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1、回顾回顾l第三类边界条件下非稳态导热过程受内外换第三类边界条件下非稳态导热过程受内外换热强度相对大小影响热强度相对大小影响: 毕渥数内外热阻之毕渥数内外热阻之比比 Bi无穷，无穷，Bi为零，为零，Bi为有限大小。为有限大小。lBi趋于趋于0，归结为零维问题集总参数法：，归结为零维问题集总参数法：判判断准则、方程建立、时间常数、付立叶数断准则、方程建立、时间常数、付立叶数l第三类边界条件下无内热源、导热系数为常第三类边界条件下无内热源、导热系数为常数的数的1维非稳态导热是有分析解：维非稳态导热是有分析解：方程建立、方程建立、边界条件、分析解适用范围、海斯勒图边界条件、分析解适用范围、海斯勒图。4
2、.5 二维及三维非稳态导热二维及三维非稳态导热 本节讨论：利用一维非稳态导热的诺谟图求解二维、三维非稳态导热问题。见教材p.724.5 多维非稳态导热的乘积解一、无限长方柱体 无限长方柱体可看成是由两块无限大平板垂直相交而形成的，其无量纲过余温度可表示成厚度分别为 、 的无限大平板的分析解的乘积。用下标P1表示 Plate 1；P2表示 Plate 2，则：定义：为无量纲过余温度。二、乘积解的证明1. 问题长方柱体的截面如图。初始温度 ，置于 的流体中，换热系数为 。鉴于温度场是对称的，只需考虑 阴影线截面。2主控方程初始条件边界条件 I 外部边界条件（表面换热边界处导热）（表面换热边界处导热
3、）边界条件 II 对称边界条件（温度不随坐标变化）（温度不随坐标变化）3等价问题如果无量纲过余温度 、 分别是处于与方柱体同样定解条件下厚度分别为 、 的无限大平板的分析解，则它们必须满足各自的导热微分方程式及定解条件。即：厚 的无限大平板厚 的无限大平板4证明式(G) 等价于式(4-23)。(1) 先证明式(E) 满足式(A) 。将(G)式代入(A)式的左右端，得：右端 左端将左端减去右端，得由由(a)式知式知 = 0由由(e)式知式知 = 0 这就证明了 满足导热微分方程式(A)(2) 证明式(G) 满足初始条件式(B) 。由(b)式、(f)式： 证毕。所以 也满足初始条件式(B)。由(c
4、)式知=0(3) 证明式(G) 满足边界条件式(C) 。将式(G) 代入式(C) 左端，并注意式(c) ：=(C) 证毕(5) 证明式(G) 满足边界条件式(E) 。将式(G) 代入式(E) 左端，并注意到式(d) ：(4) 同理，可证明式(G) 满足边界条件式(D) 。由(d)式知=0=(E) 证毕(6) 同理，可证明式(G) 满足边界条件式(F) 。 这样，我们证明了 确实是上述无限长方柱体导热微分方程的解。三、短方柱体（三维）= 用三个一维解的乘积表示。四、短圆柱体（二维）五、适用范围l由几个一维问题解的乘积得到多维问题解的方法，仅适用于齐次边界条件，及物体初始温度为常数或能表示成单个空
5、间变量函数乘积，如：齐次问题非齐次问题4.5 多维非稳态导热的乘积解所谓非齐次，即：函数 与 不以与温度相乘的形式出现。4.5 多维非稳态导热的乘积解一般，乘积解可用于： 第三类边界条件，且 第一类边界条件 ，且 4.7 不同形状物体加热或冷却速度的比较1.忽略内阻（忽略内阻（ ）集总参数法集总参数法4.7 不同形状物体加热或冷却速度的比较2.忽略外阻（忽略外阻（ ）1无限大平板无限大平板2无限长正方柱体无限长正方柱体3无限长圆柱体无限长圆柱体4立方体立方体5长度等于直径的柱体长度等于直径的柱体6球球4.8 集中热源作用下的非稳态导热4.8 集中热源作用下的非稳态导热简化为：简化为：4.8 集
6、中热源作用下的非稳态导热初始和边界条件初始和边界条件4.8 集中热源作用下的非稳态导热假定假定s s为微小量：为微小量：4.8 集中热源作用下的非稳态导热Q Q为某非零定值：为某非零定值：半无限大平板：半无限大平板：4.8 集中热源作用下的非稳态导热移动热源移动热源坐标变换坐标变换4.8 集中热源作用下的非稳态导热 叠叠加加原原理理：若若干干个个不不相相干干的的热热源源同同时时作作用用或或先先后后作作用用时时，物物体体上上某某点点的的温温度度等等于于各各独立热源对该点产生温度的叠加总和。独立热源对该点产生温度的叠加总和。物理基础：物理基础：n连续热源可看作是无数个瞬时热源在不同瞬间的连续热源可
