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1、3.3 3.3 函数的最大值和最小值及应用举例函数的最大值和最小值及应用举例 如果如果函数函数f (x)的最大的最大(小小)值在开区间值在开区间(a,b)内取得，则最内取得，则最大大最小者即为最小者即为f (x)在在a, b上的最小值。上的最小值。 求出函数在求出函数在(a, b)内的全部驻点和不可导点的函数值，内的全部驻点和不可导点的函数值， 而不可导点也可能是极值点，而不可导点也可能是极值点，内可导，则函数的最大值与最小值只可能在开区间内可导，则函数的最大值与最小值只可能在开区间(a,b)内，或者在区间的端点内，或者在区间的端点 x = a,x = b处取得。处取得。设函数设函数y = f
2、 (x)在闭区间在闭区间a,b上连续，上连续， 在开区间在开区间(a, b) 函数在开区间函数在开区间(a,b)内的极值点一定是函数的驻点，内的极值点一定是函数的驻点，(小小)值点一定是函数的极大值点一定是函数的极大(小小)值点，又因为可导值点，又因为可导 f (x) 在在 a, b上的最大值，上的最大值，由此，由此， 将它们与端点的将它们与端点的函数值函数值 f (a),f (b)加以比较，其中最大者即为加以比较，其中最大者即为一、闭区间上函数的最大值和最小值一、闭区间上函数的最大值和最小值1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点
3、的函数值,比比较出最大值及最小值。较出最大值及最小值。最大最大( (小小) )值的求法值的求法步骤步骤.,)(,)(与最小值存在与最小值存在上的最大值上的最大值在在上连续，则上连续，则在在若函数若函数baxfbaxf最大值最大值M = maxf (a), f (x1), f (x2), , f (xn), f (b)最小值最小值m = minf (a), f (x1), f (x2), , f (xn), f (b)其中其中 xi 为为 f (x)在在(a,b)内的所有驻点和不可导点。内的所有驻点和不可导点。即即例例1 1解解计算计算比较得比较得二、函数在某区间内可导且有唯一极二、函数在某区间
4、内可导且有唯一极值点的情形值点的情形 如果如果f(x)在一个区间在一个区间(有限或无限，开或闭有限或无限，开或闭)内可导且内可导且只有一个驻点只有一个驻点x0，并且这个驻点并且这个驻点x0是函数是函数f(x)的极值点，的极值点，那么，当那么，当f(x0)是极大值时，是极大值时，f(x0)就是就是f(x)在该区间上的最在该区间上的最大值；当大值；当f(x0)是极小值时，是极小值时，f(x0)就是就是f(x)在该区间上的最在该区间上的最小值小值 f(x0) Oa x0 b x yf(x ) y f(x0) Oa x0 b x yf(x ) y例例2 2解解显然：显然： 由于函数在定义域内有唯一极值
5、点，所以由于函数在定义域内有唯一极值点，所以函数的极大值就算函数的最大值函数的极大值就算函数的最大值. .所以最大值为：所以最大值为：三、具体应用举例三、具体应用举例 应当指出，实际问题中，往往根据问题的性质就可应当指出，实际问题中，往往根据问题的性质就可以断定函数以断定函数f(x)确有最大值或最小值，而且一定在定义确有最大值或最小值，而且一定在定义区间内部取得区间内部取得.这时如果这时如果f(x)在定义区间内部只有一个驻在定义区间内部只有一个驻点点x0，那么不必讨论那么不必讨论f(x0) 是否是极值，就可以断定是否是极值，就可以断定 f(x0)是最大值或最小值是最大值或最小值例例3 3 铁路
6、线上铁路线上AB段的距离为段的距离为100km.工厂工厂C距距A处为处为20km,AC垂直于垂直于AB为了运输需要，要在为了运输需要，要在AB线上选线上选定一点定一点D向工厂修筑一条公路已知铁路每公里货运向工厂修筑一条公路已知铁路每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比的运费与公路上每公里货运的运费之比3: :5为了使为了使货物从供应站货物从供应站B运到工厂运到工厂C的运费最省，问的运费最省，问D点应选点应选在何处？在何处？100kmDABC20km先求先求y对对x的导数：的导数：解方程解方程y 0，得得x 15(km)其中以其中以y|x 15 380k为最小，因此当为最小，因此当AD x
7、 15km时，时，总运费为最省总运费为最省设设AD x (km)，则则 DB 100 x ， 设从设从B点到点到C点需要的总运费为点需要的总运费为y，那么那么y 5kCD 3kDB (k是某个正数是某个正数)，解解并且电路必有最大并且电路必有最大输出功率，输出功率，从而可得函数从而可得函数解解由电学知识可知，由电学知识可知，消耗消耗在负载电阻在负载电阻R上的功率为上的功率为 P = I2R,其中其中I为回路中的为回路中的根据欧姆定律又有根据欧姆定律又有 ，所以当负载电阻与内阻相等时，所以当负载电阻与内阻相等时，由于在由于在(0,+)内函数只有一个驻点，内函数只有一个驻点，输出功率最大。输出功率
8、最大。例例4 4电流强度。电流强度。在解决最大在解决最大(小小)值的实际应用问题时值的实际应用问题时,可以采取以下步骤：可以采取以下步骤： 再利用变量再利用变量之间的等量关系列出函数关系式之间的等量关系列出函数关系式 y = f (x)， 则可根则可根据前面求最大据前面求最大(小小)值的一般方法求解。值的一般方法求解。(1)将问题中能取得最大将问题中能取得最大(小小)值的变量设为函数值的变量设为函数 y， 而将与函数有关联的条件变量设为而将与函数有关联的条件变量设为 x，并确定并确定(2)求出函数再定义域内的驻点，求出函数再定义域内的驻点， 如果驻点只有一个，如果驻点只有一个， 并且由题意可知函数在定义域内必定存在最大值并且由题意可知函数在定义域内必定存在最大值或最小值，则该驻点对应的函数值就是问题所求或最小值，则该驻点对应的函数值就是问题所求 的最大值或最小值；的最大值或最小值； 如果驻点不止一个，如果驻点不止一个，函数的定义域。再判定函数是否在驻点处取得最函数的定义域。再判定函数是否在驻点处取得最大值或最小值。大值或最小值。四、小结四、小结1.闭区间上连续函数的最大值和最小值闭区间上连续函数的最大值和最小值.2.函数在某区间内可导且有唯一极值点时的极函数在某区间内可导且有唯一极值点时的极大值和极小值大值和极小值.3.具体应用举例具体应用举例.作业：
