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1、空间解析几何 一、向量代数一、向量代数二、空间解析几何二、空间解析几何1 1、向量的概念、向量的概念定义定义: :既有大小又有方向的量称为向量既有大小又有方向的量称为向量. .相等向量相等向量:大小相等大小相等,方向相同方向相同负向量负向量:大小相同大小相同,方向相反方向相反向径向径: :起点为原点起点为原点零向量零向量:模为模为0的向量的向量,方向不固定方向不固定向量的模向量的模:向量的长度向量的长度(大小大小)单位向量单位向量:模为模为1的向量的向量一、向量代数一、向量代数（2）向量的分解式：）向量的分解式：在三个坐标轴上的分向量：在三个坐标轴上的分向量：（3）向量的坐标表示式：）向量的坐
2、标表示式：向量的坐标：向量的坐标：2 2、向量的表示法、向量的表示法（1）有向线段）有向线段 (模和方向模和方向余弦余弦）(1)加法：3 3、向量的线性运算、向量的线性运算(2)减法：(3)(3)向量与数的乘法：向量与数的乘法：线性运算的坐标表达式线性运算的坐标表达式向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式4 4、数量积、数量积数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式运算律运算律(1) 交换律(2) 结合律(3) 分配律5 5、 向量积向量积向量积向量积定义：向量方向 :(叉积)记作且符合右手规则模
3、 :向量积 ,称 几何意义：右图三角形面积S性质性质为非零向量, 则运算律运算律(2) 分配律(3) 结合律向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式解解解解例例3. 已知向量的夹角且解：解：例例4. 4. 已知三点已知三点已知三点已知三点角形 ABC 的面积 解解: 如图所示,求三横轴横轴纵轴纵轴竖轴竖轴定点定点1 1、空间直角坐标系、空间直角坐标系空间的点空间的点有序数组有序数组二、空间解析几何二、空间解析几何它们距离为它们距离为两点间距离公式两点间距离公式: :点到平面的距离公式：点到平面的距离公式：（1 1）旋转曲面）旋转曲面定义：以一条平面曲线绕定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转
4、其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面一周所成的曲面. .这条定直线叫旋转曲面的这条定直线叫旋转曲面的轴轴. .2 2、曲面、曲面方程特点方程特点: :（2 2） 柱面柱面定义：定义：平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线C C移动的直线移动的直线L L所形成的曲面所形成的曲面. .这条定曲线叫柱面这条定曲线叫柱面的的准线准线，动直线叫，动直线叫柱面的柱面的母线母线. .从柱面方程看柱面的特征：从柱面方程看柱面的特征：椭球面椭球面椭球面椭球面(3) 二次曲面二次曲面 抛物面抛物面抛物面抛物面 椭圆抛物面( p , q 同号) 双曲抛物面（鞍形曲面）特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转
5、抛物面.( p , q 同号)双曲面双曲面双曲面双曲面单叶双曲面单叶双曲面双叶双曲面双叶双曲面3 3、空间曲线、空间曲线（1 1） 空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程（2 2） 空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程空间平面空间平面一般式点法式截距式三点式4. 4. 空间直线与平面的方程空间直线与平面的方程特殊情形特殊情形 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点通过原点的平面; 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量平面平行于 x 轴; A x+C z+D = 0 表示 A x+B y+D = 0 表示 C z + D = 0
6、表示 A x + D =0 表示 B y + D =0 表示平行于 y 轴的平面;平行于 z 轴的平面;平行于 xoy 面 的平面;平行于 yoz 面 的平面；平行于 zox 面 的平面.例例例例5. 5. 求通过求通过求通过求通过 x x 轴和点轴和点轴和点轴和点( 4, 3, 1) ( 4, 3, 1) 的平面方程的平面方程的平面方程的平面方程. .解解: 因平面通过 x 轴 ,设所求平面方程为代入已知点得化简,得所求平面方程为直线的方向向量.空间直线空间直线一般式对称式参数式为直线上一点; 例例例例6.6.6.6.用对称式及参数式表示直线用对称式及参数式表示直线用对称式及参数式表示直线用
7、对称式及参数式表示直线解解: :先在直线上找一点.再求直线的方向向量令 x = 1, 解方程组,得交已知直线的两平面的法向量为是直线上一点 .故所给直线的对称式方程为参数式方程为解题思路解题思路: 先找直线上一点;再找直线的方向向量.例例例例7 7 7 7. . 求直线求直线求直线求直线与平面的交点 . 提示提示: : 化直线方程为参数方程代入平面方程得 从而确定交点为（1，2，2）.面与面的关系面与面的关系平面平面垂直:平行:夹角公式:5.5.5.5.线面之间的相互关系线面之间的相互关系线面之间的相互关系线面之间的相互关系直线线与线的关系线与线的关系直线垂直:平行:夹角公式:平面:垂直：平行：夹角公式：面与线间的关系面与线间的关系直线:
