数学教学设计的方法

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1、教学设计与案例分析教学设计与案例分析张乃达教学设计与案例分析教学设计与案例分析n n教堂设计原则n n教学设计要点n n概念教学：情境创设与意义建构n n解题教学：模式建构与运用n n案例教学与研究式学习一、教学设计的原则一、教学设计的原则n n 教学设计与教学观念n教学设计原则n介绍一种教学模式n教学设计要点1、教学设计与教学观念n教学设计集中地反映了教师的数学教学观教学设计集中地反映了教师的数学教学观念。念。n数学教学观念集中地表现为数学教学的价数学教学观念集中地表现为数学教学的价值观和行为规范。值观和行为规范。数学教学的本质是什么？（本体论）数学教学的本质是什么？（本体论）数学教学的本质

2、是什么？（本体论）数学教学的本质是什么？（本体论）数学教学的目的是什么？（价值观）数学教学的目的是什么？（价值观）数学教学的目的是什么？（价值观）数学教学的目的是什么？（价值观）数学教学的方法是什么？（方法论）数学教学的方法是什么？（方法论）数学教学的方法是什么？（方法论）数学教学的方法是什么？（方法论）（1 1）数学教学的基本目标是促进）数学教学的基本目标是促进学生的发展学生的发展数学的价值工具价值思维价值文化价值数学教育的价值知识能力精神品格（观念）数学教学活动应是学生经历“数学化”、“再创造”的活动过程教师不仅是教学活动的设计者、组织者，而且是学生的合作者因势利导地帮助学生因势利导地帮助

3、学生.doc.doc创设问题情境，激活学生的思维创设问题情境，激活学生的思维帮助学生进行思维的监控和反思帮助学生进行思维的监控和反思. .情感上对学生给予鼓励情感上对学生给予鼓励, ,帮助学生树立克服困难的信帮助学生树立克服困难的信心心现代数学文化的代表现代数学文化的代表在教学中教师的语言、行为、思维方式、感情、价在教学中教师的语言、行为、思维方式、感情、价值观都会潜移默化地影响学生值观都会潜移默化地影响学生. . （2 2）数学教学是师生双边活动的过程）数学教学是师生双边活动的过程2。教学设计原则。教学设计原则n n结构性原则：（结构性原则：（宏观设计原则宏观设计原则） 数学教学要突出学科的

4、基本结构数学教学要突出学科的基本结构知识结构（组织起来的数学知识）知识结构（组织起来的数学知识）知识结构（组织起来的数学知识）知识结构（组织起来的数学知识）思维结构（知识组织的方式）思维结构（知识组织的方式）思维结构（知识组织的方式）思维结构（知识组织的方式）认知结构（学习者头脑中的知识结构）认知结构（学习者头脑中的知识结构）认知结构（学习者头脑中的知识结构）认知结构（学习者头脑中的知识结构）核心概念、胚胎、生长点核心概念、胚胎、生长点核心概念、胚胎、生长点核心概念、胚胎、生长点教学内容的结构化，保持思想方法的一致性教学内容的结构化，保持思想方法的一致性教学内容的结构化，保持思想方法的一致性教

5、学内容的结构化，保持思想方法的一致性、知识结构、思维结构、基本方法、思想、知识结构、思维结构、基本方法、思想立体几何初步结构图立体几何初步结构图.doc2。教学设计原则。教学设计原则n n过程性原则：（过程性原则：（微观设计原则微观设计原则） 以问题为中心以问题为中心，把数学教学组织为发现问，把数学教学组织为发现问题和解决问题的过程题和解决问题的过程n n 数学知识的发生发展过程和学生的数学学习过程的整合：n n对数学教学要充分暴露思维过程的理解；对数学教学要充分暴露思维过程的理解； 手段和目的；发现性学习和接受性学习；反思手段和目的；发现性学习和接受性学习；反思和暴露；提出问题的过程；和暴露

6、；提出问题的过程；n n问题解决的启示；问题解决的启示；数学知识的发生发展过程数学知识的发生发展过程和学生学学习过程的整合和学生学学习过程的整合n n强调教学过程的思想性，使学生在课堂中有高度强调教学过程的思想性，使学生在课堂中有高度的思维参与，经历实质性的数学思维过程。的思维参与，经历实质性的数学思维过程。n n参照科学认识的形成的过程设计概括的过程：参照科学认识的形成的过程设计概括的过程：n n创设问题情境创设问题情境n n开展观察、试验、类比、猜想、归纳、概括、特殊化、开展观察、试验、类比、猜想、归纳、概括、特殊化、一般化等活动，形成假设一般化等活动，形成假设n n进行推理论证活动，检验

7、假设，获得新知识。并纳入进行推理论证活动，检验假设，获得新知识。并纳入认知结构认知结构n n新知识应用。新知识应用。 3。介绍一种教学模式回顾反思回顾反思问题情境问题情境 学生活动学生活动 意义建构意义建构数学理论数学理论数学运用数学运用提出问题提出问题体验数学体验数学感知数学感知数学建立数学建立数学理解数学理解数学应用数学应用数学数学建构的过程，教科书内容呈现的过程，课堂教学展开的模式n n问题情境问题情境：包括实例、情景、问题、叙述等：包括实例、情景、问题、叙述等 意图：意图：提出问题提出问题n n学学生生活活动动：包包括括观观察察、操操作作、归归纳纳、猜猜想想、验验证证、 推推理理、建建

