离散系统及其在生物与经济中应用

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1、离散系统及其在离散系统及其在生物与经济中的应用生物与经济中的应用应用背景：工业炉控制系统应用背景：工业炉控制系统连续控制方式连续控制方式连续控制方式连续控制方式采样控制方式采样控制方式采样控制方式采样控制方式采样控制原理图采样控制原理图采样控制原理图采样控制原理图 差分方程与差分方程与Z变换变换 状态空间形式与状态空间形式与z变换变换 传递函数为传递函数为拉普拉斯变换：拉普拉斯变换： z变换：变换：z与与s的关系为：的关系为：z变换的性质：变换的性质：在零初值情况下在零初值情况下能控性与能观性能控性与能观性 能控性能控性上面离散系统在上面离散系统在n个采样时刻的状态解是：个采样时刻的状态解是：

2、Gn非奇异：与连续系统一样，能控性矩阵秩为非奇异：与连续系统一样，能控性矩阵秩为n；Gn奇异：对于使奇异：对于使Gn x(0)0的非零初态，与能控性矩阵的秩无关。的非零初态，与能控性矩阵的秩无关。 能观性能观性上面离散系统在上面离散系统在n个采样周期内的量测值与初值个采样周期内的量测值与初值x(0)的关系是：的关系是：与连续系统一样，系统能观的充要条件是能观性矩阵的秩为与连续系统一样，系统能观的充要条件是能观性矩阵的秩为n。高次差分方程与状态方程高次差分方程与状态方程选择状态变量选择状态变量则可得状态方程则可得状态方程连续系统离散化D/A数字数字计算机计算机连续系统连续系统保持器保持器A/D采

3、样器采样器连续系统时间离散化的实现连续系统时间离散化的实现连续系统离散化 无论是利用数字计算机分析连续时间系统，还是利用计无论是利用数字计算机分析连续时间系统，还是利用计算机等离散控制装置来控制连续时间受控系统时，都会遇到算机等离散控制装置来控制连续时间受控系统时，都会遇到把连续时间系统化为等价的离散时间系统的问题。连续线性把连续时间系统化为等价的离散时间系统的问题。连续线性定常系统定常系统其离散化后的方程为其离散化后的方程为其中其中 ，T为采样周期为采样周期连续系统离散化采样周期采样周期T的选择会影响可控性、可观性的保持问题。的选择会影响可控性、可观性的保持问题。 (由系统的解由系统的解 出

4、发进行离散化出发进行离散化)几个推论：几个推论：时间离散化不改变系统的时变性或定常性。时间离散化不改变系统的时变性或定常性。 不管连续系统矩阵不管连续系统矩阵A是否为非奇异，但离散化系统的矩阵是否为非奇异，但离散化系统的矩阵G一定是非奇异的。一定是非奇异的。 离散系统的稳定性离散系统的稳定性s平面与z平面的映射关系z变换中的复变量变换中的复变量z与拉普拉斯变换的复变量与拉普拉斯变换的复变量s的关系是的关系是其中其中 是采样周期，将是采样周期，将 代入上式有代入上式有所以所以 即即s的实部只影响的实部只影响z的模，的模，s的虚部只影响的虚部只影响z的角；的角； 左半左半s平面，即平面，即 0z平

5、面单位圆内部平面单位圆内部，即即|z| 0z平面单位圆平面单位圆，即即|z| = 1 z平面单位圆外部平面单位圆外部，即即|z| 1离散系统稳定的判据 离散系统稳定的充分必要条件是其特征方程的全部特离散系统稳定的充分必要条件是其特征方程的全部特征根都位于征根都位于z平面上以原点为圆心的单位圆内。平面上以原点为圆心的单位圆内。 是否存在类似于连续系统的是否存在类似于连续系统的Routh-Hurwitz判据？判据？ 如果能找到一种变换：如果能找到一种变换： ，将左半平面变成单位，将左半平面变成单位圆内部，那么以圆内部，那么以z为变量的特征方程就可以变换成以为变量的特征方程就可以变换成以s为变为变量

6、的方程，从而可以借助于连续系统的量的方程，从而可以借助于连续系统的Routh-Hurwitz判据判据来判断离散系统的稳定性。引入变换来判断离散系统的稳定性。引入变换例子 已知离散系统的开环传递函数为已知离散系统的开环传递函数为系统的特征方程为系统的特征方程为 ，即，即直接求解可得闭环特征根为直接求解可得闭环特征根为如果做代数变换，令如果做代数变换，令 ，代入特征方程得，代入特征方程得利用利用Hurwitz判据同样可判定系统是稳定的。判据同样可判定系统是稳定的。Lyapunov方法 连续系统连续系统：系统稳定当且仅当存在正定矩阵：系统稳定当且仅当存在正定矩阵P使得使得离散系统离散系统：系统稳定当

