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1、1. .小波和小波变换小波和小波变换( (Wavelet and Wavelet Transform) )几点约定几点约定:我们的讨论范围只是函数空间我们的讨论范围只是函数空间 L2（R）；小写小写 是时间信号，大写是时间信号，大写 是其是其Fourier变换；变换；尺度函数总是写成尺度函数总是写成 （时间域）和（时间域）和 （频率（频率域）；域）；小波函数总是写成小波函数总是写成 （时间域）和（时间域）和 （频率（频率域）。域）。1.1 小波小波( (Wavelet) ) 小波小波就是空间就是空间L2(R)中满足下述条中满足下述条件的函数或者信号件的函数或者信号 : : 这这时时， 也也称称
2、为为小小波波母母函函数数，(2) 称称为为容容许性条件许性条件。（1）（2）连续小波连续小波函数：函数：为为由由小小波波母母函函数数 生生成成的的依依赖赖于于参参数数（a,b）的的连连续续小小波波，简简称称为为小波小波。（3）注释注释注释：如果小波母函数注释：如果小波母函数 的的Fourier 变换变换 在原点在原点 是连续是连续 的，那么公式的，那么公式(2)说明说明 ，于是于是这说明函数这说明函数 有波动的特点，公式有波动的特点，公式(1)又说明函数又说明函数 有衰减的特点，因此，有衰减的特点，因此，称函数称函数 为为“小波小波”。1.2 小波变换小波变换( (Wavelet Transf
3、orm) )对对于于任任意意的的函函数数或或者者信信号号 ，其其小波变换为小波变换为 （4）性质性质这样定义的小波变换具有下列性质：这样定义的小波变换具有下列性质：Plancherel恒等式：恒等式： 小波变换的逆变换公式：小波变换的逆变换公式： （5）（6）性质性质吸收公式：当吸收条件吸收公式：当吸收条件 成立时，有吸收的成立时，有吸收的Plancherel恒等式恒等式 （7）（8）性质性质吸收的逆变换公式吸收的逆变换公式 （9）1.3.二进小波和二进小波变换二进小波和二进小波变换(Dyadic Wavelet Transform) 如果小波函数如果小波函数 满足稳定性条件满足稳定性条件(1
4、0)则称则称 为二进小波，对于任意的整数为二进小波，对于任意的整数k, ,记记(11)逆变换逆变换对于任意的对于任意的 ，其二进小波变换为：，其二进小波变换为：这时，逆变换公式是这时，逆变换公式是（12）（13）重构小波重构小波其中其中 的的Fourier变换满足变换满足 称为二进小波称为二进小波 的重构小波，比如可取：的重构小波，比如可取：（14）（15）设小波为设小波为 ，对于任意的整数，对于任意的整数k 和和j，记记1.4. 正交小波和小波级数正交小波和小波级数( (Orthonormal Wavelet) ) 构构成成空空间间 的的标标准准正正交交基基，则则称称 是是正正交小波。交小波
5、。如果函数族如果函数族(16)(17)小波级数小波级数这时，逆变换公式就是小波级数这时，逆变换公式就是小波级数 (18)其中小波系数其中小波系数 的算法是的算法是 (19)连续和离散统一连续和离散统一上上的的取取值值，因因此此，小小波波系系数数 实实际际上上是是信信号号f(x)的的离离散散小小波波变变换换。其其实实，这这也也是是小波变换迷人的风采之一：小波变换迷人的风采之一：小波系数是信号小波系数是信号f(x)的小波变换的小波变换 在在二进离散点二进离散点(20)连续变换和离散变换形式统一；连续变换和离散变换形式统一；连续变换和离散变换都适合全体信号；连续变换和离散变换都适合全体信号；2. 小
