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1、第三节第三节 定积分的物理应用定积分的物理应用0 转动惯量转动惯量0 变力沿直线所做的功变力沿直线所做的功0 引力引力 设质点的质量为设质点的质量为m, 绕轴绕轴 l 转动，角速度为转动，角速度为 , 则线速度为则线速度为 v = r, 转动动能为转动动能为 E=1/2 m ( r)2 = 1/2 J 2 转动惯量转动惯量例例1 1 求长为求长为l , =1的细杆关于的细杆关于y轴的转动惯量轴的转动惯量.xyol解解 x (0, l ) , 把小段把小段x,x+dx视为质量集视为质量集中于中于x 处的质点，则处的质点，则 m=x = dx dJ=dm x2 = x2 dx一、转动惯量一、转动惯
2、量（J = m r2 )例例2 有一质量为有一质量为M, 半径为半径为R的均匀圆片，求的均匀圆片，求（1）对垂直圆面中心轴的转动惯量；）对垂直圆面中心轴的转动惯量；（2）对直径的转动惯量。）对直径的转动惯量。解解 （1）与轴等距离的点转动惯量相同）与轴等距离的点转动惯量相同故故 x (0, R) , 视位于视位于x,x+dx的小圆环质量是集中于的小圆环质量是集中于x 处的质点，处的质点，dJ=dm x2 = x2 dA = （2） x (0, R) , 视小细条视小细条x,x+dx的质量的质量集中于集中于x 处，处，dJ=dm x2 = 问题：问题：物体在变力物体在变力F(x)的作用下，从的作
3、用下，从x轴上轴上a点移动到点移动到 b点，点，求变力所做的功。求变力所做的功。用积分元素法用积分元素法1）在）在a,b上考虑小区间上考虑小区间x, x+ x，在此小区间上在此小区间上 w dw=F(x)dx 2）将）将dw从从a到到b求定积分，就得到所求的功求定积分，就得到所求的功二、变力沿直线所作的功二、变力沿直线所作的功or解解功元素功元素所求功为所求功为如果要考虑将单位电荷移到无穷远处如果要考虑将单位电荷移到无穷远处点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停解解建立坐标系如图建立坐标系如图用积分元素法用积分元素法这一薄层水的重力为这一薄层水的重力为功元素功元素 :(千焦千焦)解解 设
4、木板对铁钉的阻力为设木板对铁钉的阻力为第一次锤击时所作的功为第一次锤击时所作的功为例例3 3 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功厘米，若每次锤击所作的功相等，问第相等，问第 n 次锤击时又将铁钉击入多少？次锤击时又将铁钉击入多少？设设 次击入的总深度为次击入的总深度为 厘米厘米次锤击所作的总功为次锤击所作的总功为依题意知，每次锤击所作的功相等依题意知，每次锤击所作的功相等次击入的总深度为次击入的总深度为第第 次击入的深度为次击入的深度为三、引力三、引力解解 建立坐标系如图建立坐标系如图将典型小段近似看成质点将典型小段近似看成质点小段的质量为小段的质量为小段与质点的距离为小段与质点的距离为引力引力水平方向的分力元素水平方向的分力元素由对称性知，引力在铅直方向分力为由对称性知，引力在铅直方向分力为四、四、 水压力水压力例例1、解解如图建立坐标系如图建立坐标系,此闸门一侧受到静水压力为此闸门一侧受到静水压力为