7、且仅当存在正定矩阵：系统稳定当且仅当存在正定矩阵P使得使得离散系统的应用离散系统的应用菲波纳奇级数与兔口模型菲波纳奇级数与兔口模型兔子的繁殖规律兔子的繁殖规律定义定义 x3(t)第第t年新生兔数量（年新生兔数量（01岁）岁）x2(t)第第t年年1岁兔数量（岁兔数量（12岁）岁）x1(t)第第t年年2岁兔数量（岁兔数量（23岁）岁）3岁以上兔子不予考虑。岁以上兔子不予考虑。不考虑兔子死亡率不考虑兔子死亡率 x2(t1)x3(t)x1(t1)x2(t)x3(t)x2(t)x1(t)(设第设第t年每对年每对1岁与岁与2岁兔各生岁兔各生2只小只小兔兔 )兔口模型兔口模型 再设第再设第0年年1岁兔为岁兔

8、为x2(0)1万只，万只，2岁兔为岁兔为x1(0)1万只。万只。用迭代法求解上式可以得到用迭代法求解上式可以得到xi(t)，i=1,2的序列：的序列：xi(t)的每一项（的每一项（t 2）都是前两项之和。这个序列被称为都是前两项之和。这个序列被称为菲菲波纳奇序列。波纳奇序列。 下面用下面用z变换求菲波纳奇级数的通项公式变换求菲波纳奇级数的通项公式 :菲波纳奇级数的通项公式菲波纳奇级数的通项公式将上式第一式代入第二式得到将上式第一式代入第二式得到 求出求出x2(z)为：为： 查表求反变换得查表求反变换得 考虑兔口增长率问题：设第考虑兔口增长率问题：设第t年兔子总数为年兔子总数为y (t)，显然有

9、显然有又又 将通项带入上式便求出第将通项带入上式便求出第t年兔子总数量。兔子增长率年兔子总数量。兔子增长率 定义定义为：为：从从通项通项可知，当时间足够长的之后，增长率趋于一个常数：可知，当时间足够长的之后，增长率趋于一个常数： 当当t0时，兔子数时，兔子数y(t)4万只，那么万只，那么30年以后兔子数为：年以后兔子数为：y(30)=41.61803430=7441993.5万只。万只。 商品市场价格变化的蛛网模型商品市场价格变化的蛛网模型蛛网模型研究生产周期较长的商品（如农产品）的产蛛网模型研究生产周期较长的商品（如农产品）的产量和价格在偏离均衡状态以后的实际波动过程及其结果。量和价格在偏离

10、均衡状态以后的实际波动过程及其结果。 某种产品第某种产品第t年需求量年需求量D(t)是当年价格是当年价格p(t)的线性函数：的线性函数： 该种产品供应量该种产品供应量S(t)则与去年价格则与去年价格p(t1)有关，因为在第有关，因为在第t1年时价格为年时价格为p(t1)，农民则认为第农民则认为第t年还是这个价格，年还是这个价格，从而去安排生产。而生产的投入到产出之间有时间延迟。从而去安排生产。而生产的投入到产出之间有时间延迟。现供给函数为：现供给函数为：两式中的两式中的a，b，e，f皆为大于皆为大于0的常数。的常数。 设某地区西瓜供求函数如式设某地区西瓜供求函数如式(1),(2)所示。具体参数

11、为：所示。具体参数为： 设设1998年西瓜价格为年西瓜价格为p(0)=0.3元元/公斤，公斤，1999年农民愿意种西年农民愿意种西瓜量为瓜量为S(1)=0.580.31.9亿公斤，在亿公斤，在1999年上市西瓜年上市西瓜1.9亿公斤，如果西瓜还卖亿公斤，如果西瓜还卖0.3元元/公斤，吃瓜的需求量为公斤，吃瓜的需求量为D(1)7120.32.2亿公斤亿公斤 1.9亿公斤，这意味着西瓜供不应亿公斤，这意味着西瓜供不应求，因此西瓜将会涨价，直至供求平衡，供求平衡价格由下求，因此西瓜将会涨价，直至供求平衡，供求平衡价格由下式决定：式决定：D(1)S(1)，可得可得p(1)0.425元元/公斤。在公斤。