8、立立模模型型、提提出出方方法法等等个个体体活活动动，也也包包括括讨讨论论、合合作作、交交流流、互互动动等等小小组活动；组活动； 意图：意图：体验数学体验数学n n意意义义建建构构：包包括括经经历历过过程程、感感受受意意义义、形形成成表象、自我表征等表象、自我表征等. 意图：意图：感知数学感知数学n n数数学学理理论论：包包括括概概念念定定义义、定定理理叙叙述述、模模型型描述、算法程序等描述、算法程序等 意图：意图：建立数学建立数学n n数数学学运运用用：包包括括辨辨别别、解解释释、解解决决简简单单问问题题、解决复杂问题等解决复杂问题等 意图：意图：运用数学运用数学n n回回顾顾反反思思：包包括

9、括回回顾顾、总总结结、联联系系、整整合合、拓广、创新、凝缩（由过程到对象）等拓广、创新、凝缩（由过程到对象）等 意图：意图：理解数学理解数学案例案例1 1 函数的概念函数的概念提出问题1： 在初中我们是如何认识函数这个概念的？在初中我们是如何认识函数这个概念的？(一)问题情境 教师提出本节课的研究课题： 在初中，我们把函数看成是刻画和描述两个变量之间依赖关系的数学模型，今天我们将进一步学习有关函数的知识.(二)学生活动1让学生就问题1略加讨论，作为讨论的一部分，教师出示教材中的三个例子，并提出问题22问题2：在在上上面面的的例例子子中中，是是否否确确定定了了函函数数关关系？为什么？系？为什么？

10、 通过对问题2的讨论，帮助学生回忆初中所学的函数概念，再引导学生回答问题1函数的传统定义：变量的观点(三)建构数学1.建构n n问题3：如如何何用用集集合合的的观观点点来来理理解解函函数数的的概念？概念？n n问题4：如如何何用用集集合合的的语语言言来来阐阐述述上上面面3 3个个例子中的共同特点？例子中的共同特点？n n结论：函函数数是是建建立立在在两两个个非非空空数数集集之之间间的的单值对应单值对应（概念的胚胎）12反思（1）结论是否正确地概括了上面例子的共同特征?（2）比较上述认识和初中函数概念是否有本质上的差异？（3）一次函数、二次函数、反比例函数等是否也具有上述特征？ （4）进一步，你

11、能举出一些“函数”的例子吗？它们具有上述特征吗？ （作为例子，可以讨论课本（作为例子，可以讨论课本P24P24练习）练习） 一般地，设 A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则 f，对于集合A中的每一个元素 x，在集合B中都有惟一的元素 y 和它对应，这样的对应叫做从A 到 B的一个函数(function)，通常记为yf (x)，x A其中，所有的输入值 x 组成的集合A叫做函数yf (x)的定义域(domain)问题问题5 5如何用集合的观点来表述函数的概念？如何用集合的观点来表述函数的概念？如何用集合的观点来表述函数的概念？如何用集合的观点来表述函数的概念？给出函数的定义指出对应法则和定

12、义域是构成一个给出函数的定义指出对应法则和定义域是构成一个给出函数的定义指出对应法则和定义域是构成一个给出函数的定义指出对应法则和定义域是构成一个函数的要素函数的要素函数的要素函数的要素(四)数学理论函数的近代定义：集合语言、对应的观点(五)数学运用 1定义的直接应用 例1（课本P23例1） 例2（课本P23例2） 2已知函数确定函数的值域 例3（课本P23例3） (注意把握难度)(六)总结反思1“初中的”函数定义和今天的定义有什么区别？2你认为对一个函数来说，最重要的是什么？( (一一) )问题情境问题情境1情境：第2.1.1开头的第三个问题中，观察气温变化图2问题：说出气温在哪些时间段内是

13、升高的或下降的？你在图象中，读到哪些信息？你在图象中，读到哪些信息？案例案例2 2 函数的单调性函数的单调性f (t)， t0，2410O24681 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 / 0Ct /h2 怎样用数学语言刻画上述时段内怎样用数学语言刻画上述时段内“随着时间的增大随着时间的增大气温逐步升高气温逐步升高”这一特征？这一特征？ （1）yxOy2x1，xRy(x1)21，xR（2）yxO-112( (二二) )学生活动学生活动问题问题1 1：观察下列函数的图象（如图观察下列函数的图象（如图1 1），指出），指出 图象变化的趋势图象变化的趋势问题问题2：你能明

