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1、6.1数学概念及其教学数学概念及其教学制作人：龚清芳、制作人：龚清芳、罗治琴、何丽罗治琴、何丽1一、数学概念的意义和结构一、数学概念的意义和结构1.1.数学概念的意义数学概念的意义概念是反映事物本质属性和特征的思维形式概念是反映事物本质属性和特征的思维形式. .概念来自本质，而本质来自存在概念来自本质，而本质来自存在. . 列宁列宁2 数学概念是反映（现实世界）空间形式数学概念是反映（现实世界）空间形式和数量关系的本质属性的思维形式和数量关系的本质属性的思维形式. .数学概念产生和发展有各种不同的途径：数学概念产生和发展有各种不同的途径：1 1）直接从它的现实模型中抽象概括得出，如几何中的点、
2、线、面、体）直接从它的现实模型中抽象概括得出，如几何中的点、线、面、体等概念；等概念；2 2）在已有概念的基础上进一步抽象概括而形成，如群、环、域等；）在已有概念的基础上进一步抽象概括而形成，如群、环、域等；3 3）人们将客观事物的属性理想化、纯粹化得到数学概念，如）人们将客观事物的属性理想化、纯粹化得到数学概念，如“直线直线”；4 4）在一定的数学对象结构中产生数学概念，如）在一定的数学对象结构中产生数学概念，如“三线八角三线八角”；5 5）根据数学本身发展的需要而产生，如负数、虚数、）根据数学本身发展的需要而产生，如负数、虚数、n n 维空间等维空间等. .3 数学概念是用数学语言来表数学
3、概念是用数学语言来表达的，其主要形式是语词和符号达的，其主要形式是语词和符号. .如：角如：角 、三角形、三角形 、平行、平行 、阶乘、阶乘！等等等等. . 同一数学概念可能有不同的词语表达，同一数学概念可能有不同的词语表达，如：如：“等边三角形等边三角形”又可表达为又可表达为“正三角形正三角形”.”.4概念是人类思维的基本结构单位概念是人类思维的基本结构单位. .概念又是命题、推理和论证的基础概念又是命题、推理和论证的基础. .可以说每一门学科，都是一个概念的系统可以说每一门学科，都是一个概念的系统.52.2.概念的内涵和外延概念的内涵和外延概念的内涵（内包）概念的内涵（内包）概念所反映的概
4、念所反映的这类事物的共同的本质属性这类事物的共同的本质属性，即确定，即确定的涵义，是对概念的质的规定；的涵义，是对概念的质的规定；概念的外延（外包）概念的外延（外包）概念所反映的概念所反映的这类事物的全体这类事物的全体，即确定的对象范围，即确定的对象范围，是对概念的量的描述是对概念的量的描述. .6注：注：1）概念的内涵和外延分别指一个概念）概念的内涵和外延分别指一个概念“是什么是什么样的？样的？”和和“是指哪些对象？是指哪些对象？”2）概念的内涵和外延既是统一的又是互相联）概念的内涵和外延既是统一的又是互相联系、互相制约的，在一定的条件下，概念的内系、互相制约的，在一定的条件下，概念的内涵和
5、外延是互相确定的涵和外延是互相确定的.3）概念的内涵和外延之间还表现在发展中的）概念的内涵和外延之间还表现在发展中的反反变关系变关系即：概念的内涵越多，则外延越小；概即：概念的内涵越多，则外延越小；概念的内涵越少，则外延越大念的内涵越少，则外延越大.7举例：举例：在自然数系中，在自然数系中，“偶数偶数”概念的内涵和外延分别概念的内涵和外延分别是什么？是什么？“平行四边形平行四边形”的内涵和外延分别是什么？的内涵和外延分别是什么？8 对于对于“矩形矩形”这个概念，如果增加这个概念，如果增加“有一组邻边相等有一组邻边相等”这个性质后，就成为外这个性质后，就成为外延缩小的概念延缩小的概念正方形；在矩
6、形内涵中正方形；在矩形内涵中减少减少“有一个角是直角有一个角是直角”的属性，就得到的属性，就得到外延扩大的概念外延扩大的概念平行四边形平行四边形. .9 概念的限定和概括是明确概念的限定和概括是明确概念内涵和外延的逻辑方法，概念内涵和外延的逻辑方法，即给概念下定义即给概念下定义. .10二、二、概念间的关系概念间的关系 根据概念的外延集有无重合之处，概根据概念的外延集有无重合之处，概念间的关系可分为相容关系和不相容关系念间的关系可分为相容关系和不相容关系. .规定：所有概念的外延集都是非空集合规定：所有概念的外延集都是非空集合. .111.1.相容关系相容关系 若若ABAB, ,则称概念甲概念
