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1、信号与线性系统信号与线性系统第第第第 5 讲讲讲讲教材位置教材位置教材位置教材位置: : 第第3 3章章 连续信号的正交分解连续信号的正交分解 3.4-3.4-3.53.5内容概要内容概要内容概要内容概要: : 周期信号的频谱，非周期信号的频周期信号的频谱，非周期信号的频谱，傅里叶变换谱，傅里叶变换2024/8/28信号与线性系统第5讲2开讲前言开讲前言-前讲回顾前讲回顾n n函数分解与正交函数集函数分解与正交函数集函数分解与正交函数集函数分解与正交函数集n矢量分解与正交矢量空间矢量分解与正交矢量空间n正交函数集的定义正交函数集的定义,正交函数集的完备性正交函数集的完备性n函数在正交函数集的分
2、解函数在正交函数集的分解n复变正交函数集的定义复变正交函数集的定义n三角、指数函数集构成正交函数集三角、指数函数集构成正交函数集n n信号表示为傅立叶级数信号表示为傅立叶级数信号表示为傅立叶级数信号表示为傅立叶级数n三角傅立叶级数，三角傅立叶级数，n信号表示为三角傅立叶级数的分量表示信号表示为三角傅立叶级数的分量表示n信号可表示为傅立叶级数的条件信号可表示为傅立叶级数的条件n指数傅立叶级数，复振幅系数，以及与三角级数系数的指数傅立叶级数，复振幅系数，以及与三角级数系数的关系关系n关于信号用傅立叶级数表示的几点说明关于信号用傅立叶级数表示的几点说明n物理意义、正交函数集的范畴、被表达函数的周期性
3、物理意义、正交函数集的范畴、被表达函数的周期性2024/8/28信号与线性系统第5讲3开讲前言开讲前言-本讲导入本讲导入n n信号表示为傅里叶级数，即信号可由不同频率的正信号表示为傅里叶级数，即信号可由不同频率的正信号表示为傅里叶级数，即信号可由不同频率的正信号表示为傅里叶级数，即信号可由不同频率的正弦信号加权构成弦信号加权构成弦信号加权构成弦信号加权构成n n要知道信号由哪些频率的正弦信号组成，知道其加要知道信号由哪些频率的正弦信号组成，知道其加要知道信号由哪些频率的正弦信号组成，知道其加要知道信号由哪些频率的正弦信号组成，知道其加权值，这就是关于信号的频谱问题权值，这就是关于信号的频谱问题
4、权值，这就是关于信号的频谱问题权值，这就是关于信号的频谱问题n n频谱：信号由不同频率的信号构成，各个频率信号频谱：信号由不同频率的信号构成，各个频率信号频谱：信号由不同频率的信号构成，各个频率信号频谱：信号由不同频率的信号构成，各个频率信号的幅度。的幅度。的幅度。的幅度。n n信号的频谱是信号的重要物理概念信号的频谱是信号的重要物理概念信号的频谱是信号的重要物理概念信号的频谱是信号的重要物理概念n n对周期信号进行傅里叶级数展开的同时，得到该周对周期信号进行傅里叶级数展开的同时，得到该周对周期信号进行傅里叶级数展开的同时，得到该周对周期信号进行傅里叶级数展开的同时，得到该周期信号的频谱。期信
5、号的频谱。期信号的频谱。期信号的频谱。n n本讲学习周期信号的频谱分析、对称周期信号的频本讲学习周期信号的频谱分析、对称周期信号的频本讲学习周期信号的频谱分析、对称周期信号的频本讲学习周期信号的频谱分析、对称周期信号的频谱分析、非周期信号的频谱分析、傅里叶变换。谱分析、非周期信号的频谱分析、傅里叶变换。谱分析、非周期信号的频谱分析、傅里叶变换。谱分析、非周期信号的频谱分析、傅里叶变换。2024/8/28信号与线性系统第5讲43.4 周期信号的频谱周期信号的频谱n n1 1、周期方波频谱分析、周期方波频谱分析、周期方波频谱分析、周期方波频谱分析110T/2Ttf(t)2024/8/28信号与线性
