《积分变换法》PPT课件

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1、第四章第四章 积分变换法积分变换法4.1 傅立叶变换的概念和性质4.2 傅立叶变换的应用4.3 拉普拉斯变换的概念和性质4.4 拉普拉斯变换的应用定义定义：假设：假设 I 是数集是数集(实数或者复数实数或者复数)，K(s,x) 为为 上的函数上的函数,这里这里 a,b为任意区间。如果为任意区间。如果 f(x) 在区间在区间 a,b 有定义有定义, 且且 K(s,x) f(x)为为 a,b 上可积函数上可积函数, 则含参变量积分则含参变量积分定义了一个从定义了一个从 f(x) 到到 F(s) 的变换的变换, 称为称为积分变换积分变换, K(s,x) 为变换的为变换的核核。 常见的积分变换有常见的

2、积分变换有傅立叶变换傅立叶变换和和拉普拉斯变换。拉普拉斯变换。 4.1 4.1 傅立叶变换的概念和性质傅立叶变换的概念和性质傅立叶变换傅立叶变换 记作：记作：假设假设 f(x) 在在 上有定义，在上有定义，在 上绝对上绝对可积，在任一有限区间上有有限个极大值、极小可积，在任一有限区间上有有限个极大值、极小值，且至多有有限个值，且至多有有限个第一类不连续点第一类不连续点，则函数，则函数称为称为f(t)的傅立叶变换。的傅立叶变换。即是区间即是区间上，核为上，核为的积分变换的积分变换 4.1 4.1 傅立叶变换的概念和性质傅立叶变换的概念和性质傅立叶逆变换傅立叶逆变换定义为：定义为：记作：记作： 当

3、当 f(x) 满足上述条件时，有满足上述条件时，有傅立叶积分定理：傅立叶积分定理： t是连续点是连续点t是第一类间断点是第一类间断点特别的，当特别的，当 f(x) 连续时连续时 4.1 4.1 傅立叶变换的概念和性质傅立叶变换的概念和性质傅立叶变换具有如下性质傅立叶变换具有如下性质: :1)1)线性性质：线性性质：设设 f, ,g是绝对可积的函数，是绝对可积的函数， 为数为数 2)2)微分运算性质微分运算性质 4.1 4.1 傅立叶变换的概念和性质傅立叶变换的概念和性质3)3)对傅立叶变换后的函数求导数对傅立叶变换后的函数求导数4) 卷积性质卷积性质设设 f(x)，g(x) 在在 上绝对可积上

4、绝对可积, 定义卷积：定义卷积： 4.1 4.1 傅立叶变换的概念和性质傅立叶变换的概念和性质5) 乘积运算乘积运算 傅立叶变换在乘积运算和卷积运算之间建立傅立叶变换在乘积运算和卷积运算之间建立了一个对偶关系。了一个对偶关系。 6) 平移性质平移性质 4.1 4.1 傅立叶变换的概念和性质傅立叶变换的概念和性质思考：思考： 对于对于u(x,y), 若以若以 y 为参数为参数, 对对 x 作傅立叶变换作傅立叶变换由傅立叶变换的由傅立叶变换的线性性质线性性质同理同理, , 是参数是参数 4.1 4.1 傅立叶变换的概念和性质傅立叶变换的概念和性质4.2 4.2 傅立叶变换的应用傅立叶变换的应用例例

5、 用积分变换法解方程：用积分变换法解方程：解：解：由自变量的取值范围，对由自变量的取值范围，对 x 进行傅立叶变换，设进行傅立叶变换，设那么方程转变为那么方程转变为 4.2 4.2 傅立叶变换的应用傅立叶变换的应用解得解得为了求出原方程的解为了求出原方程的解, ,下面对下面对 关于关于 进行进行 傅立叶逆变换傅立叶逆变换. t t t t是参数是参数是参数是参数 4.2 4.2 傅立叶变换的应用傅立叶变换的应用例例 用积分变换法解方程：解： 作关于 的傅立叶变换。设方程变为 4.2 4.2 傅立叶变换的应用傅立叶变换的应用可解得 而则上式两边关于x作逆傅立叶变换，得 4.2 4.2 傅立叶变换