7、乙之间则称概念甲概念乙之间有相容关系有相容关系. .又可进一步具体分为同一关又可进一步具体分为同一关系、属种关系和交叉关系系、属种关系和交叉关系. .设集合设集合A A、B B、C C为概念甲、乙、丙的外延集为概念甲、乙、丙的外延集. .12A=BAB同一关系同一关系（或全同关系）（或全同关系）如：如：“不大于不大于”和和“小于或等于小于或等于”注：数学中的恒等变形就是注：数学中的恒等变形就是利用概念间的同一关系进行的利用概念间的同一关系进行的.属种关系属种关系比如：实数和有理数、比如：实数和有理数、平行四边形和矩形平行四边形和矩形.又称从属关系，甲称为又称从属关系，甲称为属概念，乙称为种概念
8、属概念，乙称为种概念借用生借用生物学中物学中的概念的概念13A AB B交叉关系交叉关系比如：矩形和菱形、非负有理数和非正有理数利用概念间的交叉关系可以概括出新的概念矩形的外延集和菱形的外延集的交集是“正方形”14不相容关系（不相容关系（ 又称在同一属概念丙之下的全异又称在同一属概念丙之下的全异关系）关系）矛盾关系（矛盾关系（ ） 反对关系（反对关系（ ）大前提：大前提：ABAB15 相对于属概念相对于属概念“实数实数”而言，其种概念而言，其种概念“有理数有理数”与与“无理数无理数”之间就是矛盾关系但相对于属概念之间就是矛盾关系但相对于属概念“复复数数”而言，它们就是反对关系而言，它们就是反对
9、关系相对于属概念相对于属概念“三角形三角形”而言，其种概念而言，其种概念“锐角三锐角三角形角形”与与“直角三角形直角三角形”之间就是反对关系之间就是反对关系概念间的不相容关系是数学中反证法、穷举法的依据之一概念间的不相容关系是数学中反证法、穷举法的依据之一1617三、三、 概念的定义概念的定义 概念的定义就是揭示一个概念的内涵概念的定义就是揭示一个概念的内涵或外延的逻辑方法或外延的逻辑方法揭示内涵的定义称为内涵定义，明确揭示内涵的定义称为内涵定义，明确外延的定义称为外延定义外延的定义称为外延定义18定义的结构：定义的结构：被定义项（被定义项（B）、定义项（）、定义项（D）、定义联项）、定义联项
10、概念定义的表达主要是：概念定义的表达主要是：B就是就是D常见的还有：常见的还有：“ B是是D”；“B等于等于D”；“B当且仅当且仅当当D”；“D叫做叫做B”；“D称为称为B”等腰三角形等腰三角形 就是就是 有两边相等的三角形有两边相等的三角形 B连项连项D19下定义的方式方法下定义的方式方法（）属种定义（）属种定义方式：方式： 被定义项被定义项 = = （邻近的属）（邻近的属）+ +（种差）（种差）B （连项）（连项） D矩形矩形 就是就是 一个角是直角一个角是直角的的平行四边形平行四边形 种差邻近的属种差邻近的属B （连项）（连项） D又称之为又称之为“属概念种差属概念种差”定义法定义法派生
11、出两种特殊形式：发生式定义和关系定义派生出两种特殊形式：发生式定义和关系定义20发生式定义发生式定义 以被定义概念所反映的对象产生或形成的以被定义概念所反映的对象产生或形成的过程作为种差下定义的方式过程作为种差下定义的方式例：圆就是把定长线段的一端固定，使另一端旋转一周而成的一条封闭曲线换言之：到定点的距离等于定长的点的轨迹21关系定义关系定义 以被定义概念所反映的对象之间的关系作为种差下定义的方式例：例：“偶数偶数”就是能被就是能被2整除的整数整除的整数注：属加种差的定义方式，有一定的局限性注：属加种差的定义方式，有一定的局限性例：例：“范畴范畴”这一概念就无法采用这种方式定义这一概念就无法
12、采用这种方式定义22（）外延定义（）外延定义 列举列举“被定义概念所属的、所有互不相容的被定义概念所属的、所有互不相容的种概念种概念”的方式下定义的方式下定义例：例：正、负整数，正、负分数和零正、负整数，正、负分数和零统称为统称为有理数有理数； D B有理数和无理数有理数和无理数 统称为统称为 实数实数 D B注：约定式定义也属于揭示外延的方法例如：注：约定式定义也属于揭示外延的方法例如：0 0！=1 =1 等等等等23（）语词定义（）语词定义 用语词说明被定义项的含义的方式用语词说明被定义项的含义的方式例例 ：“ ”表示空集；表示空集；“ ”表示属于；表示属于；“ ”表示表示“连加连加”此外