7、看作是无数个瞬时热源在不同瞬间的共同作用；共同作用；n移动热源可移动热源可看作是无数个瞬时热源在不同瞬间不看作是无数个瞬时热源在不同瞬间不同位置的共同作用。同位置的共同作用。例例4-1 一一温温度度计计的的水水银银泡泡呈呈圆圆柱柱形形，长长20mm，内内径径为为4mm，初初始始温温度度为为t0，今今将将其其插插入入到到温温度度较较高高的的储储气气罐罐中中测测量量气气体体温温度度。设设水水银银泡泡同同气气体体间间的的对对流流换换热热表表面面传传热热系系数数h=11.63W/(m2K)，水水银银泡泡一一层层薄薄玻玻璃璃的的作作用用可可以以忽忽略略不不计计，试试计计算算此此条条件件下下温温度度计计的
8、的时时间间常常数数，并并确确定定插插入入5min后后温温度度计计读读数数的的过过余余温温度度为为初初始始过过余余温温度度的的百百分分之之几几？水水银银的的物物性性参参数数如如下下:例例4-1解：首先检验是否可用集总参数法。因水银解：首先检验是否可用集总参数法。因水银泡柱体的上端面不直接受热，故：泡柱体的上端面不直接受热，故：例例4-1时间常数计算：时间常数计算： 结结论论：水水银银温温度度计计测测量量流流体体温温度度，必必须须在在被被测测流流体体中中放放置置足足够够长长时时间间；对对于于非非稳稳态态流流体体温温度度测测量量，要要选选择择时时间间常常数数很小的感温元件很小的感温元件傅立叶数：傅立
9、叶数：例例4-2 有有一一直直径径为为400mm的的钢钢锭锭，初初温温t t0 020C20C，将将它它置置于于炉炉温温为为900C900C的的炉炉中中加加热热，试试计计算算加加热热到到表表面面温温度度为为750C750C时时需需要要的的时时间间。假假设设钢锭可近似地视为无限长圆柱钢锭可近似地视为无限长圆柱例例4-2分析：第三类边界条件下的非稳态导热问题，分析：第三类边界条件下的非稳态导热问题，需要查表需要查表P67P67，图，图4-104-10：P68P68，图，图4-114-11：已知：已知：解：解：例例4-2查图查图4-114-11得：得：又有：又有：所以：所以：查图查图4-104-10
10、得：得：例例4-3 一一大大平平板板型型钢钢铸铸件件在在地地坑坑中中造造型型，浇浇铸铸前前型型砂砂温温度度为为20C。设设浇浇铸铸在在很很短短时时间间内内完完成成，并并且且浇浇铸铸后后铸铸件件表表面面温温度度一一直直维维持持在在其其凝凝固固温温度度1450C，试试计计算算离离铸铸件件底底面面80mm处处浇浇铸铸后后2h的的温温度度。型型砂砂热热扩扩散散率率为为0.89e-6m2/s解解：把把铸铸件件底底面面以以下下砂砂型型中中的的非非稳稳态态导导热热过过程程按按第第一一类类边边界界条条件件下下半半无无限限大大物物体体导热问题来处理，有：导热问题来处理，有：例例4-3由由P209P209，附录，
11、附录1010得：得：例例4-4 一一直直径径为为10mm的的固固体体球球，被被均均匀匀加加热热到到450C，然然后后进进行行两两步步冷冷却却：先先把把它它置置于于25C的的空空气气中中缓缓慢慢冷冷却却 ，到到球球中中心心温温度度下下降降到到 350C， 此此 阶阶 段段 的的 表表 面面 换换 热热 系系 数数 为为10W/(m2K)；然然后后放放于于25C的的水水中中快快速速冷冷却却，到到球球中中心心温温度度降降到到50C，此此阶阶段段的的表表面面换换热热系数为系数为6000W/(m2K)W/(m2K)。球体物性为常数，。球体物性为常数， 试试确确定定每每一一阶阶段段冷冷却却所所需需要要的的时时间间及及该该阶阶段球体所释放的热量。段球体所释放的热量。例例4-4解：解：第一阶段：第一阶段：可用集总参数法：可用集总参数法：例例4-4第二阶段：第二阶段：由由P69P69，表，表4-134-13得：得：( (注意表中注意表中BiBi的表示方法的表示方法) )例例4-4由由P70P70，表，表4-154-15得：得：( (注意表中注意表中BiBi的表示方法的表示方法) )由由P65P65，公式，公式4-204-20得：得：