14、确说出你能明确说出“图象呈逐渐上升趋势图象呈逐渐上升趋势” ” 的意思吗？的意思吗？ 在某一区间内，在某一区间内， 当当x x的值增大时，函数值的值增大时，函数值y y也增大也增大 图象在该区间内呈上升趋势图象在该区间内呈上升趋势 当当x x的值增大时，函数值的值增大时，函数值y y反而减小反而减小 图象在该区间内呈下降趋势图象在该区间内呈下降趋势函数的这种性质称为函数的单调性(三三)建构数学建构数学 问题问题3：如何用数学语言来准确地表述函数的单如何用数学语言来准确地表述函数的单 调性呢？调性呢？ 怎样表述在区间（0，+）上当x的值增大时，函数y的值也增大？ 反思： 能不能说，由于x1时，y

15、3；x2时，y5就说随着x的增大，函数值y也随着增大? 能不能说，由于x1，2，3，4，5，时，相应地 y3，5，7，9，就说随着x的增大，函数值 y 也随着增大？ 如果有n个正数x1 x2x3 xn，它们的函数值满足y1 y2y3 yn能不能就说在区间(0，+) 上随着x的增大，函数值 y 也随着增大? 无限个呢？ 通通过过讨讨论论，结结合合图图(2)(2)给给出出 f f ( (x x) )在在区区间间I I上上是是单单调增函数的定义调增函数的定义 如果对于区间如果对于区间(o，+)上上任意任意两个值两个值x1和和 x2，当，当x1 x2时，时，都有都有y1 y2，那么可以说随着，那么可以

16、说随着x 的增大，函数值的增大，函数值y 也增大也增大问题4：如何定义单调减函数如何定义单调减函数？给出函数单调性和单调区间的概念 ( (四四) )数学理论数学理论函数的单调性是函数的函数的单调性是函数的“局部性质局部性质”，它与区间密切相，它与区间密切相关关(五五)数学运用数学运用1例题例题例例例例1 1 作出下列函数的图象，并写出函数的单调区间作出下列函数的图象，并写出函数的单调区间（1）yx 22； （2）提问：能不能说，函数 (x0)在整个定义域上是单调减函数？引导讨论，从图象上观察或取特殊值代入验证否定结论（如取x1=1，x2=2）例2 观察下列函数的图象 并指出它们是否为定义域上的

17、增函数：（1 1）y y( (x x1)1)2 2 （2 2）y y=|=|x x1| 1|1 12 2练习练习练习第练习第1 1、第、第2 2、第、第5 5题题(六）回顾小结六）回顾小结 本节课主要学习了函数单调性的概念以及判断函数在某个区间上的单调性的方法 二、二、 教学设计要点教学设计要点n教学设计就是问题设计n问题情境的创设与初始问题n意义建构与问题串数学教学设计就是问题的设计n n数学教学是数学活动的教学，从本质上说，数学教学是数学活动的教学，从本质上说，数学活动是一种思维活动，而数学思维活数学活动是一种思维活动，而数学思维活动又集中的表现为提出问题和解决问题的动又集中的表现为提出问

18、题和解决问题的过程。因此，从某种意义上说，数学教学过程。因此，从某种意义上说，数学教学设计就是问题的设计。数学教学设计的中设计就是问题的设计。数学教学设计的中心任务就是要设计出一个（一组）问题，心任务就是要设计出一个（一组）问题，从而把教学过程组织成为提出问题和解决从而把教学过程组织成为提出问题和解决问题的过程。让学生在解决问题的过程中问题的过程。让学生在解决问题的过程中“做数学做数学”，学数学，增长知识，发展能，学数学，增长知识，发展能力。力。案例案例1 1 函数的概念函数的概念 问题1：在初中我们是如何认识函数这个概念 的？问题2：在上述例子中，是否确定了函数关系？ 为什么？问题3如何用集

19、合的观点来理解函数的概念？问题串：教学进程的链条问题问题4 4如何用集合的语言来阐述上面如何用集合的语言来阐述上面如何用集合的语言来阐述上面如何用集合的语言来阐述上面3 3个例子中的共个例子中的共个例子中的共个例子中的共 同特点同特点同特点同特点? ?(1)(1)结论是不是正确地概括了例子的共同特征？结论是不是正确地概括了例子的共同特征？(2)(2)比较上述认识和初中函数概有无本质上的差异？比较上述认识和初中函数概有无本质上的差异？(3)(3)一次函数、二次函数、反比例函数等是否也具有一次函数、二次函数、反比例函数等是否也具有 上述特征？上述特征？(4)(4)进一步地，你能举出一些进一步地，你

20、能举出一些“ “函数函数” ”的例子吗？的例子吗？问题问题5 5如何用集合的观点来表述函数的概念？如何用集合的观点来表述函数的概念？如何用集合的观点来表述函数的概念？如何用集合的观点来表述函数的概念？问题问题6 6你认为对一个函数来说，最重要的是什么？你认为对一个函数来说，最重要的是什么？你认为对一个函数来说，最重要的是什么？你认为对一个函数来说，最重要的是什么？案例案例2 函数的单调性函数的单调性问题问题：说出气温在哪些时间段内是升高的或下说出气温在哪些时间段内是升高的或下 降的？怎样用数学语言刻画降的？怎样用数学语言刻画“随着时间的增大随着时间的增大气温逐步升高气温逐步升高”这一特征？这一