13、，还有递归定义，公理化定义等等此外，还有递归定义，公理化定义等等243 3 下定义应遵循的规则下定义应遵循的规则规则规则1 1 定义要相称，就是定义项和被定义要相称，就是定义项和被定义项的外延必须全同定义项的外延必须全同若定义项的外延大于被定义项的外若定义项的外延大于被定义项的外延，则定义延，则定义“过宽过宽”；若定义项的外延若定义项的外延小于被定义项的外延，则定义小于被定义项的外延，则定义“过窄过窄”25“两条不相交的直线称为平行直线两条不相交的直线称为平行直线”；（还可以；（还可以重合）重合）“无理数就是不尽方根无理数就是不尽方根”过窄过窄“无限小数叫无理数无限小数叫无理数”过宽过宽26规
14、则规则2 2 定义要符合逻辑，就是要明白、定义要符合逻辑，就是要明白、清晰，不得循环、不得同义反复清晰，不得循环、不得同义反复. .“相交成直角的两条直线，叫做互相垂直的直相交成直角的两条直线，叫做互相垂直的直线线”与与“两边互相垂直的角，叫做直角两边互相垂直的角，叫做直角”这两个这两个定义出现了循环定义出现了循环.“类似的图形称为相似形类似的图形称为相似形”就是自我定义、空就是自我定义、空洞无物的同义反复。洞无物的同义反复。27规则规则3 3 定义要简明、扼要、精练，不定义要简明、扼要、精练，不要越级、不要重复要越级、不要重复. . “有四条边且两组对边分别平行的多边形称为有四条边且两组对边
15、分别平行的多边形称为平行四边形平行四边形”就不简明了，因为多边形不是平行四就不简明了，因为多边形不是平行四边形的邻近的属概念；边形的邻近的属概念； “两组对边分别平行且相等的四边形称为平行两组对边分别平行且相等的四边形称为平行四边形四边形”也是不简明，因为列举的种差之间不独也是不简明，因为列举的种差之间不独立立.28规则规则4 4 定义中的定义项一般不应包含负定义中的定义项一般不应包含负概念概念. . 反映对象不具有某种属性的概念，叫做负概念反映对象不具有某种属性的概念，叫做负概念. . 中学数学中较少使用包含负概念的定义方式中学数学中较少使用包含负概念的定义方式平行线是在同一平面内不相交的直
16、线；平行线是在同一平面内不相交的直线；无理数是无限不循环小数；无理数是无限不循环小数；奇数是不能被奇数是不能被2 2整除的整数。整除的整数。294 4 原始概念：数学中无定义的概念，原始概念：数学中无定义的概念，又叫原名又叫原名. .如：点、直线、平面、集合等如：点、直线、平面、集合等. .30四、四、概念的科学分类（划分）概念的科学分类（划分） 划分就是把一个概念（属）按照某一属性分成划分就是把一个概念（属）按照某一属性分成若干个具有不相容关系的种概念若干个具有不相容关系的种概念. . 划分实质是反映一类事物的分类，它和整体事划分实质是反映一类事物的分类，它和整体事物分解是根本不同的，划分后
17、的各子项都具有母项物分解是根本不同的，划分后的各子项都具有母项的本质属性，但分解后的部分，却不一定都具有整的本质属性，但分解后的部分，却不一定都具有整体的特性体的特性.31例：例： 将将“三角形三角形”划分为划分为“直角三角形直角三角形”“”“锐角三锐角三角形角形”“”“钝角三角形钝角三角形”，它们都具有三角形的本质属，它们都具有三角形的本质属性；但如果把性；但如果把“三角形三角形”分解为分解为“三条边三条边”、“三个三个角角”等部分，那么这些部分就不会有等部分，那么这些部分就不会有“三角形三角形”的整的整体特征了体特征了. .32（1）划分的三要素：划分的母项、子项和划分的标准. 被分的属概
18、念称为划分的母项，分被分的属概念称为划分的母项，分得的若干种概念称为划分的子项，划分得的若干种概念称为划分的子项，划分所依据的属性称为划分的标准所依据的属性称为划分的标准. .33（2 2）划分的规则）划分的规则规则规则1 1 划分要相称，即划分应不重不漏划分要相称，即划分应不重不漏. .例如：整数分为正整数、负整数，即出现遗漏。若分为非正例如：整数分为正整数、负整数，即出现遗漏。若分为非正整数、非负整数，即出现重复整数、非负整数，即出现重复.规则规则2 2 划分要用同一的标准划分要用同一的标准. .例如：将三角形划分为锐角三角形、直角三角形、钝角例如：将三角形划分为锐角三角形、直角三角形、钝