6、波分析和时小波分析和时- -频分析频分析(Time-Frequency Analysis )2.1 窗口窗口Fourier变换和变换和Gabor变换变换(Windowed Fourier Transform and Gabor Transform) D.Gabor在在1946年开创时年开创时-频分析的先河提出频分析的先河提出Gabor Transform一般的时一般的时-频分析是频分析是Windowed Fourier TransformShort-Time Fourier TransformWindowed Fourier Transform称称为为信信号号 的的窗窗口口Fourier变变换
7、换，其其中中的的函函数数 称称为为窗窗口口函函数数，一一般般要要求求是：是：具体地具体地(21)Gabor TransformD.Gabor取取(22)是是Gaussian函函数数，对对应应的的变变换换称称为为Gabor变变换换(1946)。对对于于Gabor变变换换，存存在在如如下下的频率再分割公式：的频率再分割公式：(23)物理解释物理解释Gabor变变换换 是是信信号号 在在x=x0点点“附近附近”的频率为的频率为 的频率成分；的频率成分；只只要要把把信信号号 在在各各个个时时间间点点“附附近近”的的频频率率为为 的的频频率率成成分分全全部部累累加加起起来来，理理所所当当 然然就就应应该
8、该是是这这个个信信号号的的频频率率为为 的的频频率率成成 分；分；Gabor变变换换 可可以以认认为为是是信信号号f(x)的的另另一一种种等等价价描描述述(因因为为Fourier变变换换是是信信号号的的等价描述等价描述)局限局限Gabor变变换换没没有有“好好”的的（即即可可以以构成标架或者正交基）离散形式；构成标架或者正交基）离散形式；Gabor变变换换没没有有快快速速算算法法：比比如如没没有有类类似似于于离离散散Fourier变变换换之之FFT的快速数值算法；的快速数值算法；遗憾的是，遗憾的是，Gabor变换存在如下局限：变换存在如下局限： Appendix A Fig.1. Gabor变
9、换的固定时变换的固定时- -频窗口频窗口t00t1t12.2. 时时- -频分析频分析(Time-Frequency Analysis）时时- -频频分分析析本本质质上上是是信信号号描描述述、分分析析和和处处理理的的一一种种方方法法，它它给给信信号号的的“最最优优描描述述问问题题”提提供供一一种种解解决决方方案案。R.Balian(1981)早早在八十年代就清清楚楚地描述了这个问题：在八十年代就清清楚楚地描述了这个问题：在在通通讯讯理理论论中中，人人们们对对于于在在给给定定的的时时间间内内，把把一一个个信信号号表表示示成成“每每一一个个都都同同时时具具有有足足够够确确定定的的位位置置及及频频率
10、率的的谐谐波波”的的叠叠加加这这种种信信号号的的描描述述方方法法极极感感兴趣兴趣最优描述问题最优描述问题有有用用的的信信息息总总是是同同时时被被所所发发射射信信号号的的频频率率特特性性与与信信号号的的时时间间结结构构所所传传递递，最最好好的的例例子是演奏音乐；子是演奏音乐；把把信信号号表表成成时时间间的的函函数数其其频频率率特特征征无无法法突突出出，而而Fourier分分析析又又无无法法标标定定各各个个分分量发射的瞬时位置和持续时间；量发射的瞬时位置和持续时间；“最优描述最优描述”应该综合这两种描述的优点，应该综合这两种描述的优点，并用一个离散的刻画来表示，以适应信息并用一个离散的刻画来表示，
11、以适应信息理论和计算机处理的需要。理论和计算机处理的需要。 Wigner分布函数分布函数Wigner分分布布函函数数是是信信号号时时-频频分分析析的的另另一一种种具具体体的的解解决决途途径径。信信号号f(x)的的Wigner分分布布函函数数是是著著名名理理论论物物理理学学家家E.P.Wigner在在1932年提出来的，定义是：年提出来的，定义是： (24)显然，这是一个实的二元函数显然，这是一个实的二元函数。性质性质Wigner分布函数有如下性质分布函数有如下性质：(25)(26)(27)Wigner分布函数的物理意义分布函数的物理意义Wigner分分布布函函数数的的Plancherel恒恒等