21、特征？问题问题1：观察下列函数的图象，指出图象变化观察下列函数的图象，指出图象变化的趋势的趋势（从图象中，你读到了哪些信息？从图象中，你读到了哪些信息？）问题问题2：你能明确说出你能明确说出“图象呈逐渐上升趋势图象呈逐渐上升趋势”的意思吗？的意思吗？问问题题3：如如何何用用数数学学语语言言来来准准确确地地表表述述函函数数的的单单调性呢？调性呢？ 能不能说，由于x1时，y3；x2时，y5就说随着x的增大，函数值y也随着增大？ 能不能说，由于x1，2，3，4，5，时，相应地 y3，5，7，9，就说随着x的增大，函数值 y 也随着增大？ 如果有n个正数x1 x2x3 xn，它们的函数值满足y1 y2

22、y3 yn能不能就说在区间(0，+) 上随着x的增大，函数值 y 也随着增大? 无限个呢？ 通过讨论，结合图（2）给出f (x) 在区间I上是单调增函数的定义问题问题4：如何定义单调减函数？如何定义单调减函数？ 如果对于区间如果对于区间(o，+)上上任意任意两个值两个值x1和和 x2，当，当x1 x2时，时，都有都有y1 y2，那么可以说随着，那么可以说随着x 的增大，函数值的增大，函数值y 也增大也增大2.问题情境与初始问题问题情境与初始问题n n教学中，应鼓励学生积极参与教学活动，包括思维的参与和行为的参与。既要有教师的讲授和指导，也有学生的自主探索与合作交流。教师要创设适当的问题情境，鼓

23、励学生发现数学的规律和问题解决的途径，使他们经历知识形成的过程。n n (课程标准)问题情境和意义建构问题情境和意义建构n n为什么要创设问题情境？n n问题情境有什么作用？n n怎样创设问题情境？n n什么样的问题情境是“好”情境？n n圆与方程（黄凯）.ppt问题（情境）的作用问题（情境）的作用n n引起学生的关注，激发学生探索的欲望；引起学生的关注，激发学生探索的欲望；n n开阔视野，建立数学与生活的联系；开阔视野，建立数学与生活的联系；n n唤起学生的经验；唤起学生的经验；引发数学思考引出数学问题问题背景的作用问题背景的作用n n问题背景在学习中同样具有重要的作用。第一，它可以为学习活

24、动提供动力；第二，它是深入的理解概念所不可缺少的；第三，把握住它，就可以把概念的学习活动组织成为学习者主动的积极的解决问题的活动。对发现性学习来说，概念就成为解决这类问题的成果：对接受性学习来说，它是进行深入的反思，从而在思维中建构新概念的关键课题。从某种意义上说，教师在概念教学中的主导作用就表现为对概念的学习提供总的问题背景。初始问题初始问题n n对问题的要求对问题的要求n n初始性初始性n n结构性结构性n n情境性情境性n n简单而有深度简单而有深度n n应用问题和结构问题应用问题和结构问题怎样设计初始问题怎样设计初始问题.doc.docn n程序性问题和实质性问题程序性问题和实质性问题

25、问题设计（讲稿）问题设计（讲稿）.doc.docn n多方位地设置问题多方位地设置问题n n问题串问题串案例分析：诱导公式案例分析：诱导公式n n角角 的三角函数与的三角函数与- - 的三角函数有什么关系？的三角函数有什么关系？n n 的终边、的终边、180+180+的终边与单位圆的交点有什么关的终边与单位圆的交点有什么关系？你能由此推出系？你能由此推出 与与180+180+的三角函数的关系吗的三角函数的关系吗？n n我们可以通过查表得到锐角三角函数的值，如何我们可以通过查表得到锐角三角函数的值，如何求任意角的三角函数的值呢？能不能将任意角的求任意角的三角函数的值呢？能不能将任意角的三角函数转

26、化为锐角三角函数？三角函数转化为锐角三角函数？n n由三角函数的定义知道，终边相同的角的三角函由三角函数的定义知道，终边相同的角的三角函由三角函数的定义知道，终边相同的角的三角函由三角函数的定义知道，终边相同的角的三角函数值相等。除此以外，还有一些角的终边具有某数值相等。除此以外，还有一些角的终边具有某数值相等。除此以外，还有一些角的终边具有某数值相等。除此以外，还有一些角的终边具有某些特殊关系，那么它们的三角函数值能有什么样些特殊关系，那么它们的三角函数值能有什么样些特殊关系，那么它们的三角函数值能有什么样些特殊关系，那么它们的三角函数值能有什么样的特殊关系呢？的特殊关系呢？的特殊关系呢？的

