线
11、GAGA上运动速度上运动速度的的2 2倍倍A求求GH+GAGH+GA的最小值，怎样确定点的最小值，怎样确定点G G？AA确定点确定点G G位置的方法：位置的方法：作作A A关于关于y y轴的对称点轴的对称点AA，过点，过点AA作作AHAH垂直于垂直于AMAM则与则与y y轴的交轴的交点点G G即为所求的点即为所求的点AAAA 在在 中，中， 点的坐标为点的坐标为求点求点G G的坐标：的坐标：通过本节课的学习，你有什么收获？反思小结反思小结轴对称的性质以及轴对称的性质以及“两点之间，线段两点之间，线段最短最短”的知识的知识 “线段和最小线段和最小” 以及以及“线段差线段差 最大最大” 问题问题数学知识数学知识解决问题解决问题转化转化课后作业课后作业中考复习指南中考复习指南: : P152 P152 第第8 8题；题；P155 P155 第第5 5题题. .
