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1、1.1.2 余弦定理1.1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法法；2.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题. .已知三角形的任意两角及其一边已知三角形的任意两角及其一边； 问题问题1 1 运用正弦定理能解怎样的三角形？运用正弦定理能解怎样的三角形？ 已知三角形的任意两边与其中一边的对角已知三角形的任意两边与其中一边的对角. . 问题问题2 2 如果已知三角形的两边及其夹角，如果已知三角形的两边及其夹角，能解这个三能解这个三角形吗？角形吗？根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、根
2、据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形形状完全确定的三角形. .从量化的角度来看，如何从已知的两边和它们的夹从量化的角度来看，如何从已知的两边和它们的夹角求三角形的另一边和两个角？角求三角形的另一边和两个角？这就是我们这节课要讲的内容这就是我们这节课要讲的内容. .探究一探究一 如何从已知两边和它们的夹角求三角形的另一如何从已知两边和它们的夹角求三角形的另一边边？用正弦定理试求，发现因用正弦定理试求，发现因A A、B B均未均未知，所以较难求边知，所以较难求边c.c.由于涉及边长问题，从而可以由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题考虑用向量来研究这个问题.
3、.即：如图，在即：如图，在ABCABC中，设中，设BC=a, AC=b, AB=c.BC=a, AC=b, AB=c.已知已知a, ba, b和和C C，求边，求边c. c. B BC CA Ab ba ac cABC. . ., , ,三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即一、余弦定理：一、余弦定理：注：注：利用余弦定理，可以从已知的两边及其夹角求出三角利用余弦定理，可以从已知的两边及其夹角求出三角形的第三条边形的第三条边. ., , ,. .探究二探究二 这
4、个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？式子中共有式子中共有4 4个量个量. .已知其中三个量，可以求出第四个量，已知其中三个量，可以求出第四个量，当然能由三边求出一角当然能由三边求出一角. .二、余弦定理的推论：二、余弦定理的推论：注注: : 由上述推论由上述推论, , 可以由三角形的三条边求出三角形的可以由三角形的三条边求出三角形的三个角三个角. ., , ,. .思考：思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，勾股定理指出了直角三角形中三边平方之
5、间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？何看这两个定理之间的关系？由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例弦定理的特例. .探究三探究三 余弦定理及其推论的基本作用是什么？余弦定理及其推论的基本作用是什么？已知三角形的任意两边及它们的夹角可以求出第三边；已知三角形的任意两边及它们的夹角可以求出第三边；已知三角形的三条边就可以求出其他角已知三角形的三条边就可以求出其他角. .例例1 1 在在ABCABC中，已知中，已知b=60cmb=60
6、cm，c=34cmc=34cm，A=41A=41，解三角形，解三角形（角度精确到（角度精确到1 1，边长精确到，边长精确到1cm1cm）. .解：解：方法一：方法一： 根据余弦定理，根据余弦定理， a a =b=b +c+c -2bccosA-2bccosA =60 =60 +34+34 -2-260603434cos41cos41o o 1 676.821 676.82 a41(cm)a41(cm)由正弦定理得，由正弦定理得，因为因为c c不是三角形中最大的边，所以不是三角形中最大的边，所以C C是锐角，利用计算器是锐角，利用计算器可得可得C33C33，B=180B=180o o-(A+C)
7、180-(A+C)180o o-(41-(41o o+33+33o o)=106)=106. . 根据余弦定理，根据余弦定理， a a=b=b+c+c-2bccosA-2bccosA =60 =60+34+34-2-260603434cos41cos41o o1 676.821 676.82 a41(cm)a41(cm)由余弦定理得由余弦定理得所以利用计算器可得所以利用计算器可得C33C33， B=180B=180o o-(A+C)180-(A+C)180o o-(41-(41o o+33+33o o)=106)=106. .方法二：方法二：一般地，在一般地，在“知三边及一角知三边及一角”要求
8、剩下的两个角时，要求剩下的两个角时，应先求最小的边所对的角应先求最小的边所对的角. .注意：注意：思考思考: :在解三角形的过程中，求某一个角时既可用正弦在解三角形的过程中，求某一个角时既可用正弦定理也可用余弦定理，两种方法有什么利弊呢？定理也可用余弦定理，两种方法有什么利弊呢？例例2 2 在在ABCABC中，已知中，已知a=134.6cma=134.6cm，b=87.8cmb=87.8cm，c=161.7cmc=161.7cm，解三角形（角度精确到解三角形（角度精确到11）. .解：解：由余弦定理的推论得：由余弦定理的推论得：；思考：思考：在已知三边时，一般先利用余弦定理求哪个角？在已知三边
9、时，一般先利用余弦定理求哪个角？然后用正弦定理还是继续用余弦定理求角？这两种方法然后用正弦定理还是继续用余弦定理求角？这两种方法有什么差别？有什么差别？ 在已知三边时，一般先利用余弦定理求两个较小的在已知三边时，一般先利用余弦定理求两个较小的角（大边对大角角（大边对大角, ,小边对小角），然后再由三角形内角和小边对小角），然后再由三角形内角和求第三角求第三角. .(1) a(1) a2.7cm2.7cm，b b3.6cm3.6cm，C C82.282.2o o；(2) b(2) b12.9cm12.9cm，c c15.4cm15.4cm，A A42.342.3o o. .1.1.在在ABCAB
10、C中，已知下列条件，解三角形中，已知下列条件，解三角形( (角度精确到角度精确到1 1o o, , 边长精确到边长精确到0.1cm):0.1cm):2.2.在在ABCABC中，已知下列条件，解三角形中，已知下列条件，解三角形( (角度精确到角度精确到1 1o o, , 边长精确到边长精确到0.1cm):0.1cm):(1) a(1) a7cm7cm，b b10cm10cm，c c6cm6cm；(2) a(2) a9.4cm9.4cm，b b15.9cm15.9cm，c c21.1cm.21.1cm.已知条件已知条件定理选用定理选用一般解法一般解法一边和二角一边和二角( (如如a,B,Ca,B,
11、C) )两边和夹角两边和夹角( (如如a,b,Ca,b,C) )两边和其中一两边和其中一边的对角边的对角( (如如a,b,Aa,b,A) )三边三边( (a,b,ca,b,c) )由由A+B+C=180A+B+C=180求角求角A,A,由正弦定理由正弦定理求出求出b b与与c.c.三、解三角形的四种基本类型：三、解三角形的四种基本类型：正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理由余弦定理求出第三边由余弦定理求出第三边c c，再由正弦定，再由正弦定理求出剩下的角理求出剩下的角. .正弦定理正弦定理由正弦定理求出角由正弦定理求出角B,B,再求角再求角C,C,最后最后求出求出 c c边边. .可有两解可有两解, ,一解或无解一解或无解. .余弦定理余弦定理先由余弦定理求出其中两个角先由余弦定理求出其中两个角, ,再利用内再利用内角和为角和为180180求出第三个角求出第三个角. .2. 2. 余弦定理的应用范围：余弦定理的应用范围： 1.1.余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；股定理是余弦定理的特例；已知三边求三角；已知三边求三角；已知两边及它们的夹角，求第三边已知两边及它们的夹角，求第三边. .自安于弱，而终于弱矣；自安于遇，而终于愚矣。 吕祖谦