19、角三角形和等腰三角形四类就是一个混乱、错误的划分三角形和等腰三角形四类就是一个混乱、错误的划分.规则规则3 划分要逐级逐次进行，不要越级划分要逐级逐次进行，不要越级.例如：把实数划分为整数、分数、无理数就不符合这一要求例如：把实数划分为整数、分数、无理数就不符合这一要求.34(3)划分的种类划分的种类一次划分一次划分：即对一个概念只划分一次就达到划分的目的，不需继续划分。例如： 35连续划分连续划分:即在一次划分后,再将所得子项作为母项进行划分,直到满足需要为至。 例如: 36多边形二分法二分法: 即将被分概念逐次划分为两个矛盾子项,直到满意为止。通过概念的划分通过概念的划分,可以使概念系统化
20、和完整化，同时，也使被可以使概念系统化和完整化，同时，也使被划分的概念外延更清楚划分的概念外延更清楚更深刻更深刻更具体。更具体。37五、数学概念的教学五、数学概念的教学1.1.重视数学概念的引入重视数学概念的引入现实性原则现实性原则（1 1）以感性材料为基础引入新）以感性材料为基础引入新概念概念（2 2）在学生原有概念的基础上引入）在学生原有概念的基础上引入新概念新概念2.2.注意数学概念的理解注意数学概念的理解科学性科学性原则原则（1 1）正确表述概念的本质属性）正确表述概念的本质属性（2 2）认清概念间的关系，掌握有关概念间的）认清概念间的关系，掌握有关概念间的逻辑联系逻辑联系3.3.加强
21、数学概念的运用加强数学概念的运用应用性应用性原则原则38 （1 1）以感性材料为基础引入新概念）以感性材料为基础引入新概念 例如例如，在引入“平行线”概念时，可以先给出一些学生熟悉的实例，如两条笔直的铁轨，黑板上下边缘，同一墙面的两条墙线等，给学生以“平行线”的形象。然后引导学生分析窒息实物中的一对直线在位置关系中的共同属性，如在同一平面内，两边可无限延伸，没有交点。再用数学语言将其属性表述出来：平行线是在同一平面内不相交的两条直线。最后，正式引入“平行线”的概念，给以定义并画出图形。 在中学数学中，可用实例引入的概念比较多，如“正负数”概念可由具有相反意义的量引入，“射线”可由手电筒发出的光
22、引入。“绝对值”可用“距离”的概念得到。由实例引入概念，反映了概念的现实性，符合认识规律，给学生留下的印象时刻持久，同时也便于对学生辩证唯物主义观点的教育。39 （2 2）在学生原有概念的基础上引入新概念）在学生原有概念的基础上引入新概念 1、通过与原有概念类比引入新概念。例如类比分数概念引入分式概念。 2、通过对已有概念的限定或概括引入新概念。例如，通过对平行四边形的限定，可以引入矩形、菱形、正方形等概念。 3、通过运算间的关系引入新概念。例如，对数的概念，可以由指数的运算的逆运算引入等。 4、通过揭示事物发生的过程引入新概念。例如。几何中的平角、周角、圆、椭圆、双曲线、抛物线等，都可以通过
23、演示直观教具或演示图画说明的方法引入，具有生动、直观、形象的教学效果。40总之，概念的引入要从实际出发，精心设计，用不同的手段和方法，引导学生观察、分析、比较，抽象的揭示对象的本质属性，适时引进新概念，为进一步学习概念打下基础。 41 2.2.注意数学概念的理解注意数学概念的理解科学性原则科学性原则 （1）正确表述概念的本质属性，准确理解概念的定义 在概念的教学中，必须使学生对概念所指的这类对象的本质属性有一清楚的认识和正确的表述，切忌形式地讲解定义和满足于定义的背诵。 （2）认清概念间的关系，掌握有关概念间的逻辑联系 数学概念是随着数学知识的发展而不断发展着的，数学概念是处在一定的逻辑联系中
24、。只有通过概念间的对比来加深对概念的理解，才能使所学知识系统化、条理化。42 3.3.加强数学概念的运用加强数学概念的运用应用性原则应用性原则中学数学的运算、推理和证明，都是以有关概念为依据，由此可见，数学概念运用的教学是十分重要的。为此，可引导学生在运算、推理和证明中运用概念，在日常生活和生产实际中运用概念。同时，在运用过程中加深对概念的理解，“使抽象的规定在思维过程中导致具体再现”。 (1)在运用中巩固所学概念 (2)在运用中形成概念体系 (3)在运用中强化概念解题意识43思考题：思考题：1、请用适当的方法定义下列概念：、请用适当的方法定义下列概念：棱柱，圆柱，二次方程，二次函数，抛物线，函数，直线棱柱，圆柱，二次方程，二次函数，抛物线，函数，直线2 2、将下列概念适当分类：、将下列概念适当分类：棱柱，四边形，三角形棱柱，四边形，三角形44 谢谢！45