6、的应用傅立叶变换的应用 4.2 4.2 傅立叶变换的应用傅立叶变换的应用例 用积分变换法求解初值问题：解：作关于 x 的傅立叶变换。设t t t t是参数是参数是参数是参数 4.2 4.2 傅立叶变换的应用傅立叶变换的应用于是原方程变为满足初始条件 4.2 4.2 傅立叶变换的应用傅立叶变换的应用的通解为由初始条件 是参数是参数是参数是参数解常微分方程：解常微分方程： 4.2 4.2 傅立叶变换的应用傅立叶变换的应用取傅立叶逆变换，得 其中：注意到而 4.2 4.2 傅立叶变换的应用傅立叶变换的应用所以 取傅立叶逆变换，得 t t t t是参数是参数是参数是参数 4.2 4.2 傅立叶变换的应

7、用傅立叶变换的应用所以 取傅立叶逆变换，得 t t t t是参数是参数是参数是参数 4.24.2 傅立叶变换的应用傅立叶变换的应用4.3 拉普拉斯变换的拉普拉斯变换的 概念和性质概念和性质拉普拉斯变换拉普拉斯变换 傅立叶变换要求函数傅立叶变换要求函数 f 在在 有定义并且绝对有定义并且绝对可积。很多常见函数，如常函数，多项式，三角可积。很多常见函数，如常函数，多项式，三角函数等都不满足条件。以时间函数等都不满足条件。以时间 t 为自变量的函数为自变量的函数在区间在区间 也无意义。这些都限制了傅立叶变也无意义。这些都限制了傅立叶变换的应用。为此引入换的应用。为此引入拉普拉斯拉普拉斯 (Lapla

8、ce) 变换变换。拉普拉斯变换的积分核为拉普拉斯变换的积分核为 （单边）拉普拉斯变换：（单边）拉普拉斯变换： 4.3 4.3 拉普拉斯变换的概念和性质拉普拉斯变换的概念和性质在在复参数复参数 p 的某个区域内收敛。的某个区域内收敛。（单边）拉普拉斯变换对函数（单边）拉普拉斯变换对函数 f(t) 的要求：的要求：定理定理：若函数：若函数f(t)满足下列条件：满足下列条件：在任意有限区间上分段连续在任意有限区间上分段连续的增长速度不超过一个指数函数，即的增长速度不超过一个指数函数，即则：则： 的的LaplaceLaplace变换在半平面变换在半平面 存在。存在。4.3 4.3 拉普拉斯变换的概念和

9、性质拉普拉斯变换的概念和性质基本性质：基本性质： 1)1)基本变换基本变换: :4.3 4.3 拉普拉斯变换的概念和性质拉普拉斯变换的概念和性质2)2)线性性质线性性质3) 微分性质微分性质 若若 则则4.3 4.3 拉普拉斯变换的概念和性质拉普拉斯变换的概念和性质4) 积分性质积分性质 6) 位移性质位移性质 7) 延迟性质延迟性质 5) 对拉普拉斯变换求导对拉普拉斯变换求导4.3 4.3 拉普拉斯变换的概念和性质拉普拉斯变换的概念和性质8) 卷积性质卷积性质 应用应用：拉普拉斯变换既适用于常微分方程：拉普拉斯变换既适用于常微分方程 (如如 P38 ),也适用于偏微分方程。也适用于偏微分方程

10、。4.3 4.3 拉普拉斯变换的概念和性质拉普拉斯变换的概念和性质例例 解常微分方程的初值问题解常微分方程的初值问题: :解解：对：对 t 进行拉普拉斯变换进行拉普拉斯变换, 设设 则原方程变为则原方程变为 4.3 4.3 拉普拉斯变换的概念和性质拉普拉斯变换的概念和性质对对 p 进行拉普拉斯逆变换进行拉普拉斯逆变换, , 考虑到考虑到 有有4.3 4.3 拉普拉斯变换的概念和性质拉普拉斯变换的概念和性质例 设 ，求解常微分方程的初值问题: 解 对 进行拉普拉斯变换, 设 , 则4.3 4.3 拉普拉斯变换的概念和性质拉普拉斯变换的概念和性质于是原方程变为由上式得:对 进行拉普拉斯逆变换, 得

11、4.3 4.3 拉普拉斯变换的概念和性质拉普拉斯变换的概念和性质拉普拉斯变换的反演公式：拉普拉斯变换的反演公式：4.3 4.3 拉普拉斯变换的概念和性质拉普拉斯变换的概念和性质利用留数基本定理，可得利用留数基本定理，可得4.3 4.3 拉普拉斯变换的概念和性质拉普拉斯变换的概念和性质4.3 4.3 拉普拉斯变换的概念和性质拉普拉斯变换的概念和性质4.3 4.3 拉普拉斯变换的概念和性质拉普拉斯变换的概念和性质4.4 4.4 拉普拉斯变换的应用拉普拉斯变换的应用例例：设：设 x0, y0, 求解定解问题求解定解问题 解解：对：对 y 进行拉普拉斯变换。设进行拉普拉斯变换。设 则方程变为：则方程变

12、为： 4.4 4.4 拉普拉斯变换的应用拉普拉斯变换的应用而而 变为变为 解解ODE: ODE: 对对 p 取拉普拉斯逆变换，得取拉普拉斯逆变换，得4.4 4.4 拉普拉斯变换的应用拉普拉斯变换的应用解 问题归结为求解下列定解问题: 例 一条半无限长的杆，端点温度变化已知，杆的初始温度为0，求杆上温度分布规律。对 t 进行拉普拉斯变换怎么变换？为什么？知道 的值了4.4 4.4 拉普拉斯变换的应用拉普拉斯变换的应用分析分析 由于由于 ，故不能用傅立叶变换，故不能用傅立叶变换，而要用拉普拉斯变换。如果对而要用拉普拉斯变换。如果对 进行拉普进行拉普拉斯变换，由于方程中出现了拉斯变换，由于方程中出现

13、了 , ,在变换在变换中需要知道中需要知道 以及以及 的值；如果对的值；如果对 进行拉普拉普拉斯变换，由于方程中出进行拉普拉普拉斯变换，由于方程中出现了现了 ，在变换中需要知道，在变换中需要知道 。因此，。因此，我们对我们对 进行拉普拉斯变换进行拉普拉斯变换。4.4 4.4 拉普拉斯变换的应用拉普拉斯变换的应用对对 t 进行拉普拉斯变换，设进行拉普拉斯变换，设 于是方程变为于是方程变为 这是二阶常微分方程的边值问题，它的通解为这是二阶常微分方程的边值问题，它的通解为 二阶方程，但是仅有一个边界条件！需要引入自然二阶方程，但是仅有一个边界条件！需要引入自然边界条件边界条件. 4.1 4.1 傅立

14、叶变换的概念和性质傅立叶变换的概念和性质4.4 4.4 拉普拉斯变换的应用拉普拉斯变换的应用考虑到具体问题的物理意义：考虑到具体问题的物理意义：u(x, t) 表示温度，表示温度，从而从而 D=0. 再由边值条件再由边值条件 可知，可知，C = F(p). 为求出为求出 u(x,t), 在上式中对在上式中对 p 进行拉普拉斯逆变换进行拉普拉斯逆变换4.4 4.4 拉普拉斯变换的应用拉普拉斯变换的应用由拉普拉斯变换表知，由拉普拉斯变换表知，4.4 4.4 拉普拉斯变换的应用拉普拉斯变换的应用4.4 4.4 拉普拉斯变换的应用拉普拉斯变换的应用 积分变换法求解定解问题的原则和步骤：积分变换法求解定

15、解问题的原则和步骤： 1) 选取恰当的积分变换。主要考虑自变量取值范选取恰当的积分变换。主要考虑自变量取值范围，傅立叶变换要求取值范围是围，傅立叶变换要求取值范围是 ，拉普，拉普拉斯变换要求取值范围是拉斯变换要求取值范围是 3) 注意定解条件的形式。假如对注意定解条件的形式。假如对 x 进行拉普拉斯进行拉普拉斯变换，而原方程是关于为变换，而原方程是关于为 x 的的 k 阶方程，则定解阶方程，则定解条件中必须出现条件中必须出现 2）傅立叶变换要求原象函数在）傅立叶变换要求原象函数在R上绝对可积上绝对可积, 许多许多函数不能作傅立叶变换函数不能作傅立叶变换数学物理方程数学物理方程+ +定解条件定解条件解解常微分方程常微分方程+ +定解条件定解条件解解积分变换逆变换1) 选选取取恰恰当当的的积积分分变变换换，对对某某个个（某某些些）自自变变量量作作积积分分变变换换，得得到到象象函函数数含含参参变变量量的的常微分方程；常微分方程；2）对对部部分分定定解解条条件件取取相相应应的的积积分分变变换换, 导导出出象函数方程的定解条件；象函数方程的定解条件；3）解关于象函数的定解问题）解关于象函数的定解问题, 求出象函数；求出象函数；4）将将象象函函数数取取积积分分逆逆变变换换，即即得得原原定定解解问问题题的解。的解。