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1、第四章第四章第四章第四章 椭球面上的弧长计算椭球面上的弧长计算椭球面上的弧长计算椭球面上的弧长计算子午线弧长计算公式子午线弧长计算公式由子午线弧长求大地纬度由子午线弧长求大地纬度平行圈弧长计算公式平行圈弧长计算公式椭球面梯形图幅面积的计算椭球面梯形图幅面积的计算大地线的概念与克莱劳方程大地线的概念与克莱劳方程上一讲应掌握的内容上一讲应掌握的内容1、椭球面上椭球面上法截线有关概念法截线有关概念 法截线法截线 子午圈子午圈(线线) 卯酉圈卯酉圈 (线线) 曲率曲率 曲率半径曲率半径2、子午线曲率半径、子午线曲率半径 在赤道上在赤道上M小于小于a，M随纬度增加而增加随纬度增加而增加3、卯酉线曲率半径
2、卯酉线曲率半径 在赤道上在赤道上N等于等于a，N随纬度增加而增加随纬度增加而增加4、任意法截弧的曲率半径、任意法截弧的曲率半径 主曲率半径主曲率半径M及及N分别是分别是 RA的极小值和极大值。的极小值和极大值。R0M，R90N5、平均曲率半径、平均曲率半径 （不是地球平均半径不是地球平均半径）6、椭球面上几种曲率半径的关系椭球面上几种曲率半径的关系子午圈曲率半径子午圈曲率半径M及卯酉圈曲率半径及卯酉圈曲率半径N，是两个互相垂直是两个互相垂直的法截弧的曲率半径，这在微分几何中统称为的法截弧的曲率半径，这在微分几何中统称为主曲率半主曲率半径径。 主曲率半径的计算公式主曲率半径的计算公式不同的椭球元
3、素对应不同的系数不同的椭球元素对应不同的系数写在黑板主曲率半径的计算公式中的系数主曲率半径的计算公式中的系数4.4 椭球面上的弧长计算椭球面上的弧长计算在高斯投影计算和弧度测量在高斯投影计算和弧度测量计算中，计算中，往往用到往往用到子午线弧长和平行圈弧长子午线弧长和平行圈弧长一、子午线弧长计算公式一、子午线弧长计算公式 为了便于积分通常将正弦的幂函数展开为余弦的倍数函数。为了便于积分通常将正弦的幂函数展开为余弦的倍数函数。如：如：子午线弧长计算公式推导（方法子午线弧长计算公式推导（方法1）子午圈曲率半径公式可变为：子午圈曲率半径公式可变为：积分，整理得：积分，整理得：板书板书子午线弧长计算子午
4、线弧长计算对于对于7575国际椭球，子午线弧长的具体计算公式为：国际椭球，子午线弧长的具体计算公式为：如如果果以以B B9090代代入入，则则得得子子午午椭椭圆圆在在一一个个象象限限内内的的弧弧长长约约为为10 10 002 002 137m137m。旋旋转转椭椭球球的的子子午午圈圈的的整整个个弧弧长长约约为为40 40 008 008 549.995m549.995m。即即一一象象限限子子午午线线弧弧长长约约为为10 000km10 000km，地球周长约为地球周长约为40 000km40 000km。为求子午线上两个纬度为求子午线上两个纬度B及及间的弧长，只需按间的弧长，只需按上式分别算出
5、相应的上式分别算出相应的X及及X，而后取差：而后取差： 1 2，该，该即为所求的弧长。即为所求的弧长。子午线弧长计算（续）子午线弧长计算（续）对于对于400km以下的子午线弧长计算公式以下的子午线弧长计算公式 （精确到：0.001m ） 若弧长45km,仅取B一次项，即可精确到：0.001m当弧长甚短当弧长甚短( (例如例如X45kmX45km，计算精度到，计算精度到0.001m)0.001m)，可，可视子午弧为圆弧，而圆的半径为该圆弧上平均纬度点视子午弧为圆弧，而圆的半径为该圆弧上平均纬度点的子午圈的曲率半径的子午圈的曲率半径Mm写写子午线弧长计算公式推导子午线弧长计算公式推导(方法2)将被
6、积函数按二项式作级数展开，有：将被积函数按二项式作级数展开，有：代入上式，积分得：代入上式，积分得：写写子午线弧长计算公式（子午线弧长计算公式（2）系数）系数对于对于75国际椭球，子午线弧长的具体计算公式为：国际椭球，子午线弧长的具体计算公式为：由子午弧长求大地纬度可以采用迭代解法和直接解法由子午弧长求大地纬度可以采用迭代解法和直接解法迭代解法迭代解法: :直接解法：直接解法：二、由子午弧长求大地纬度二、由子午弧长求大地纬度对于克氏椭球对于克氏椭球三、平行圈弧长公式任一平行圈都是半径相等的圆，纬度为B的平行圈的半径为：子午线弧长和平行圈弧长变化的比较子午线弧长和平行圈弧长变化的比较四、椭球面梯