12、等式式成立；成立；Wigner分分布布函函数数 标标明明信信号号的的瞬瞬时时频频率率的位置；的位置；Wigner分分布布函函数数 标标明明信信号号的的瞬瞬时时位位置置的频率。的频率。在能量的意义下，在能量的意义下，Wigner分布函数的分布函数的物理意义是：物理意义是：Wigner分布函数理论的局限分布函数理论的局限Wigner分布函数的三个局限：分布函数的三个局限：Wigner分分布布函函数数 只只记记忆忆信信号号的部分信息；的部分信息；Wigner分分布布函函数数 没没有有有有效效的重建算法；的重建算法；Wigner分分布布函函数数 的的“瞬瞬时时”是渐近意义的。是渐近意义的。2.3. 小
13、波的时小波的时-频分析频分析(Wavelets Time- Frequency Analysis) 小小波波变变换换是是一一种种时时-频频描描述述，它它的的信信息息记记忆忆是是完完全全的的，是是一一种种等等价价的的变变换换描描述述，具具有独特的时有独特的时频分析性质。引入记号：频分析性质。引入记号：(28)中心中心半径半径(29)对于对于 ，如果满足条件，如果满足条件:窗口函数及说明窗口函数及说明则则称称之之为为窗窗口口函函数数， 和和 分分别别称称为为它它的的时时间间中中心心和和时时间间半半径径，而而 和和 分分别别称称为为它的谱中心和谱半径。它的谱中心和谱半径。说明：中心和半径是下述分布的
14、期望和均方差小波的时小波的时-频中心与半径频中心与半径2.3.2.小波的时-频半径2.3.1.小波的时小波的时-频中心频中心（29）（30）2.3.3. 小波的时小波的时- -频窗频窗 (32)Appendix B Fig.2.小波在时小波在时- -频相平面上的窗频相平面上的窗t00t12t12.3.4. 小波的时小波的时- -频特性频特性小波时小波时-频窗的面积恒等于频窗的面积恒等于 ；小小波波的的时时-频频窗窗是是时时-频频相相平平面面中中的的可可变的矩形；变的矩形；小波时小波时-频窗的变化规律：频窗的变化规律：（1）尺尺度度参参数数a增增大大时时，小小波波的的时时窗窗变变宽宽，同时，它的
15、主频变低，频窗变窄；同时，它的主频变低，频窗变窄；（2）尺尺度度参参数数a减减小小时时，小小波波的的时时窗窗变变窄窄，同时，它的主频变高，频窗变宽；同时，它的主频变高，频窗变宽； 小波的频率分辨率小波的频率分辨率小波分析具有固定的相对频率分辨率小波分析具有固定的相对频率分辨率 (33)主频变低时，频窗变窄，频率分辨率提高；主频变低时，频窗变窄，频率分辨率提高；主频变高时，频窗变宽，频率分辨率降低；主频变高时，频窗变宽，频率分辨率降低；高频时出现较低的频率分辨率（难题！）。高频时出现较低的频率分辨率（难题！）。小波的频带特性小波的频带特性 (1)小小波波变变换换处处理理频频域域的的方方式式完完全
16、全不不同同于于经经典典的的Fourier变变换换，任任何何小小波波本本质质上上都都是是以以频频带带的的形形式式出出现现在在频频域域中中，这这样样避避免了许多理论和计算上的麻烦；免了许多理论和计算上的麻烦；(2)二二进进小小波波频频域域划划分分的的特特色色：将将参参数数a按按二二进方式离散化为进方式离散化为选择二进小波选择二进小波 满足满足二进小波二进小波 的主频是的主频是二进小波的分频特性二进小波的分频特性 (34)所在的频带是所在的频带是当当k取遍全体整数时，这些频带正好分离覆取遍全体整数时，这些频带正好分离覆盖正频轴，即盖正频轴，即这就是著名的二进小波频带划分技术。这就是著名的二进小波频带
