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1、引力、熵力和暗能量 李淼李淼中国科学院理论物理研究所中国科学院理论物理研究所 2010.06.038/28/20248/28/20248/28/20248/28/2024本报告介绍Erik Verlinde最近的工作：On the Origin of Gravity and the Lawsof NewtonarXiv:1001.0785v1hep-th以及一些后续讨论暗能量的工作。8/28/2024很久以来，一直有人怀疑万有引力不是基本的，是一种宏观现象。例如，Ted Jacobson在Thermodynamics of Spacetime: The Einstein Equation of
2、 State arXiv:gr-qc/9504004v2用类似黑洞热力学的办法推导了爱因斯坦方程8/28/2024Verlinde在他的工作中指出，不仅引力本身，惯性和质量其实也是一种宏观现象。用文字来表达他的结果，就是：1、引力是熵力。2、加速度与熵的梯度有关，所以惯性是无熵梯度的表现，质量与bits数成正比。3、牛顿势是熵与bits数的比例。8/28/2024什么是熵力？例子：虎克定律中的弹性力就是熵力。8/28/2024在微正则系综中有或热力学第一定律8/28/2024引力Verlinde假设 m8/28/2024所以，根据第一定律：利用Unruh公式得牛顿第二定律8/28/2024问题
3、：Unruh公式是量子场论推出的，不用如何？答案：不用Unruh公式，但假设全息原理，可得牛顿万有引力公式。在球面上，假设bits数（自由度数）：8/28/2024由推得代入得8/28/2024总结：1、基本假设 加Unruh公式 推出牛顿第二定律2、基本假设 加全息假设 推出牛顿万有引力8/28/2024问题：在熵变的基本公式中，Planck常数出现，在Unruh公式和全息假设中，Planck常数也出现，但牛顿第二定律和万有引力公式是经典的，所以Planck常数相消。我们可以用任何其他常数代替Planck常数，结论不变，所以量子力学不是必须的，虽然量子力学是隐含的。8/28/2024惯性和牛
4、顿势考虑将一个质量为m的粒子“融入”全息屏。根据能量均分原则，有其中n是描述m需要的bits数。由于m是固定的，T越低，需要的n越大。8/28/2024的确，在远离大质量物质M的地方，T较低：利用基本假设 和Unruh公式，可得8/28/2024这个公式的右边是描述该粒子的每个bit所带的熵，我们可以直观地想成每个bit的受激程度。方程右边已与Planck常数无关。8/28/2024引入牛顿势得这个结果很重要，说明每个bit的熵与牛顿势成正比。8/28/2024将变分符号去掉我们可以这样解释上面公式：牛顿势（绝对值）越大的地方，bit的效率越高。对于固定的系统，熵是固定的，所以牛顿势大的地方，
5、bits数少，被粗粒化得更多（IR）。很类似AdS/CFT中的UV/IR关系。8/28/2024有趣的是，量的取值范围是0到1。在黑洞视界上，这个量最大，所以粗粒化最厉害，或者说bits的效率最高。在无限远处，这个量最小，bits的效率最低，这是UV极限。8/28/2024一般的质量分布引入牛顿势，自然就可以考虑一般的质量分布了。我们无非要导出Poisson方程。考虑等势面，并将等势面看成全息屏8/28/20248/28/2024现在，取代Unruh公式，我们假设：以及全息假设：8/28/2024能量均分原则是得8/28/2024用Stokes定理，我们推出：注意，和前面导出牛顿公式不同，我们
6、没有用到熵变的基本假定，那里用熵变是为了推出作用在试验粒子上的力，而不是Poisson方程。8/28/2024最后，稍微复杂地是推导作用在试验粒子上的力，这和前面推出牛顿万有引力公式类似。这里不复述。8/28/2024等效原理和Einstein方程前面是非相对论引力的讨论，虽然出现了光速甚至Planck常数。要推广到一般情形，先从静态引力场开始。在这个情况下，存在time-like Killing vector8/28/2024定义推广的牛顿势加速度的推广是8/28/2024考虑等势面，此时加速度与等势面垂直。定义温度熵变假设为8/28/2024从热力学第一定律得熵力公式这确实是静态引力场中的