27、特殊关系呢？案例分析；向量的加法案例分析；向量的加法n n 向量向量OAOA、ABAB、OBOB之间有什么关系？之间有什么关系？n n为什么向量为什么向量OBOB是向量是向量OAOA、ABAB的和？的和？n nOBOB的长度是的长度是OAOA、ABAB长度的和吗？长度的和吗？n n你为什么说向量你为什么说向量OBOB是向量是向量OAOA、ABAB的和呢？的和呢？n n什么叫做向量的和？什么叫做向量的和？n n向量怎样做加法？向量怎样做加法？n n你是从你是从“ “累计累计” ”的意义上以位移为原型定义的意义上以位移为原型定义“ “和和” ”的概念的。但是这样的定义是不是适用于其它的概念的。但是

28、这样的定义是不是适用于其它的向量（既具有大小又具有方向的量）呢？的向量（既具有大小又具有方向的量）呢？n n（仿此对力进行研究）（仿此对力进行研究）案例分析：椭圆的标准方程案例分析：椭圆的标准方程n n课题 椭圆的标准方程.pptn n对教案中问题情境的评析卫星轨道卫星轨道贮油罐贮油罐放映机上聚光灯泡的反射镜放映机上聚光灯泡的反射镜压扁了的圆压扁了的圆它们起了什么作用?问题情境必须引起数学的思考， 引出数学问题，成为意义建构的重要环节！因为数学从本质上说，是思维活动案例分析：椭圆的标准方程案例分析：椭圆的标准方程n n问题：扁了的圆是椭圆吗？n n解决问题的思路：比较扁圆与椭圆的方程，进而做出

29、判断。1. 1.建立扁圆的方程；2. 2.建立椭圆的方程；3. 3.结论。问题情境的创设：双曲线问题情境的创设：双曲线案例分析案例分析:二分法二分法n n用二分法求方程的近似用二分法求方程的近似11.ppt11.pptn n情境的作用：思维过程的类比情境的作用：思维过程的类比n n 你能猜出方程的根吗？你能猜出方程的根吗？n n 不能直接猜出根，你能猜出它的范围吗？不能直接猜出根，你能猜出它的范围吗？n n 怎么能保证根在这个范围内？（观察图象）怎么能保证根在这个范围内？（观察图象）n n应该说是保证在这个范围内有根应该说是保证在这个范围内有根n n 能把这个范围缩小吗？再缩小呢？能把这个范围

30、缩小吗？再缩小呢？n n 怎样保证在很小很小的范围内有根呢？怎样保证在很小很小的范围内有根呢？n n我们需要找到一个验证的方法。问题情境要引起学生的思维活动，而不能掩盖思维过程教师要准确地把握重点，认识数学方法的实质案例分析：三角函数案例分析：三角函数n n三角函数的定位（实验教材）.ppt3.意义建构与问题串意义建构与问题串n n在大多数情况下，概念的产生是从观念开始的。它往往产生于一个念头、一种朴素的想法，（例如，极限的概念就产生于“无限逼近”的想法）它可能是模糊的、粗糙的，但是它却是孕育新概念的“胚胎”，它体现了概念的实质性内容，表现为对概念的直觉的、整体的理解，所以它是生动的、有价值的

31、。在概念的学习过程中，要充分地展示出这个由观念到概念的思维过程这就是人们学说的形式化过程。从朴素的观念到数学概念意义建构：是思维的创造意义建构：是思维的创造n n人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想像、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程。这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断。数学思维能力在形成理性思维中发挥着独特的作用。（课程标准）n n从朴素的观念到形式化的数学概念n n从朦胧的直觉到清晰的逻辑n n从概略性解决到具体解决n n经历过程经历过程（再发现）（再发

32、现）n n感受意义感受意义（反思领悟）（反思领悟）n n形成表象形成表象（建构的成果）（建构的成果）n n自我表征自我表征（初步的概括）（初步的概括）意义建构意义建构:数学活动中的核心环数学活动中的核心环节节形式化的过程,思维创造的过程,抽象的过程问题串：问题串：意义建构的逻辑链条意义建构的逻辑链条n n怎样建立椭圆的方程？n n“ “椭圆的方程椭圆的方程” ”是什么意思？是什么意思？n n直线的方程是什么意思？直线的方程是什么意思？n n圆的方程是什么意思？圆的方程是什么意思？n n过去我们是怎样建立圆的方程的？过去我们是怎样建立圆的方程的？n n什么是椭圆？它的定义是什么？什么是椭圆？它的

33、定义是什么？n n怎样建立坐标系？怎样建立坐标系？n n胚胎和生长点胚胎和生长点问题串突出了学科结构，即基本思想、基本方法、基本问题怎样设置问题串怎样设置问题串?n n如何精确地刻画曲线上某一处的变化趋势呢？n n怎样找到经过曲线上某一点怎样找到经过曲线上某一点P P处最逼近曲线的直处最逼近曲线的直线呢？线呢？n n 平均变化率能精确地刻画曲线上某一点处的变化平均变化率能精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势吗？趋势吗？n n 特别地，平均变化率能精确地刻画直线上某一点处的特别地，平均变化率能精确地刻画直线上某一点处的变化趋势吗？变化趋势吗？ 能不能用直线代替曲线呢？怎样才能做到这一点呢？通过反思