17、划分技术。2.4. 正交小波的时正交小波的时-频分析频分析Orthonormal Wavelets Time-Frequency Analysis对于正交小波对于正交小波 ，(35)其中系数是其中系数是是是一一个个标标准准正正交交基基，所所以以，对对于于任任何何信信号号f(X)，可以展开成，可以展开成小波级数：小波级数：(36)正交小波的吸收谱正交小波的吸收谱由由小小波波变变换换的的定定义义可可知知，正正交交小小波波级级数数的的系系数数 正正好好是是信信号号f(x)的的小小波波变换变换 在二进离散点：在二进离散点：(37)上的取值。这说明：对于正交小波来说，任上的取值。这说明：对于正交小波来说
18、，任何信号在二进离散点上的小波变换包含了它何信号在二进离散点上的小波变换包含了它的小波变换的全部信息，所以的小波变换的全部信息，所以正交小波具有优美的谱吸收特点正交小波具有优美的谱吸收特点。小波变换与小波变换与Fourier变换变换Fourier变换变换：对对于于任任何何信信号号f(x)，只只有有当当它它是是时时间间有有限限时时，它它的的谱谱F( )(Fourier变变换换)才才是是频率吸收的；频率吸收的；反反过过来来，只只有有当当它它是是频频域域有有限限时时，f(x)才是时间吸收的才是时间吸收的;小波变换小波变换: :对对于于正正交交小小波波分分析析来来说说，任任何何信信号号的的正正交交小小
19、波波谱谱都都是是谱谱吸吸收收的的，即即二二维维小小波波谱谱所所包包含的信息完全被二进离散点上的谱吸收。含的信息完全被二进离散点上的谱吸收。一点评论一点评论正正交交小小波波变变换换谱谱的的完完全全吸吸收收性性为为小小波波变变换换的的理理论论分分析析、数数值值计计算算和和各各种种应应用用提提供供了了极极大大的的方方便便。同同时时，这这些些离离散散的的小小波波谱谱点点，本本质质上上意意味味着着时时-频频分分析析中中频频谱谱分分析析的的频频带带（统统计计意意义义下下的的区区间间），因因此此，小小波波分分析析成成功功地地实实现现了了人人们们梦梦寐寐以以求的求的“频带信息的点处理方式频带信息的点处理方式”
20、；在在(a,b)-W(a,b)给给出出的的二二维维小小波波谱谱空空间间，二二进进离离散散小小波波谱谱点点的的分分布布规规律律可可以以用用Appendix C Fig.3. 加以说明。加以说明。Appendix C Fig.3.正交小波的点谱吸收特性正交小波的点谱吸收特性01234567891011121314150123456701230103. 正交小波和多分辨分析正交小波和多分辨分析(Orthonormal Wavelet and Multiresolution Analysis)多多分分辨辨分分析析： 上上的的一一列列闭闭的的线线性性子子空空间间 和和一一个个函函数数 共共同同称称为为一
21、一个个多多分分辨辨分分析析，如如果果它它们们满满足足如如下下的的五五个个要求：要求：3.1. 多分辨分析多分辨分析(Multiresolution Analysis)多分辨分析多分辨分析2.唯一性公理：唯一性公理：3.稠密性公理：稠密性公理：4.伸缩性公理：伸缩性公理：(39)(40)(41)5.构造性公理：构造性公理：(42)生成生成V0的标准正交基。其中的函数的标准正交基。其中的函数 称为称为尺度函数尺度函数(Scale Function)。1.单调性公理：单调性公理：(38)图像的多分辨分析图像的多分辨分析多多分分辨辨分分析析(Multiresolution Analysis)方方法法，