12、在2000年如年如果还卖果还卖0.425元元/公斤，大众的吃瓜量为公斤，大众的吃瓜量为1.9亿公斤亿公斤 2.9亿公亿公斤，西瓜将供过于求，要将斤，西瓜将供过于求，要将2.9亿公斤瓜全卖出去，其价格亿公斤瓜全卖出去，其价格为：为： D(2)S(2)，p(2)0.34166元元/公斤，类似地一年一年公斤，类似地一年一年分析下去，可得西瓜价格波动地图解分析。分析下去，可得西瓜价格波动地图解分析。蛛网模型理论分析：求解价格的变化，令理论分析：求解价格的变化，令D (t)=S (t)，得得做做z变换变换求出反变换为：求出反变换为：从上式看出当从上式看出当 即特征方程即特征方程bzf 0的根的模小于的根

13、的模小于1时，成立：时，成立： 即系统是渐近稳定的。这时候价格趋于供应平衡价格：即系统是渐近稳定的。这时候价格趋于供应平衡价格：封闭型蛛网PQ0SDP1P2Q1Q2发散型蛛网PQSD0P1PeP2Q3Q1Q2 蛛网模型解释了某些生产周期较长的商品的产量和价蛛网模型解释了某些生产周期较长的商品的产量和价格的波动的情况，是一个有意义的动态分析模型。但是，格的波动的情况，是一个有意义的动态分析模型。但是，这个模型是一个很简单和有缺陷的模型。这是因为，根据这个模型是一个很简单和有缺陷的模型。这是因为，根据该模型，造成产量和价格波动的主要原因是：生产者总是该模型，造成产量和价格波动的主要原因是：生产者总

14、是根据上一期的价格来决定下一期的产量，这样，上一期的根据上一期的价格来决定下一期的产量，这样，上一期的价格同时也就是生产者对下一期的预期价格。而事实上，价格同时也就是生产者对下一期的预期价格。而事实上，在每一期，生产者只能按照本期的市场价格来出售由预期在每一期，生产者只能按照本期的市场价格来出售由预期价格（即上一期的价格）所决定的产量。这种实际价格和价格（即上一期的价格）所决定的产量。这种实际价格和预期价格的不吻合，造成了产量和价格的波动。但是，这预期价格的不吻合，造成了产量和价格的波动。但是，这种解释是不全面的。因为生产者从自己的经验中会逐步修种解释是不全面的。因为生产者从自己的经验中会逐步

15、修正自己的预期价格，使预期价格接近实际价格，从而使实正自己的预期价格，使预期价格接近实际价格，从而使实际产量接近市场的实际需求量。际产量接近市场的实际需求量。 蛛网模型的缺点选课的数学模型选课的数学模型 某大学经济管理学院一年级硕士生共有三门选修课，经某大学经济管理学院一年级硕士生共有三门选修课，经济控制论，市场营销学，国际金融。除必修课外，必须从这济控制论，市场营销学，国际金融。除必修课外，必须从这三门课中任选两门学习。三门课中任选两门学习。 x1(t)第第t年年选选1,2门课学生占全体研究生的百分比；门课学生占全体研究生的百分比；x2(t)第第t年选年选1,3门课学生占全体研究生的百分比；

16、门课学生占全体研究生的百分比；x3(t)第第t年选年选2,3门课学生占全体研究生的百分比；门课学生占全体研究生的百分比；显然：显然： 选择选择1,2门课的学生在一学期的学习之后有门课的学生在一学期的学习之后有100p11的的学生认为选这两门课是合适的，有学生认为选这两门课是合适的，有100p21的学生认为应的学生认为应当选当选1,3门课，门课， 100p31的学生认为应当选的学生认为应当选2,3门课。设新门课。设新一学年学生选课情况与上一学年学生听完课后选课想法一一学年学生选课情况与上一学年学生听完课后选课想法一致。则新学年选第致。则新学年选第1,2门课的学生人数百分比为门课的学生人数百分比为类似地有类似地有将以上三个方程写成矩阵形式，便可得到如下选课模型将以上三个方程写成矩阵形式，便可得到如下选课模型 其中其中 现设现设 可以验证，可以验证，P的特征值都在单位圆内，因此当时间的特征值都在单位圆内，因此当时间t足够足够大之后，选课会趋于稳定。求系统平衡解，可得大之后，选课会趋于稳定。求系统平衡解，可得实际中，如果调查出实际中，如果调查出P阵参数，可预测选课人数最终变化趋势。阵参数，可预测选课人数最终变化趋势。