34、设置问题串通过反思设置问题串n n如何精确地刻画曲线上某一处的变化趋势呢？n n 平均变化率能精确地刻画曲线上某一点处的平均变化率能精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势吗？变化趋势吗？n n 特别地，平均变化率能精确地刻画直线上某一点处特别地，平均变化率能精确地刻画直线上某一点处的变化趋势吗？的变化趋势吗？n n能不能用直线代替曲线呢？能不能用直线代替曲线呢？n n怎样才能做到这一点呢？怎样才能做到这一点呢？n n 怎样找到经过曲线上某一点怎样找到经过曲线上某一点P P处最逼近曲线的处最逼近曲线的直线呢？直线呢？ 设设计计好好一一个个初初始始问问题题就就从从根根本本上上设设计计好好了了一一节节课

35、课，因因为为学学生生解解决决初初始始问问题题的的活活动动是是按按照照一一定定的的规规律律展展开开，可可以以说说，在在初初始始问问题题确确定定以以后后，课课的的大大体体发发展展方方向向和和框框架架就就已已经经确确定定了了它它是是会会按按照照自自身身的的逻逻辑辑展展开的开的n n初始问题在数学教学中的作用，决不仅仅初始问题在数学教学中的作用，决不仅仅在于创设了问题情境，使学生进入在于创设了问题情境，使学生进入愤愤“和和“悱悱的境界。（当然这个作用也很重的境界。（当然这个作用也很重要）更重要的是，初始问题为学生的思维要）更重要的是，初始问题为学生的思维活动提供了一个好的切入口，确定的一个活动提供了一

36、个好的切入口，确定的一个好的方向，为学生的学习活动找到了一个好的方向，为学生的学习活动找到了一个载体，也为数学课找到了一个好的结构，载体，也为数学课找到了一个好的结构，使数学课成为解决初始问题的活动。使数学课成为解决初始问题的活动。n n所以，从本质地说，课堂教学设计就是问所以，从本质地说，课堂教学设计就是问题的设计。题的设计。三、案例分析三、案例分析n n概念教学要点n n案例分析：线面垂直的教学案例分析：线面垂直的教学n n案例分析；数列案例分析；数列n n解题教学要点n n案例分析：空间角的计算案例分析：空间角的计算概念教学要点概念教学要点n n数学概念本身就是对过程的抽象数学概念本身就

37、是对过程的抽象n n数学概念的建构必须经历一个过程数学概念的建构必须经历一个过程n n数学概念的学习的几个环节数学概念的学习的几个环节n n影响抽象的若干因素影响抽象的若干因素(1)数学概念本身就是对过程的抽象数学概念本身就是对过程的抽象n n可以说，绝大多数的数学概念都有两重身份：可以说，绝大多数的数学概念都有两重身份：n n笫一，它是对数学活动过程抽象的结果；笫一，它是对数学活动过程抽象的结果；n n笫二，它又是数学研究的对象，是进行下一轮抽象的原笫二，它又是数学研究的对象，是进行下一轮抽象的原型。型。n n这就是说，数学抽象是对过程的抽象，通过数学抽象，这就是说，数学抽象是对过程的抽象，

38、通过数学抽象，我们把一个过程定格为我们把一个过程定格为“ “概念概念” ”，于是新概念又介入了，于是新概念又介入了新的思维活动之中，它既是思维的对象，又是思维的工新的思维活动之中，它既是思维的对象，又是思维的工具，当我们对新的思维过程进行抽象时，又会产生新概具，当我们对新的思维过程进行抽象时，又会产生新概念。正是这样一轮又一轮的抽象使数学的抽象性达到了念。正是这样一轮又一轮的抽象使数学的抽象性达到了不可思议的高度。不可思议的高度。例子：对自然数的抽象（递推定义，基数定义）数学概念的建构必须经历一个过程问题情境观念（胚胎）概念 1.从问题开始从问题开始n n概念的抽象是从产生建立新概念的意识开始

39、的。而建立新概念的意识是由解决问题的需要或审美的需要激发起来的。因此，在大多数情况下，建立概念的活动总是在问题背景下进行的。例如，自然数的概念是在数数过程中形成的；虚数的概念是在解方程的活动中产生的；非欧几何的发现是从对第五公设的追究开始的。n n因此，问题成为建构活动的载体。从总体上看，可以说只要问题出现了，新概念的产生就是必然的了；2.胚胎的孕育：观念的产生胚胎的孕育：观念的产生n n.数学概念的建立是有一个过程的。最初在数学家头脑出现的可能只是一个总的轮廓，一个念头，一种“心理表象”，一个观念，一种直觉，它可能粗糙的、模糊的，远不是精确的。虽然，它还不是一种客观的社会的存在，但是作为新概