6、系统第5讲53.4 周期信号的频谱周期信号的频谱n n周期方波信号频谱分周期方波信号频谱分析析n离散性频谱是不连离散性频谱是不连续的线条。续的线条。n谐波性线条只出现谐波性线条只出现在谐波位置。在谐波位置。n收敛性谱线高度为收敛性谱线高度为该谐波的振幅，总趋该谐波的振幅，总趋势是收敛的势是收敛的2024/8/28信号与线性系统第5讲63.4 周期信号的频谱周期信号的频谱n n2 2、周期性矩形脉冲函数、周期性矩形脉冲函数、周期性矩形脉冲函数、周期性矩形脉冲函数频谱分析频谱分析频谱分析频谱分析n脉冲幅度为脉冲幅度为An脉冲宽度为脉冲宽度为n脉冲重复脉冲重复 周期周期Tn一个周期内表达式一个周期内
7、表达式n展开为指数傅里叶级数展开为指数傅里叶级数n复振幅表示为复振幅表示为f(t)A-T0T周期性矩形脉冲信号周期性矩形脉冲信号tA02024/8/28信号与线性系统第5讲73.4 周期信号的频谱周期信号的频谱n n直流分量直流分量直流分量直流分量n nNN次谐波振幅次谐波振幅次谐波振幅次谐波振幅n n振幅与振幅与振幅与振幅与/T/T相关相关相关相关抽样抽样函数函数 2024/8/28信号与线性系统第5讲83.4 周期信号的频谱周期信号的频谱n n频谱作图频谱作图n抽样函数抽样函数sa(x)n令令T=5 ,在在n=0,n=1,n=2,，n求求A0、A1、A2各次谐波振幅。各次谐波振幅。n用相应
8、长度线段代表用相应长度线段代表,并按频率高并按频率高低排列，得低排列，得振幅频谱。振幅频谱。n三种振幅频谱表示方式三种振幅频谱表示方式n复数振幅复数振幅Ann振幅频谱振幅频谱An=|An|n指数级数系数指数级数系数CnSa(x)Sa(x) 0 2 0 2 A An n0 0 2/ 4/ 2/ 4/ 0 0 2/ 4/ 2/ 4/ |A|An n| |C Cn n0 0 2/ 4/ 2/ 4/ 2024/8/28信号与线性系统第5讲93.4 周期信号的频谱周期信号的频谱n n频谱图说明频谱图说明n复数振幅复数振幅An一般为复函数，当一般为复函数，当An为实函数时可为实函数时可用幅度正、负表示相位
9、为用幅度正、负表示相位为0和和，形成幅度谱和，形成幅度谱和相位谱合一，否则就必须分解为振幅频谱和相相位谱合一，否则就必须分解为振幅频谱和相位频谱表示；位频谱表示；n振幅频谱振幅频谱An=|An|为实数，仅仅对幅度描述；为实数，仅仅对幅度描述；n指数级数系数指数级数系数Cn是复函数，引入了负频率变量，是复函数，引入了负频率变量，同时，振幅幅度减半。同时，振幅幅度减半。2024/8/28信号与线性系统第5讲103.4 周期信号的频谱讨论周期信号的频谱讨论n /T对频谱结构的影响对频谱结构的影响n 不变而不变而T增大时：增大时：n谱线变密。谱线变密。因因 =2 /T，故，故T ；n谱线高度减小。谱线
10、高度减小。An与与T成反成反比比nT 不变而不变而 减小时减小时 n振幅过零点谐波频率提振幅过零点谐波频率提高。高。包络形状的变化包络形状的变化n整个频谱振幅相应减小，整个频谱振幅相应减小，收敛速度降低。收敛速度降低。n 0 , Tn谱线密集成连续谱线密集成连续n振幅趋近零且平坦无过振幅趋近零且平坦无过零点零点n这就是冲激函数的频谱这就是冲激函数的频谱02A5An n=0 n= n= n=0n 2 (a) T=5 4 6 0A5Ann2 (b) T=10 2 4 6 0A10Ann4 (c) T=20 2 4 6 2024/8/28信号与线性系统第5讲113.4 周期信号的频谱讨论周期信号的频
11、谱讨论n频带宽度频带宽度定义：定义：n对于一个信号，从零频率开始到需要考虑的最高分量的对于一个信号，从零频率开始到需要考虑的最高分量的这一频率范围，是信号所占有的频带宽度，简称这一频率范围，是信号所占有的频带宽度，简称频宽频宽。n一般以振幅第一个过零点为频带宽度。一般以振幅第一个过零点为频带宽度。n若振幅没有过零点，则以振幅下降到最高幅度的若振幅没有过零点，则以振幅下降到最高幅度的10%所所对应的频率点为频宽。对应的频率点为频宽。n信号的时间特性和频率特性间的关系信号的时间特性和频率特性间的关系n时间函数中变化较快的信号必定具有较宽的频带。时间函数中变化较快的信号必定具有较宽的频带。2024/
