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1、开放性开放性 与探究性与探究性问题求解问题求解2008年湖北黄冈中学年湖北黄冈中学第一课时：第一课时：范围与轨迹的探究：范围与轨迹的探究： 课前导引课前导引 第一课时：第一课时：范围与轨迹的探究：范围与轨迹的探究： 课前导引课前导引 第一课时：第一课时：范围与轨迹的探究：范围与轨迹的探究： 课前导引课前导引 B第一课时：第一课时：范围与轨迹的探究：范围与轨迹的探究： 解析解析 解析解析 答案答案 D 考点搜索考点搜索 考点搜索考点搜索 1. 探索点的位置及参量的取值范围往探索点的位置及参量的取值范围往往是综合已知条件和所学知识点，根据转往是综合已知条件和所学知识点，根据转化或数形结合的思想进行
2、探索，直到结论化或数形结合的思想进行探索，直到结论显然为止显然为止. 2. 在解决数列和恒成立的问题时，要在解决数列和恒成立的问题时，要根据特殊和一般的辩证思想，从特殊的个根据特殊和一般的辩证思想，从特殊的个体总结出一般的规律，对普遍的规律任何体总结出一般的规律，对普遍的规律任何个体都会满足个体都会满足. 链接高考链接高考 链接高考链接高考 例例11 链接高考链接高考 法一法一 例例11 法二法二 点评点评 从特殊的个体考察普遍的规律是从特殊的个体考察普遍的规律是高中阶段必须掌握的思维方式高中阶段必须掌握的思维方式, 本题先令本题先令x=0和和x=1得到得到sin 0, cos 0, 大大的缩
3、小了的大大的缩小了的考察范围考察范围, 为后面的解答提供的很大的方便为后面的解答提供的很大的方便. 而解法二通过换元而解法二通过换元, 使得式子更为规范使得式子更为规范. 例例22 解析解析 P1P2P3yxl1l2yxl1l2dyxl1l2dyxl1l2yxl1l2dyxl1l2yxl1l2dyxl1l2 例例3 3 在棱长为在棱长为a的正方体的正方体ABCDA1B1C1D1中，中，E、F分别是棱分别是棱BC、CD上的上的点，且点，且BECF (1) 当当E、F在何位置在何位置时，时，B1FD1E； (2) 当当E、F在何位置在何位置时三棱锥时三棱锥C1CEF的体积的体积取得最大值，并求此时
4、二取得最大值，并求此时二面角面角C1EFC的大小的大小 解析解析 点评点评 立体几何中的点的位置的探求立体几何中的点的位置的探求经常借助于空间向量，引入参数，综合已经常借助于空间向量，引入参数，综合已知和结论列出等式，解出参数知和结论列出等式，解出参数. 这是立体这是立体几何中的点的位置的探求的常用方法几何中的点的位置的探求的常用方法. 例例44 解析解析 点评点评 本题是数列探究性问题，往本题是数列探究性问题，往往通过特殊的个体总结出一般的规律：往通过特殊的个体总结出一般的规律：(1) 要否定一个结论，只要通过前面几要否定一个结论，只要通过前面几项即可；项即可；(2) 的证明必须对每一项都要
5、的证明必须对每一项都要满足，所以要对第一项进行检验满足，所以要对第一项进行检验. 方法论坛方法论坛 方法论坛方法论坛 解决任何一个数学问题都是综合题解决任何一个数学问题都是综合题中的条件和结论运用适当的思维方式进中的条件和结论运用适当的思维方式进行探究，相对其他的问题更注重思维性行探究，相对其他的问题更注重思维性,主要有以下的思维方式：主要有以下的思维方式： 1. 将题中的已知和结论都看作条件将题中的已知和结论都看作条件,有机地结合，推导出要证的结论或求出有机地结合，推导出要证的结论或求出参量的范围参量的范围. 2. 利用特殊和一般，个体和总体的利用特殊和一般，个体和总体的辩证关系，通过个体来
6、发现普遍的规律辩证关系，通过个体来发现普遍的规律,再运用数学归纳法加以证明，或根据普再运用数学归纳法加以证明，或根据普遍的规律代入个体中，从而加强题目的遍的规律代入个体中，从而加强题目的条件，这样便于尽快解决问题条件，这样便于尽快解决问题. 3. 对于存在性问题的求解，应先假对于存在性问题的求解，应先假设存在，再综合题中所给的条件，要么设存在，再综合题中所给的条件，要么推出存在的范围，要么得出矛盾推出存在的范围，要么得出矛盾. 若得出若得出矛盾则说明不存在矛盾则说明不存在. 4. 条件或结论开放性问题，应发散条件或结论开放性问题，应发散自己的思维，结合所学的知识点进行分自己的思维，结合所学的知