40、念的胚胎，它已经活跃在数学家个人的思维活动之中了。应该把它的出现看成是概念建构过程中具有实质性意义的一步。3.形式化；从朴素的观念到数学概念形式化；从朴素的观念到数学概念n n.从概念的胚胎发展成规范化的数学概念，要经历一个形式化的过程。这在建构概念的活动中同样是十分重要的。数学概念就是通过它，才从数学家个体思维中的创造，转变为客观的存在。也正因为如此，数学概念才能成为一个观念和概念的区别观念和概念的区别n n观念和概念当然是有区别的。自然数的观念就是“可以一个一个数下去的数”；函数的观念就是用一个变量刻划另一个变量。垂直的观念就是“正对着”，斜率的观念就是“表示直线方向的量”。和概念相比观念

41、是粗糙的，不规范的，有待进一步抽象的。但是它却是生动的，富有思想意义的，具有实质性内容的。数学概念的学习的几个环节数学概念的学习的几个环节n n1为概念的学习提供适当的问题背景；n n2选择适当的抽象原型；n n3注意揭示：从朴素的观念到严格的形式化的“定义”的转换过程。从问题情境到意义建构数学概念的学习的几个环节数学概念的学习的几个环节n n4 4注意揭示数学概念间的联系，即要在概念系统注意揭示数学概念间的联系，即要在概念系统中考察概念。由于数学概念往往是中考察概念。由于数学概念往往是“ “再抽象再抽象” ”的的结果，因此，暴露概念的抽象过程实质上就是揭结果，因此，暴露概念的抽象过程实质上就

42、是揭示概念间的内在联系的最好方法。示概念间的内在联系的最好方法。n n5 5概念的建构过程是一个长期的过程，学习者对概念的建构过程是一个长期的过程，学习者对概念的理解是不断的深入的，概念的应用过程实概念的理解是不断的深入的，概念的应用过程实际上是概念建构过程的重要组成部分。因此要注际上是概念建构过程的重要组成部分。因此要注意在概念的应用中，加深对概念的理解。意在概念的应用中，加深对概念的理解。案例分析：线面垂直案例分析：线面垂直n n线面垂直的教学.docn n案例分析：导数.ppt 案例分析案例分析: : 数列数列n n数列教案16数列.ppt 6数列.ppt n n数列教案2n n数列教案

43、3n n以上三个教案有什么不同？如何对它们做出评价？n n本节课的知识“生长点”在哪里？中心问题是什么？n n怎样才能使学生掌握学习（建构）的主动权？教案教案(1)(1)的展开程序的展开程序n n引入n n数列的定义n n数列的通项公式n n数列是特殊的函数n n数列的图象n n例题和练习教案教案(2)(2)、(3)(3)的展开程序的展开程序n1引入n2. 数列的定义n3数列的一般形式n4数列的函数观点：特殊的函数n5数列的通项公式n6例子人教版旧教材的编排人教版旧教材的编排苏教版的编排苏教版的编排可以看成是数列形式化的定义数列数列:问题串问题串n n怎样建立刻画上述问题的数学模型?n n 这

44、些问题有什么共同的特点这些问题有什么共同的特点? ?n n 从数学的角度看从数学的角度看, ,什么叫做什么叫做” ”按一定次序排列按一定次序排列” ”的数的数? ?n n数列数列 3,2,5,1 3,2,5,1和数列和数列2,3,5,12,3,5,1是同一个数列吗是同一个数列吗? ?n n数列能不能看成一个数的集合数列能不能看成一个数的集合? ?n n 数列既然是特殊的函数它有哪些表示方法数列既然是特殊的函数它有哪些表示方法? ?n n怎样用图象表示数列怎样用图象表示数列? ?n n怎样用解析式表示数列怎样用解析式表示数列? ?实质:不断地进行形式化案例分析：向量的数量积案例分析：向量的数量积

45、n n向量的数量积.doc反复出现的问题反复出现的问题n n什么叫做函数值越来越大？n n什么叫做函数值周而复始的出现？n n什么叫做“正对着“？n n什么叫做”按一定顺序排列的数“？出现的问题给学生带来了什么样的思考？反复出现的过程、程序反复出现的过程、程序n n定积分定积分n n解析法解析法n n程序相同的研究过程程序相同的研究过程n n对知识结构的理解对知识结构的理解n n对建构过程的理解对建构过程的理解n n对数学方法的理解对数学方法的理解n n对学科的理解对学科的理解掌握学习活动的主动权会自己提出问题应该思考的问题应该思考的问题n n教师是不是准确地把握了教材,掌握了学科结构?n n

46、教师是不是认识到本节课的教学过程的实质就是”建构”数学模型的过程?n n教师是不是熟悉构建数学模型的一般程序? 我们需要重温结论2。解题教学要点。解题教学要点n n解题模式的构建n n解题模式的应用n n案例分析：空间向量的应用n n课题 空间线面关系的判定.pptn n空间向量说课课件.ppt（1）解题模式的构建）解题模式的构建n n构建的过程n n构建数学对象，将问题量化（法向量、导数、构建数学对象，将问题量化（法向量、导数、定积分、定积分、X X2 2统计量等）统计量等）n n理清解决问题的整体思路理清解决问题的整体思路n n分解问题，提炼出基本问题分解问题，提炼出基本问题n n通过例题