12、8/28信号与线性系统第5讲123.4 周期信号的频谱周期信号的频谱n n3 3、对称信号的傅里叶级数、对称信号的傅里叶级数、对称信号的傅里叶级数、对称信号的傅里叶级数n四种对称关系四种对称关系n偶函数偶函数 ：对称纵轴：对称纵轴n奇函数奇函数 ：对称原点：对称原点n奇谐函数奇谐函数 ：半周期镜像：半周期镜像n偶谐函数：半周期重叠偶谐函数：半周期重叠n任意函数任意函数f(t)的奇、偶分量表示法：的奇、偶分量表示法：2024/8/28信号与线性系统第5讲133.4 周期信号的频谱周期信号的频谱n n对称函数频谱分析对称函数频谱分析n周期函数展开为三角傅里叶级数周期函数展开为三角傅里叶级数 偶函数
13、项偶函数项 奇函数项奇函数项n余弦函数为偶函数，正弦函数为奇函数余弦函数为偶函数，正弦函数为奇函数n偶函数只有直流分量和余弦项偶函数只有直流分量和余弦项n奇函数只有正弦项奇函数只有正弦项n奇谐函数只有奇数谐波项奇谐函数只有奇数谐波项n偶谐函数只有偶数谐波项偶谐函数只有偶数谐波项2024/8/28信号与线性系统第5讲143.4 周期信号的频谱周期信号的频谱n n偶函数三角级数表达式偶函数三角级数表达式偶函数三角级数表达式偶函数三角级数表达式nan是实数是实数nbn0n n偶函数指数级数表达式偶函数指数级数表达式偶函数指数级数表达式偶函数指数级数表达式nCn是实数是实数n n举例：周期三角函数举例
14、：周期三角函数举例：周期三角函数举例：周期三角函数-T/2Ef(t)T/2t2024/8/28信号与线性系统第5讲153.4 周期信号的频谱周期信号的频谱n n奇函数三角级数表达式奇函数三角级数表达式奇函数三角级数表达式奇函数三角级数表达式nan a0 0nbn是实数是实数n n奇函数指数级数表达式奇函数指数级数表达式奇函数指数级数表达式奇函数指数级数表达式nCn是虚数是虚数n n举例：周期锯齿波函数举例：周期锯齿波函数举例：周期锯齿波函数举例：周期锯齿波函数E/2-E/2T/2 -T/2f(t)t 02024/8/28信号与线性系统第5讲163.4 周期信号的频谱周期信号的频谱n n奇谐函数
15、特征奇谐函数特征奇谐函数特征奇谐函数特征l沿时间轴移半个周期；沿时间轴移半个周期；l 符号反转；符号反转；l 波形不变；波形不变；移动半周期横轴镜像对称移动半周期横轴镜像对称移动半周期横轴镜像对称移动半周期横轴镜像对称n n奇谐函数傅里叶级数奇谐函数傅里叶级数奇谐函数傅里叶级数奇谐函数傅里叶级数n偶次谐波系数为偶次谐波系数为0a2n=b2n=0T/2-T/20t2024/8/28信号与线性系统第5讲173.4 周期信号的频谱周期信号的频谱n n偶谐函数特征偶谐函数特征偶谐函数特征偶谐函数特征l沿时间轴移半个周期；沿时间轴移半个周期；l波形不变；波形不变；半周期重叠半周期重叠半周期重叠半周期重叠
16、l l偶谐函数傅里叶级数偶谐函数傅里叶级数偶谐函数傅里叶级数偶谐函数傅里叶级数l奇次谐波系数为奇次谐波系数为0l可看成可看成T1=T/2的周期函数的周期函数l作为周期作为周期T分析，系数为分析，系数为l作为周期作为周期T1分析，系数为分析，系数为 f(t)T/2-T/20t-TT2024/8/28信号与线性系统第5讲183.4 周期信号的频谱举例周期信号的频谱举例n n利用傅立叶级数的对称性判断信号含有的频率分量利用傅立叶级数的对称性判断信号含有的频率分量利用傅立叶级数的对称性判断信号含有的频率分量利用傅立叶级数的对称性判断信号含有的频率分量函数为周期偶函数且奇谐函数函数为周期偶函数且奇谐函数