22、在在计计算算机机科科学学和和信信号号处处理理中中，特特别别是是在在图图像像分分析析中中，通通常常称称为为多多尺尺度度分分析析方方法法(Multiscale Analysis) ，在在小小波波分分析析建建立立之之前前就就已已经经得得到到了了一一些些理理论论研研究究和和应应用用，这这推推动动了了小小波波变变换换理理论论的的产产生生和和完完善善。实实际际上上，信信号号f(x)在在子子空空间间Vk上上的的正正交交投投影影fk(x)是是图像的多分辨分析（续）图像的多分辨分析（续）正交投影正交投影fk(x)正好是原象正好是原象f(x)在一定的分在一定的分辨率之下的模糊象，公式辨率之下的模糊象，公式(40)
23、说明，当分辨率说明，当分辨率足够高时，模糊象和原象重合，即足够高时，模糊象和原象重合，即因因此此，对对fk(x)的的分分析析实实际际是是对对原原象象的的多多种种分分辨辨率率的的分分析析。多多分分辨辨分分析析的的困困难难在在于于如如何何从从低低分分辨辨率率的的模模糊糊象象有有效效地地添添加加恰恰当当的的细细节节，得得到到正正确确的的高高分分辨辨率率下下的的模模糊糊象象。这这些些问问题题的研究都属于多分辨分析的范围。的研究都属于多分辨分析的范围。3.2. 小波构造小波构造(Y.Meyer and S.Mallat, 1988)称之为尺度方程。系数列称之为尺度方程。系数列 叫叫低通滤波系数。低通滤波
24、系数。如果如果 和函数和函数 是一个多分辨分是一个多分辨分析，那么，必然存在一列析，那么，必然存在一列 系数，使得系数，使得(43)构造定理构造定理(Y.Meyer and S.Mallat, 1988)令令 ， 并构造并构造(44)是是L2(R)的的标标准准正正交交基基 则有如下结论则有如下结论:(45)是是Vk在在Vk+1中的正交补中的正交补构造定理的延伸结果构造定理的延伸结果(46)(47)(49)(48)4. 多分辨分析和金字塔算法多分辨分析和金字塔算法(Multiresolution Analysis and Pyramid Algorithms)4.0. 记号记号 （Notatio
25、n）： 分别表示信号的分别表示信号的趋势和波动趋势和波动或者或者模糊象和细节模糊象和细节(50)4.1. 小波分解算法小波分解算法(Decomposition Algorithms of Wavelet)(51)4.2. 小波重建算法小波重建算法(Reconstruction Algorithms of Wavelet)(52)4.3. 金字塔算法金字塔算法(Pyramid Algorithms)(53)引入记号引入记号:它它们们的的几几何何意意义义分分别别是是原原信信号号 在在子子空空间间Vk和和WK上上的的正正交交投投影影，且且它它们们是是相相互互正交的。由多分辨分析的意义可得正交的。由多
26、分辨分析的意义可得(54)4.3.1. 分解金字塔算法分解金字塔算法(Decomposition Pyramid Algorithms)信号的分解信号的分解(Decomposition of Signal)空间的分解空间的分解空间的分解空间的分解(Decomposition of The Subspace)系数的分解系数的分解系数的分解系数的分解(Decomposition of The Coefficients)4.3.2. 重建金字塔算法重建金字塔算法(Reconstruction Pyramid Algorithms)信号的重建信号的重建(Reconstruction of Signal
27、) 空间的重建空间的重建空间的重建空间的重建(Reconstruction of Subspace) 系数的重建系数的重建系数的重建系数的重建(Reconstruction of The Coeffients)信号的小波分解和合成算法信号的小波分解和合成算法有限数字信号的高低通滤波器有限数字信号的高低通滤波器矩阵分解算法矩阵分解算法矩阵合成算法矩阵合成算法有限数字信号的小波变换编码有限数字信号的小波变换编码数字信号小波编码数据量关系数字信号小波编码数据量关系小波应用基本模式小波应用基本模式数字图像二维小波编码数字图像二维小波编码数字图像二维小波重建数字图像二维小波重建数字图像的矩阵小波变换数字