47、教学通过例题教学, ,抽象归纳出解题的一般程序抽象归纳出解题的一般程序n n比较各种解题方法的特点比较各种解题方法的特点, ,加深对方法的认识加深对方法的认识 ( (向量方法和综合法向量方法和综合法 向量方法与导数方法等向量方法与导数方法等) )（2）解题模式的应用）解题模式的应用n n正确选择解题方法n n把握模式的特点把握模式的特点, ,适应范围适应范围n n把握题目特点把握题目特点n n渗透算法思想,灵活运用解题程序n n尝试猜想,探索解题思路n n灵活变换问题,提高分析能力n n积累经验,反思提高（3）案例分析：空间向量的应用）案例分析：空间向量的应用如何用向量刻画平面的方向直线方向向

48、量和平面法向量直线方向向量和平面法向量法向量是对平面方向的数量刻画通过例题解决求平面向量的基本问题空间线面关系的判定空间线面关系的判定线面间的位置关系转换为向量间的数学关系解决了有关线面关系的证明问题用向量方法证明了重要定理用向量方法证明了重要定理体会用向量方法解决问题的优越性空间角的计算空间角的计算确立用向量方法求角的指导思想注意对向量方法和综合法的比较通过例题建立用向量方法的一般程序用向量求二面角问题的思路用向量求二面角问题的思路角的计算转换为向量的运算通过例题，建立用向量方法求二面角的程序向量方法求二面角的思路向量方法求二面角的思路n n如何用向量求二面角？n n一般性解决：用法向量刻划

49、平面的方向，把求二面角的问题转化为求向量的角的问题n n 向量的角如何求？向量的角如何求？n n功能性解决：求出向量的数量积和模功能性解决：求出向量的数量积和模n n 向量的数量积又如何求？向量的数量积又如何求？n n具体解决：用向量的坐标运算来求。具体解决：用向量的坐标运算来求。向量法求二面角的依据向量法求二面角的依据n n1. 1.建立了刻画平面方向的概念法向量建立了刻画平面方向的概念法向量n n2. 2.建立了向量的夹角公式建立了向量的夹角公式夹角公式又是如何推导出来的?案例教学案例教学n n通过对范例的研究，寻求解决一类问题的一般思路和方法。n n案例教学是经常运用的教学方法。n n推

50、理与证明、导数、定积分、超几何分布、二推理与证明、导数、定积分、超几何分布、二项分布、用二分法求方程的近似解，算法初步，项分布、用二分法求方程的近似解，算法初步，例题教学等，都使用了案例教学。例题教学等，都使用了案例教学。n n课例求异面直线的角采用的就是案例教学课例求异面直线的角采用的就是案例教学的方法。的方法。教学内容的呈现方式教学内容的呈现方式n n在整体上采用了演绎式的展开方式，有利于突出向量处理问题的基本思想，让学生理解学习的进程；n n在每个局部问题上，采用了以案例研究为主的归纳式展开方式，让学生参与构建解题模式的活动，有利于探索活动的展开和解题能力的发展。具体的范式比抽象的道理更

51、重要具体的范式比抽象的道理更重要n n著名科学哲学家库恩把“科学传统称之为范式”。他说：“对于科学传统的继承而言”，“具体的范式比抽象的道理更重要，也更具有直接的指导意义。”n n在教学中，教师要提供这类范例，让学生认真学习、欣赏这些范例，并仿照它们进行自己的工作。值得指出的是，教师的行为也应该具有范例的作用。2案例分析：独立性检验案例分析：独立性检验n n课例：推理案例赏析n n课题：推理案例赏析.pptn n课例：独立性检验n n课题：独立性检验.pptn n空间向量说课课件.ppt选用不同的教学方式选用不同的教学方式n n对不同的内容，可采用不同的教学和学习方式。例如，可采用收集资料、调

52、查研究等方式，也可采用实践探索、自主探究、合作交流等方式，还可采用阅读理解、讨论交流、撰写论文等方式。n n（课程标准）教师的讲授仍然是重要的教学方式教师的讲授仍然是重要的教学方式n n在高中数学教学中，教师的讲授仍然是重要的教学方式之一，但要注意的是必须关注学生的主体参与，师生互动。在教学中，教师应根据高中数学课程的理念和目标，学生的认知特征和数学的特点，积极探索适合高中学生数学学习的教学方式。n n（课程标准） 研究性教学案例研究性教学案例:空间向量空间向量n n课题：空间向量n n目标：通过类比，建立空间向量的知识体系n n过程：n n(1)(1)研究平面向量的知识体系的建立过程研究平面向量的知识体系的建立过程, ,特别特别是知识间的逻辑关系是知识间的逻辑关系; ;n n(2)(2)根据根据(1)(1)建立空间向量的知识体系建立空间向量的知识体系结论n n教师要促使学生主动的学习n n面对着问题，学生就会产生探索和发现的欲望n n学生掌握了学科的基本结构就有了探索与发现的主动权n n教师有了科学的价值观，掌握了数学文化的规范，就可以在与学生的互动中掌握教学的主动权。问题设计（讲稿）.doc谢谢谢谢