有理数域上的多项式

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1、2.8 2.8 有理数域上的多项式有理数域上的多项式 有理数域上的多项式简称有理有理数域上的多项式简称有理系数多项式系数多项式. .本节我们讨论有理系本节我们讨论有理系数多项式的可约性以及有理系数多数多项式的可约性以及有理系数多项式的有理根的求法项式的有理根的求法. . 一、有理系数多项式的可约性一、有理系数多项式的可约性 引理引理2.16（高斯高斯(Gauss)引理）引理） 两两个本原多项个本原多项式的乘积式的乘积仍是本原多项式仍是本原多项式.定理定理2.17（艾森施艾森施坦因坦因（Eisenstein）判别法判别法）设设 是一个整是一个整系数多项式系数多项式. 如果有如果有一个素数一个素数

2、 使得使得则则 在有理数域在有理数域上不可约上不可约 推论推论2.172.17 有理数域上有理数域上存在任意次的存在任意次的不可约多项式不可约多项式. . Eisenstein判别法是判断不可约的充分条件，而判别法是判断不可约的充分条件，而 非必要条件非必要条件注意：注意：也就是说，如果一个整系数多项式也就是说，如果一个整系数多项式不满足不满足Eisenstein判别判别法的条件法的条件，则它可能是可约的，则它可能是可约的，也可能是不可约的也可能是不可约的 有些整系数多项式有些整系数多项式 不能直接用不能直接用Eisenstein判别法来判别法来判断其判断其是否可约，此时可考虑用适当的是否可约

3、，此时可考虑用适当的代换代换 使使 满足满足Eisenstein判别判别法的条件法的条件，从而来判定，从而来判定原多项原多项式式不可不可约约对于某些整系数多项式对于某些整系数多项式来说，作适当线性代换后来说，作适当线性代换后再用再用Eisenstein判别法判定它是否可约判别法判定它是否可约是个可行的是个可行的多项式无论作怎样的代换都不能多项式无论作怎样的代换都不能 使使 满足满足Eisenstein判别判别法法的条件（其中的条件（其中 说明说明：办法，但未必总是凑效的也就是说办法，但未必总是凑效的也就是说，存在，存在 都是整数，都是整数， 二、有理系数多项式的有理根的求法二、有理系数多项式的有理根的求法定理定理2.19 设设是一个整是一个整系数多项式系数多项式. 如果有理数如果有理数 是是的一个根，的一个根，这里里u，v是互素的整数是互素的整数，则（i）推论推论2.19.1 设设(i)(ii)(ii) 推推论2.19.2 最高次最高次项系数系数为1的整系数多的整系数多项式的有理根一定是整数，并且是常数式的有理根一定是整数，并且是常数项的因数的因数. 分析：分析： 1. 先找出先找出 f(x)所有可能的有理根；所有可能的有理根； 2. 利用利用综合除法合除法检验哪个是哪个是f(x)的根的根.如果如果f(x)的次数不高，也可直接代入多的次数不高，也可直接代入多项式式进行行检验.