28、图像的矩阵小波变换5. .Malvar小波小波(H.S.Malvar 1987）（R.Coifman and Y.Meyer 1991)5.1 Malvar小波小波(H.S.Malvar 1987)选择窗口函数选择窗口函数 满足如下要求：满足如下要求：时时时时Malvar小波基构造小波基构造Malvar小波基是函数族小波基是函数族(55)说明说明容容易易验验证证，上上述述函函数数族族构构成成L2(R)的的标标准准正正交交基基。一一般般称称这这个个函函数数族族的的小小波波为为Malvar小小波波。Malvar小小波波和和离离散散余余弦弦变变换换(DCT)、离离散散正正弦弦变变换换(DST)有有许
29、许多多相相似似之之处处，根根本本的的差差别别在在于于，Malvar小小波波是是真真正正局局部部化化了了的的离离散散余余弦弦变变换换和和离离散散正正弦弦变变换换分分析析，同同时时，它它还还具具有有变变换换结结果果的的递推数值算法。递推数值算法。让让人人们们惊惊奇奇的的是是，物物理理学学家家K.Wilson和和数数学学家家I.Daubechies也也得得到到了了极极其其相相似似的的结结果果。但但是是，他他们们两两人人和和Malvar的的工工作作之之间间并并没没有有必必然然的的逻逻辑辑的的关关系系。K.Wilson的的想想法法是是，对对于于实实数数轴轴的的长长度度是是2 的的等等长长划划分分，按按照
30、照各各个个区区间间的的奇奇偶偶变变化化，分分别别轮轮番番使使用用离离散散余余弦弦变变换换和和离离散散正正弦弦变变换换进进行行信信号号分分析析；I.Daubechies的的想想法法是是，不不仅仅如如此此，而而且且必必须须加加以以局局部部化化，局局部部化化因因子子是是同同一一个个函函数数 的的2 倍倍整整数数平平移移，只只不不过过要要求求函函数数和和它它的的Fourier变变换换都都是是指指数数衰衰减减的的并并使使得得前前述述函函数族构成数族构成 的标准正交基的标准正交基。5.2 Malvar小波小波(R.Coifman and Y.Meyer 1991) 选择选择 和和 并构造窗口函数列并构造窗
31、口函数列 满足满足:窗函数的构造窗函数的构造实际上，函数实际上，函数 本质上是区间本质上是区间 的的特征函数的光滑化特征函数的光滑化Appendix D Fig.4.窗函数的形状示意图窗函数的形状示意图Ak-1AkAk+1Ak+ kAk- kAk+1- k+1k(t)k-1(t)第一类第一类Malvar小波基小波基第一类第一类Malvar小波为：小波为： (56)第二类第二类Malvar小波基小波基第二类第二类Malvar小波基为小波基为 (57)6. 小波包小波包(Wavelet Packets)(R.Coifman and Y.Meyer and M.V.Wickerhauser 1992
32、) 设设 和和 是是一一个个多多分分辨辨分分析析且且(43)和和(44)成立。记成立。记6.1 正交小波包正交小波包(Orthonormal Wavelet Packets)正交小波包的定义正交小波包的定义递推定义的函数族递推定义的函数族(58)(59)k是整数，是整数，m是自然数。是自然数。称之为小波包。引入记号称之为小波包。引入记号正交正交小波包定理小波包定理正交小波包定理正交小波包定理(Coifman and Meyer and Wickerhauser 92)空间构造空间构造 是是 的标准正交基的标准正交基空间关系空间关系 (60)特殊空间关系特殊空间关系正交小波包的空间分割正交小波包