17、只含基波和奇次谐波的余弦分量只含基波和奇次谐波的余弦分量函数为周期奇函数且奇谐函数函数为周期奇函数且奇谐函数只含基波和奇次谐波的正弦分量只含基波和奇次谐波的正弦分量T/2-T/2T/2-T/22024/8/28信号与线性系统第5讲193.4 周期信号的频谱举例周期信号的频谱举例函数为偶谐函数函数为偶谐函数含有直流分量和偶次谐波分量含有直流分量和偶次谐波分量函数为奇函数函数为奇函数只含有正弦分量只含有正弦分量函数为偶函数且偶谐函数函数为偶函数且偶谐函数含有直流分量和偶次余弦分量含有直流分量和偶次余弦分量T/2-T/2T/2-T/2T/2-T/22024/8/28信号与线性系统第5讲203.4 周
18、期信号的频谱周期信号的频谱对称情况对称情况偶函数偶函数f(t)=f(-t)奇函数奇函数f(t)=-f(-t)性质性质只有常数项只有常数项及余弦项及余弦项a0an (n 0)n=1,2,3,bn0只有正弦项只有正弦项00 偶谐函数偶谐函数f(t)=f(t) 只有偶次谐波只有偶次谐波只有奇次谐波只有奇次谐波n=2，4，6，n=1, 2, 3, n=2，4，6，奇谐函数奇谐函数f(t)=-f(t)0n=1，3，5，n=1，3，5，2024/8/28信号与线性系统第5讲213.5傅里叶变换与非周期信号的频谱傅里叶变换与非周期信号的频谱n n1、思路、思路n讨论周期脉冲信号的频谱函数时候发现周期无穷大讨
19、论周期脉冲信号的频谱函数时候发现周期无穷大成为非周期信号，频谱谱线密集变得连续，幅度收成为非周期信号，频谱谱线密集变得连续，幅度收缩为无穷小；缩为无穷小；n如何表示整体无穷小但仍有相对振幅差别的非周期如何表示整体无穷小但仍有相对振幅差别的非周期信号频谱？信号频谱？n通过对频谱的定义公式乘通过对频谱的定义公式乘T/2，可以保持振幅之间，可以保持振幅之间的相对大小关系，由此产生一个对非周期信号频谱的相对大小关系，由此产生一个对非周期信号频谱有意义的定义；有意义的定义；n考虑考虑T趋向无穷大，对于原信号傅里叶级数求和表达趋向无穷大，对于原信号傅里叶级数求和表达式进行积分转化，得到一个很有用途的新的定
20、义：式进行积分转化，得到一个很有用途的新的定义：傅里叶变换关系式傅里叶变换关系式傅里叶变换关系式傅里叶变换关系式2024/8/28信号与线性系统第5讲223.5傅里叶变换与非周期信号的频谱傅里叶变换与非周期信号的频谱n n2 2、傅里叶变换定义、傅里叶变换定义、傅里叶变换定义、傅里叶变换定义n定义定义f(t)为为fT(t)在在T 的非周的非周期函数期函数n周期函数周期函数fT(t)的复振幅表示为的复振幅表示为n两边乘两边乘T，当，当T时，极限量时，极限量用符号用符号F(j )表示；表示；n当当T时，时， 趋于无穷小用趋于无穷小用d 表示，表示， n 趋于趋于 ；nF(j )的量纲为：单位频带的
21、振的量纲为：单位频带的振幅，幅，称其为原函数称其为原函数f(t)的的频谱密频谱密度函数度函数。2024/8/28信号与线性系统第5讲233.5傅里叶变换与非周期信号的频谱傅里叶变换与非周期信号的频谱nF(j )表示为复函数表示为复函数n幅度频谱幅度频谱|F(j)|n相位频谱相位频谱 ()n复函数的共轭性复函数的共轭性 因为因为因为因为 n若若f(t)为实函数，则为实函数，则F(j )和和F(-j )共轭，有下列结果共轭，有下列结果n F*(j ) = F(-j )n进而推导，由于进而推导，由于 F(j ) = | F(j )|e -j ( )n 则有则有 F* (j ) =|F(j )|e j