7、识点进行分析，从而可寻找出所要补的条件和能得析，从而可寻找出所要补的条件和能得出的结论出的结论.第二课时：第二课时：存在性问题的探究：存在性问题的探究： 例例11第二课时：第二课时：存在性问题的探究：存在性问题的探究： 解析解析 第第(2)的探索体现了存在性问题的探索的探索体现了存在性问题的探索的基本方法，若存在则能够由条件推出，若不的基本方法，若存在则能够由条件推出，若不存在则会推出矛盾存在则会推出矛盾; 第第(3)是函数中的不等式问是函数中的不等式问题，往往会用到函数的单调性题，往往会用到函数的单调性. 点评点评 考点搜索考点搜索 1. 开放性问题的背景是同一个条件可开放性问题的背景是同一
8、个条件可推出很多个结论，或同一个结论可与有多推出很多个结论，或同一个结论可与有多个条件推出，所以解决这类问题时要发散个条件推出，所以解决这类问题时要发散自己的思维自己的思维; 2. 存在性问题是结论开放性的一种，存在性问题是结论开放性的一种，解决存在性问题往往假设存在，再综合题解决存在性问题往往假设存在，再综合题中所给的条件，要么推出存在的范围，要中所给的条件，要么推出存在的范围，要么得出矛盾么得出矛盾. 若得出矛盾则说明不存在若得出矛盾则说明不存在. 考点搜索考点搜索 D1ABCDA1B1C1NPM 例例22D1ABCDA1B1C1NPMyxQ 解析解析 D1ABCDA1B1C1NPMyxQ
9、D1ABCDA1B1C1NPMyxQ 本题是立体几何的位置确定的探本题是立体几何的位置确定的探索性问题：索性问题： (1) 一般是已知一般是已知P点的位置，求二面点的位置，求二面角，但在此已知二面角来确定角，但在此已知二面角来确定P的位置，的位置，可运用方程求解待定参数可运用方程求解待定参数. (2) 运用了：运用了：“要否定一个结论只需要否定一个结论只需寻找一个反例即可寻找一个反例即可”的思维方式的思维方式. 点评点评 已知已知A、B、C是长轴长为是长轴长为4的椭圆上的椭圆上的三点的三点, 点点A是长轴的一个端点是长轴的一个端点, BC过椭圆中过椭圆中心心O，且且 (1) 建立适当的坐标系，
10、求椭圆方程建立适当的坐标系，求椭圆方程.(2) 如果椭圆上有如果椭圆上有P、Q两点两点,使使PCQ的平分线的平分线垂直垂直AO, 证明证明: 存在实数存在实数使得使得 例例33 以以O为坐标原点为坐标原点, OA为为x轴建立直角轴建立直角坐标系坐标系, 则则A(2, 0), 设椭圆方程为设椭圆方程为 由对称性可知由对称性可知|OB|=|OC|, 又又|BC|=2|AC|, 则则|OC|=|AC|, 所以所以AOC为等腰直角三角形为等腰直角三角形,则点则点C的坐标为的坐标为(1, 1), 点点B的坐标为的坐标为(-1, -1), 将点将点C的的坐标代人椭圆方程得坐标代人椭圆方程得 故所求的椭圆方
11、程为故所求的椭圆方程为 解析解析 法一法一 (2) 由于由于PCQ的角平分线垂直于的角平分线垂直于OA, 不妨设不妨设PC的斜率为的斜率为k, 则则QC的斜率为的斜率为 k,因此因此PC、QC的直线方程分别为的直线方程分别为: () 因为点因为点C(1, 1)在椭圆上在椭圆上, 所以所以x=1是方程是方程()的解的解.所以直线所以直线PQ的斜率为的斜率为 因为因为A(2, 0), B(-1, -1), 所以所以 法二法二 由上述四式可得：由上述四式可得： 点评点评 (1) 的探究在知道是椭圆的情的探究在知道是椭圆的情况下运用了待定系数法况下运用了待定系数法, 注意先要建立适注意先要建立适当的坐
12、标系当的坐标系. (2) 属于存在性问题的探究属于存在性问题的探究, 先转化先转化结论结论,只需要证明直线只需要证明直线PQ与与AB平行平行, 证法证法一一: 以以PC的斜率为参数的斜率为参数, 运用化归的求出运用化归的求出PQ的斜率的斜率, 而证法二引入多个参量而证法二引入多个参量, 利用利用整体代值计算出整体代值计算出PQ的斜率，这种方法需的斜率，这种方法需要较强的观察和分析能力要较强的观察和分析能力. 是否存在实数是否存在实数a、b使得函数使得函数f(x)=ax+b对区间对区间0, 2内的任意实数内的任意实数x, 均有均有 例例44 是否存在实数是否存在实数a、b使得函数使得函数f(x)=ax+b对区间对区间0, 2内的任意实数内的任意实数x, 均有均有 例例44 解析解析