7、形图幅面积的计算只要求出经纬格网的面积，就可度量出椭球面的整个面积或局部区域的面积。LL+dLBB+dBMdBNcosBdLd上式利用二项式展开并积分，得：四、椭球面梯形图幅面积的计算（续）即：即：椭球面积若取L2-L1=2，B2=/2，B1=0可得出北半球的椭球面面积；再乘以2得到椭球面的总面积。克氏椭球总面积约为5.1亿km2梯形图幅的面积，直接代入经纬度计算。梯形图幅的面积，直接代入经纬度计算。对于形状不规则的区域面积可将该区域分割成对于形状不规则的区域面积可将该区域分割成若干个规则格网的子块，然后求和。若干个规则格网的子块，然后求和。4.5 大地线的概念与计算大地线的概念与计算 两点间
8、的最短距离，在平面上是两点间的直线，在球面上是两点间的大圆弧，那么在椭球面上又是怎样的一条线呢? 它应是大地线。一、相对法截弧 法截弧：法截弧：由椭球面上A点的法线与B点所确定的法截面与椭球面相割得到的曲线称为A到B的法截弧。 相对法截弧：相对法截弧： A到B的法截弧与B到A的法截弧。 互为正反法截弧相对法截线的关系相对法截线的关系当A，B两点位于同一子午圈或同一平行圈上时，正反法截线则合二为一，但不是平行圈。在通常情况下，正反法截线是不重合的。因此在椭球面上A，B，C三个点处所测得的角度(各点上正法截线之夹角)将不能构成闭合三角形。为了克服这个矛盾，在两点间另选一条单一的单一的大地线大地线代
9、替相对法截线，从而得到由大地线构成的单一的三角形。 相对法截线的特点相对法截线的特点:二、大地线的定义与性质定义定义2 2：大地线是主法线与曲面法线处处重合的曲线：大地线是主法线与曲面法线处处重合的曲线。 定义定义1：椭球面上两点间的最短程曲线叫大地线椭球面上两点间的最短程曲线叫大地线（测地线）。（测地线）。大地线的性质：大地线的性质：1、曲面上连接任何两点的最短弧线必为大地线；2、大地线上任何点的密切平面就是该点的法截面；3、大地线的测地曲率等于0；4、大地线位于相对法截线之间，并靠近正法截线，它与正法截线间的夹角 5、在椭球面上进行测量计算时，应当以两点间的大地线为依据。在地面上测得的方向
10、、距离等，应当归算成相应大地线的方向、距离。 长度差异可忽略（长度差异可忽略（40km以内），以内）， 但方向差异需改化但方向差异需改化。三、大地线的微分方程（推导）由球面余弦定理得：由球面余弦定理得：三、大地线的微分方程三、大地线的微分方程四、大地线的克莱劳方程 在旋转椭球面上，大地线各点的平行圈半径与大地线在旋转椭球面上，大地线各点的平行圈半径与大地线在该点的大地方位角的正弦的乘积等于常数。式中常数在该点的大地方位角的正弦的乘积等于常数。式中常数C也叫大地线常数也叫大地线常数 克莱劳方程的应用克莱劳方程的应用 对于同一条大地线上的各点因要保持同一个对于同一条大地线上的各点因要保持同一个C值
11、，值，而使点上的大地线方位角与平行圈半径两者间的而使点上的大地线方位角与平行圈半径两者间的变动互为制约。变动互为制约。当大地线穿越赤道时当大地线穿越赤道时 赤道是大地线赤道是大地线 C = a当大地线达极小平行圈时当大地线达极小平行圈时 子午圈是大地线子午圈是大地线 C = 0由克莱劳方程可以写出由克莱劳方程可以写出 用以检查纬度和方位角计算的正确性用以检查纬度和方位角计算的正确性 解：解：由克莱劳方程： 得：该大地线所能达到的最小平行圈的半径为习题在克拉索夫斯基椭球面上，某一大地线穿越赤道时的大地方位角A=30，试求该大地线所能达到的最小平行圈上，经差l=652. 53的平行圈弧长（精确至0.01m）评析：评析：掌握克莱劳方程的意义及其应用；掌握平行圈弧长的计算。经差为l 的平行圈弧长为： a=6378245m结束再见再见!