22、 ( ) F(-j ) =|F(-j )|e -j (- )n上面两个复函数相等，则函数的模和相角都相等，有下面等式上面两个复函数相等，则函数的模和相角都相等，有下面等式n | F(j )| = | F(-j )| 和和 ( ) = - (- )n结论：结论： | | F(jF(j )|)|是是是是 的偶函数，的偶函数，的偶函数，的偶函数， ( ( ) )是是是是 的奇函数。的奇函数。的奇函数。的奇函数。2024/8/28信号与线性系统第5讲243.5傅里叶变换与非周期信号的频谱傅里叶变换与非周期信号的频谱n n用用用用F(j )表达表达f(t)当当当当T T ，傅里叶变换式傅里叶变换式傅里叶
23、变换式傅里叶变换式正正反反2024/8/28信号与线性系统第5讲253.5傅里叶变换与非周期信号的频谱傅里叶变换与非周期信号的频谱n n傅里叶变换存在的条件傅里叶变换存在的条件傅里叶变换存在的条件傅里叶变换存在的条件n非周期信号进行傅里叶积分也要满足狄利克雷条非周期信号进行傅里叶积分也要满足狄利克雷条件。件。（有限间断点、有限极值和积分收敛）（有限间断点、有限极值和积分收敛）n绝对可积条件的积分表达式，为以下积分收敛绝对可积条件的积分表达式，为以下积分收敛n这是一个充分条件，不是必要条件；这是一个充分条件，不是必要条件；n后面要介绍的周期函数的傅里叶变换表现出：函后面要介绍的周期函数的傅里叶变
24、换表现出：函数虽然不是绝对可积，但存在傅里叶变换。数虽然不是绝对可积，但存在傅里叶变换。2024/8/28信号与线性系统第5讲263.5傅里叶变换与非周期信号的频谱傅里叶变换与非周期信号的频谱n n2 2、典型非周期信号的傅、典型非周期信号的傅、典型非周期信号的傅、典型非周期信号的傅里叶变换分析里叶变换分析里叶变换分析里叶变换分析n宽度宽度 ，幅度，幅度A的单脉的单脉冲信号冲信号（门函数）（门函数）n傅里叶变换傅里叶变换tf (t)A0f(t) =A | t | /2 F(j)F(j) AA 0 0 2024/8/28信号与线性系统第5讲273.5傅里叶变换与非周期信号的频谱傅里叶变换与非周期
25、信号的频谱n n分析分析n包络外形是抽样函数，幅度是包络外形是抽样函数，幅度是A 乘积乘积n频谱具有收敛性，即信号的大部分能量都集中在频谱具有收敛性，即信号的大部分能量都集中在低频段；低频段；n过过0点在点在 为周期对应的角频率的整数倍位置为周期对应的角频率的整数倍位置n与周期脉冲频谱的异同与周期脉冲频谱的异同n包络外形一致，包络外形一致，n原来以周期原来以周期T的角频率作为基波，只在基波与谐波有值的角频率作为基波，只在基波与谐波有值n现在是连续函数现在是连续函数n当当 减小时，频谱的收敛速度变慢，即脉宽与频宽减小时，频谱的收敛速度变慢，即脉宽与频宽成反比成反比n当当 趋近趋近0时，单脉冲近似
26、为冲激函数，此时谱线时，单脉冲近似为冲激函数，此时谱线趋近水平，幅度为脉冲面积，即趋近水平，幅度为脉冲面积，即A 乘积。可预见乘积。可预见冲激函数的傅里叶变换等于冲激函数的傅里叶变换等于1。2024/8/28信号与线性系统第5讲28本讲小结本讲小结n n周期信号的频谱周期信号的频谱周期信号的频谱周期信号的频谱n周期方波的频谱分析，周期方波的频谱分析，n频谱的离散性、谐波性、收敛性频谱的离散性、谐波性、收敛性n周期脉冲的频谱分析周期脉冲的频谱分析n包络外形抽样函数包络外形抽样函数n脉冲宽度与周期对谱线的影响脉冲宽度与周期对谱线的影响n周期无限大，非周期单脉冲情况的谱线周期无限大，非周期单脉冲情况的谱线n对称周期函数的谱线成分对称周期函数的谱线成分n奇函数、偶函数、奇谐函数、偶谐函数奇函数、偶函数、奇谐函数、偶谐函数n n非周期信号的频谱非周期信号的频谱非周期信号的频谱非周期信号的频谱n傅里叶变换傅里叶变换n门函数傅里叶变换分析门函数傅里叶变换分析傅里叶变换式傅里叶变换式傅里叶变换式傅里叶变换式正正反反信号与线性系统信号与线性系统第第第第 5 次课外作业次课外作业次课外作业次课外作业教材习题教材习题教材习题教材习题: : 3.83.8、 3.113.11、 3.133.13、