7、正确公式。8/28/2024要获得Einstein方程，和推导Poisson方程一样，我们需要全息原理和能量均分8/28/2024所以由于牛顿势与Killing vector有关，故8/28/2024用Stokes定理和得8/28/2024即使取任意曲面，我们只能得到和Killing vector 有关的方程。要去掉Killing vector，我们可以利用局域的任意坐标系中的任意Killing vector （很多局域惯性系），这样我们就获得Einstein方程。8/28/2024讨论由此看来，引力确实是熵力，即非基本的。我想第一个问题是，引力要量子化吗？我觉得可以量子化，如同声子要量子化一
8、样。8/28/2024从AdS/CFT来看，引力一边是闭弦理论，如果引力是emergent的，那么闭弦也应该是。（我过去曾认为闭弦可以从非对易几何得到，也许两者有关联）8/28/2024QCD，一些凝聚态物理系统对应于引力，引力也应该是作为熵力出现的。也许并不存在更加细致的全息原理，否则我们无法解释为什么很多凝聚态系统也诱导引力。8/28/2024最后，我们问，空间并不完全是emergent的，我们还需要等势面，在这些面上有一些bits。如果我们假想所有空间都是emergent的，我们需要考虑这些bits如何导出。8/28/2024另外，引力既然是熵力，为什么Einstein方程，特别是Fri
9、edmann方程，是时间反演不变的？如何理解Penrose问题（宇宙初始时刻熵最小）8/28/2024全息暗能量首先，我们问，熵力的想法能将暴涨宇宙和近期宇宙加速纳入吗？回答：1、暴涨宇宙是局域的，纳入有困难。2、晚期加速可以是整体的，可以纳入。8/28/20241、暴涨宇宙的困难按照能量均分原则任意一个区域的能量应该是正的。8/28/2024但是，如果我们需要导出Einstein方程，就必须用方程左边是所谓Tolman-Komar质量，取时间分量，正比于 ，对于暴涨模型，这是负的。8/28/2024所以，要么温度T必须负的，要么dN是负的。我们肯定无法选择后者。那么，可以找到负温度的系统吗？
10、回答是可以，一个含有有限个能级的系统可以有负温度。但是，这个推广有两个问题：a 如果系统内还含有物质，其对应的温度是正的，我们需要引入两个温度。 8/28/2024当试验粒子融入屏幕时，变成了正温度的bits还是负温度的bits?b 如果试验粒子变成了负温度的bits，就会贡献负能量，破坏能量守恒。所以，目前无法将暴涨模型纳入熵力框架。A No-go Theorem Prohibiting Inflation in the Entropic Force Scenario Miao Li, Yi Pang arXiv:1004.08778/28/2024我和王一的文章建议用整体宇宙视界作为解释暗
11、能量的屏幕。所以，在推到Einstein方程时用两个屏幕，一个解释物质，一个解释暗能量。arXiv:1001.44668/28/2024下面是两个屏幕的示意图8/28/2024外面的视界只和暗能量有关，其bits数是能量为8/28/2024里面的屏幕是Verlinde的全息屏，能量为根据熵力公式，得8/28/2024对应的势能为能量守恒公式告诉我们恰好是含有全息暗能量的Friedmann方程。8/28/2024评论：1、整体视界上的温度是正的，当粒子接近屏幕时，熵增，所以力是向屏幕的力，从里面的观点看，是斥力。2、视界必须取未来事件世界，宇宙才能加速膨胀。（也许事件视界可以从力和势能的关系获得
12、？）8/28/2024Damien A. Easson, Paul H. Frampton,George F. Smoot等人的文章点评这篇文章建议用Hubble视界做整体全息屏解释暗能量，有加速度8/28/2024Friedmann方程为取d为Hubble半径，得8/28/2024表面上看，这个方程提供正加速度，问题是，如果我们回到第一个Friedmann方程，我们得不到加速膨胀，或者，方程需要所谓的暗物质和暗能量的耦合。这个想法的另一个问题是，作者们声称加速项可以由作用量中的Gibbons-Hawking边界项推出，这是错误的。8/28/2024熵力的文章已经有了大约50篇，我觉得半数以上是错的，还有一部分是trivial的，最后剩下的是推测。我觉得我和王一关于暗能量的工作是推测，也许是比较有前途的推测。熵力将来还会有不少文章。8/28/2024 Thanks!8/28/2024