33、的空间分割小波包实现小波空间的再分割小波包实现小波空间的再分割6.2小波包和时小波包和时- -频分析频分析(Wavelet Packets andits Time-Frequency Analysis)利利用用正正交交小小波波的的构构造造定定理理可可知知，子子空空间间Wk是是Vk在在Vk+1中的正交补：中的正交补：同同时时，根根据据小小波波的的时时-频频分分析析特特性性，可可得得下下列列关系关系:正交小波实现有限频带的二进分割正交小波实现有限频带的二进分割正交小波实现全频域的二进分割正交小波实现全频域的二进分割正交小波包对二进频带的等分割正交小波包对二进频带的等分割（62）Appendix E
34、 Fig.5.小波包的完全频带分割特性小波包的完全频带分割特性0123456789101112131415012345670123010小波包的小波包的Mallat算法算法数字信号的小波包分解数字信号的小波包分解数字信号的小波包分解数字信号的小波包分解数字图像的小波包分解数字图像的小波包分解Appendix F Fig.6.图片的小波包分解示意图图片的小波包分解示意图7. 总结和展望总结和展望将前述小波工具归纳如下：将前述小波工具归纳如下：连续小波变换分析法连续小波变换分析法二进小波变换分析法二进小波变换分析法;正交小波变换分析法正交小波变换分析法;Malvar类小波分析法类小波分析法;小波包
35、频域再分割法小波包频域再分割法 。最后的几点说明（一）最后的几点说明（一）1.上上述述工工具具中中，前前三三种种即即连连续续、二二进进和和正正交交小小波波分分析析，从从分分析析和和处处理理问问题题的的过过程程 来来看看，与与Fourier分分析析颇颇为为相相似似，不不过过 在在某某些些方方面面更更加加优优越越，比比如如，正正交交小小波波 本本身身具具备备的的多多分分辨辨率率分分析析的的含含义义以以及及连连 续续频频带带“点点”吸吸收收的的二二进进离离散散化化技技巧巧等等等等但但因因为为它它与与Fourier分分析析比比较较相相似似，所所以以在在应应用用中中使使用用得得就就比比后后面面的的两两种
36、种方方法要多得多；法要多得多；2.Malvar类类小小波波分分析析完完全全有有别别于于经经典典的的 Fourier分分析析，真真正正实实现现严严格格意意义义下下的的局局部部化化，而而且且，频频率率也也是是严严格格意意义义下下的的Fourier频频率率或或经经典典的的线线性性频频率率，同同时时，它它还还具具有有快快速速的的递递推推算算法法。从从理理论论上上突突破破了了统统计计局局部部化化以以及及时时- -频频分分析析的的非非线线性性频频率率含含义义，数数值值计计算算的的快快速速算算法法又又奠奠定定了了数数字字信信号号处处理理的的计计算算基基础础。因因此此，Malvar类类小小波波分分析析为为数数
37、字字信信号号的的分分析析和和处处理理提提供供了了崭崭新新的的分分析析工工具具, , 特特别别是是在在信信号号的的最最优优描描述述的的搜搜索索算算法法方方面面，Malvar小波分析提供了最优算法；小波分析提供了最优算法；最后的几点说明（二）最后的几点说明（二）3. 小小波波包包工工具具可可以以认认为为是是小小波波分分析析独独创创地地为为科科学学研研究究和和工工程程技技术术应应用用研研究究提提供供的的让让人人颇颇感感意意外外的的新新鲜鲜工工具具，它它那那种种统统计计意意义义下下和和严严格格意意义义下下的的频频域域再再分分割割的的巧巧妙妙思思想想和和优优美美的的递递推推计计算算方方法法，让让人人们们几几乎乎不不敢敢相相信信 同同时时，理理解解和和使使用用起起来来也也更更加加困困难难。这这正正是是小小波波包包分分析析现现在在使使用得比较少的主要原因。用得比较少的主要原因。完完最后的几点说明（三）最后的几点说明（三）
